計算機圖形學第6章習題

1、計算機圖形學基礎華東理工大學計算機系華東理工大學計算機系 謝曉玲謝曉玲習題習題6.2/P182o6.2 6.2 已知二維變換矩陣已知二維變換矩陣T T2D2D= = a b pa b p c d q c d q l m s l m s試說明矩陣試說明矩陣T T2D2D中各元素在變換中的具體作用。中各元素在變換中的具體作用。答：縮放：答：縮放：a,da,d 平移：平移：l,ml,m 旋轉：旋轉：a,b,c,da,b,c,d 透視：透視：p,qp,q 全局縮放：全局縮放：s s 錯切：錯切：b,cb,c習題習題6.3/P182o6.3 6.3 試推導將二維平面上任意直線段試推導將二維平面上任意直線

2、段p p1 1(x(x1 1,y,y1 1) p) p2 2(x(x2 2,y,y2 2) )轉換成為與轉換成為與x x軸重合的變換矩陣（直線段軸重合的變換矩陣（直線段p1p2p1p2與與x x軸的交角軸的交角4545）。）。答：答：sin()=(ysin()=(y2 2-y-y1 1)/sqrt(x)/sqrt(x2 2-x-x1 1) )2 2+(y+(y2 2-y-y1 1) )2 2) ) cos()=(x cos()=(x2 2-x-x1 1)/sqrt(x)/sqrt(x2 2-x-x1 1) )2 2+(y+(y2 2-y-y1 1) )2 2) )平移平移T T1 1(-x(-

3、x1 1,-y,-y1 1)= 1 0 0)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 -x -x1 1 -y -y1 1 1 1旋轉旋轉R R1 1(-)= cos -sin 0(-)= cos -sin 0 sin cos 0 sin cos 0 0 0 1 0 0 1T=TT=T1 1(-x(-x1 1,-y,-y1 1)R)R1 1(-)(-)(x1,y1)(x2,y2)習題習題6.4/P182o6.4 6.4 已知點已知點P(xP(xp p,y,yp p) )及其直線及其直線L L的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0，試推導一個相對試推導一個相對L L作對稱變換的變換矩陣作對

4、稱變換的變換矩陣T T，使點，使點P P的的對稱點對稱點PP滿足滿足P=PTP=PT。答：設：答：設：k= -A/Bk= -A/B，b= -C/Bb= -C/B sin()= -A/sqrt(A sin()= -A/sqrt(A2 2+B+B2 2) ) cos()= -B/sqrt(Acos()= -B/sqrt(A2 2+B+B2 2) )平移平移T T1 1(0,-b)= 1 0 0(0,-b)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 -b 1 0 -b 1(0,-C/B)(-C/A,0)習題習題6.4/P182旋轉旋轉R R1 1(-)= cos -sin 0(-)= cos -si

5、n 0 sin cos 0 sin cos 00 0 10 0 1關于關于x x軸對稱軸對稱RFRFx x= 1 0 0= 1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1反旋轉反旋轉R R2 2()= cos sin 0()= cos sin 0 -sin cos 0 -sin cos 0 0 0 1 0 0 1(0,-C/B)(-C/A,0)習題習題6.4/P182反平移反平移T T2 2(0,b)= 1 0 0(0,b)= 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 b 1 0 b 1T=TT=T1 1(0,-b)R(0,-b)R1 1(-)RF(-)RFx xR R2 2()

6、T()T2 2(0,b)(0,b)習題習題6.6/P183o6.6 6.6 試證明相對于原點的旋轉變換可以等價為一試證明相對于原點的旋轉變換可以等價為一個比例變換和一個錯切變換的復合變換。個比例變換和一個錯切變換的復合變換。 cos sin 0 scos sin 0 sx x 0 0 1 b 0 s 0 0 1 b 0 sx x bs bsx x 0 0-sin cos 0 = 0 s-sin cos 0 = 0 sy y 0 c 1 0 = cs 0 c 1 0 = csy y s sy y 0 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 1s

7、 sx x=cos=cos，s sy y=sin=sin，bs bsx x=sin=sin，cs csy y= -sin= -sinb=sin/ cos=tg b=sin/ cos=tg ，c= -sin/ cos= -tg c= -sin/ cos= -tg cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 cos sin 0 cos 0 0 1 tg 0 -sin cos 0 = 0 sin 0 - tg 1 0 -sin cos 0 = 0 sin 0 - tg 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 習題習題6.7/P183o6.7 6.7 如圖

8、所示四邊形如圖所示四邊形ABCDABCD，求繞點，求繞點P(5,4)P(5,4)分別旋轉分別旋轉4545和和9090的變換矩陣，并求出各端點的坐標，畫出的變換矩陣，并求出各端點的坐標，畫出變換后的圖形。變換后的圖形。9090T= 0 1 0T= 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 9 -1 1 9 -1 14 1 1 0 1 0 8 3 14 1 1 0 1 0 8 3 17 3 1 7 3 1 -1 0 0 = 6 6 -1 0 0 = 6 6 1 17 7 1 9 -1 17 7 1 9 -1 1 2 6 1 2 6 11 4 11 4 1 5 0 1 5 0 1A(8,3),B(6,

9、6),C(2,6),D(5,0)A(8,3),B(6,6),C(2,6),D(5,0)A(4,1)B(7,3)C(7,7)D(1,4)A(8,3)B(6,6)C(2,6)D(5,0)4545T=T(-5,-4)R(45T=T(-5,-4)R(45)T(5,4)T(5,4) = = 2/22/2 2/22/2 0 0 - -2/22/2 2/22/2 0 0 5- 5-2/2 4-2/22/2 4-2/2 1 14 1 1 5+4 1 1 5+22 4-2 4-22 2 1 17 3 1 7 3 1 T = 5+3T = 5+32/22/2 4+ 4+2/2 2/2 1 1 7 7 1 7 7

10、1 5- 5-2/22/2 4+5 4+52/2 2/2 1 1 1 4 11 4 1 5-2 5-222 4-2 4-22 2 1 1四舍五入后：A(6,1),B(7,5),C(4,8),D(2,1)A(4,1)B(7,3)C(7,7)D(1,4)A(6,1)B(7,5)C(4,8)D(2,1)習題習題6.11/P183o6.11 試用編碼裁剪法（試用編碼裁剪法（Cohen-Sutherland）裁剪圖裁剪圖6-40的線段。的線段。2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40codeA=1010，codeB=0101k=5/4，b=-3/4，y=kx+bcodeA|codeB0 不在窗口內

11、codeA&codeB=0 AB不在窗口同一外側根據(jù)codeA的從低到高尋找編碼位為1所對應的窗口邊界為右邊界。求AB與右邊界的交點為PR(2,7/4) 。令PR-A(2,7/4)，codeA=0000，并用A代替APR交換，使得A - B(2,7/4)、0000； B-A(-1,-2)、0101根據(jù)codeA的從低到高尋找編碼位為1所對應的窗口邊界為左邊界，求AB與左邊界的交點PL(0,-3/4)。令PL-A(0,-3/4)，codeA=0100，并用A代替A根據(jù)codeA的從低到高尋找編碼位為1所對應的窗口邊界為底邊界，求AB與底邊界的交點PB(3/5,0)。令PB-A(3/5,0

12、)，codeA=0000，并用A代替A2 31A(-1,-2)B(2,7/4)PL2 31A(3/5,0)B(2,7/4)2 31A(0,-3/4)B(2,7/4)PB至此，裁剪結束，求得裁剪線段為：(2,7/4),(3/5,0)四舍五入后，裁剪線段為：(2,2),(1,0)習題習題6.13/P183o6.13 試用中點分隔算法裁剪如圖試用中點分隔算法裁剪如圖6-40的線段，的線段，分隔一直到誤差小于分隔一直到誤差小于0.5為止。為止。codeA=1010，codeB=0101中點Pm( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2)求求A的最遠可見點的最遠可見點codeB0 B不在窗口內codeA

13、&codeB=0 AB不在窗口同一外側用二分法求AB中點Pm( 1,1/2)、0000。Pm在窗口內，令Pm-A(1,1/2)、0000，并用A代替A2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40Pm用二分法求AB中點Pm( 0,-3/4)、0100。Pm在窗口外，codePm&codeB0 PmB在窗口同一外側，令Pm-B(0,-3/4)、0100，并用B代替B用二分法求AB中點Pm( 1/2,-1/8)、0100。同理，令Pm-B(1/2,-1/8)、0100，并用B代替B用二分法求AB中點Pm( 3/4,3/16)、0100。分析Pm和B的誤差小于0.5，則不再分隔。四舍

14、五入得B(1,0)、0000，為A的最遠可見點。Pm2 31A(1,1/2)B(-1,-2)APm2 31A(1,1/2)BAB(0,-3/4)PmA(1,1/2)BAB(1/2,-1/8)BAB(1,0)codeA=1010，codeB=0101中點Pm( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2)求求B的最遠可見點的最遠可見點codeA0 A不在窗口內codeA&codeB=0 AB不在窗口同一外側用二分法求AB中點Pm( 1,1/2)、0000。Pm在窗口內，令Pm-B(1,1/2)、0000，并用B代替B2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40Pm用二分法求AB中點Pm(

15、2,7/4)、0000。Pm在窗口內，令Pm-B(2,7/4)、0000，并用B代替B2 31A(3,3)B(1,1/2)Pm用二分法求AB中點Pm( 5/2,19/8)、1010。Pm在窗口外，codePm&codeA0 PmA在窗口同一外側，令Pm-A(5/2,19/8)、1010，并用A代替A2 31A(3,3)B(2,7/4)Pm2 31A(5/2,19/8)B(2,7/4)Pm用二分法求AB中點Pm( 9/4,33/16)、1010。分析Pm和A的誤差小于0.5，則不再分隔。四舍五入得A(2,2)、0000，為B的最遠可見點。至此，裁剪結束，求得裁剪線段為：(2,2),(1,

16、0)習題習題6.14/P183o6.14 試用試用Liang-Barsky算法裁剪如圖算法裁剪如圖6-40的線段。的線段。P1=-(-x2-x1)=-(-1-3)=4；q1=x1-xWL=3-0=3；P2=x2-x1=-1-3=-4； q2=xWR-x1=2-3=-1；P3=-(-y2-y1)=-(-2-3)=5；q3=y1-yWB=3-0=3；P4=y2-y1=-2-3=-5； q4=yWT-y1=2-3=-1；Pi0 不存在直線與窗口邊界的平行2 31A(3,3)B(-1,-2)圖6-40Pm12341/51/5P P4 40,0,0,出去出去3:3:下下1/41/4P P2 20,0,0

17、,出去出去1:1:左左U(=qU(=qi i/p/pi i) )ABAB邊界邊界U Umaxmax U Uminmin有交有交UmaxUminUmin=min(1,u1,u3)=3/5 Umax=max(0,u2,u4)=1/4 UmaxUmin 有交有交 X=x1+Umax(x2-x1)=3+1/4(-1-3)=2 Y=y1+Umax(y2-y1)=3+1/4(-2-3)=1.75 X=x1+Umin(x2-x1)=3+3/5(-1-3)=0.6 Y=y1+Umin(y2-y1)=3+3/5(-2-3)=0得交點得交點(2,1.75)(2,1.75)、(0.6,0)(0.6,0)至此，四舍五入后，求得裁剪線段為：(2,2),(1,0)2 31A(3,3)B(-1,-2)Pm12341/51/5P P4 40,0,0,出去出去3:3:下下1/41/4P P2 20,0,0,出去出去1:1:左左U(=qU(=qi i/p/pi i) )ABAB邊界邊界U Umaxmax 視圖視圖。41(1,1)13(4,3)為了保持縱橫比不變，則：w窗/h窗=w視/h視=3/2取w視=1，得視區(qū)(0,0)、(1,2/3)Sx=1/3,Sy=1/3T窗-視=T(-1,-1)S(1/