第4章隨機變量的數(shù)字特征1-數(shù)學期望ppt課件

1、關鍵詞：關鍵詞：數(shù)學期望數(shù)學期望方差方差協(xié)方差協(xié)方差相關系數(shù)相關系數(shù)第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 問題的提出：問題的提出： 在一些實際問題中，我們需要了解隨機變在一些實際問題中，我們需要了解隨機變量量 的分布函數(shù)外，更關心的是隨機變量的某些特征的分布函數(shù)外，更關心的是隨機變量的某些特征。 例：例： 在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關心的在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關心的 是平均產(chǎn)量；是平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質量時，既需要注意纖維的在檢查一批棉花的質量時，既需要注意纖維的 平均長度，又需要注意纖維長度與平均長平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的度的 偏離程度；

2、偏離程度； 考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異差異 水平；水平；1 數(shù)學期望數(shù)學期望 例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績 如下： 評定他們的成績好壞。8 109 80 10 1010801089109100100100100 甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)20651589108 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100對于甲來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；206515

3、8910100100100對于乙來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；數(shù)學若用期望它們相應的概率表示，就得到了，也稱為均值(加權均值)。 解：計算甲的平均成績： 計算乙的平均成績： 所以甲的成績好于乙的成績。定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對收設離散型隨機變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機變量的，數(shù)學期記望為即 斂， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx設連續(xù)型隨機變量 的概率概率為若積分(即)則稱積分 的值為隨機變量 的，記為 數(shù)學期望 即 絕對收斂

4、 數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。 例2：有2個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機，求整機壽命N(以小時計)的數(shù)學期望。 解：1,2 ,kXk 1 0( ) 00 0 xexf xx1 0 (1,2) ( )0 0 xkexXkF xx的分布函數(shù)221 0( )1 (1( )0 0 xminexFxF xx 22 0( )0 0 xminexfxx222000 |22xxxxeedxe 是指數(shù)分布的密度函數(shù)12,Nmin XXN串聯(lián)情況下，故 的分布函數(shù)為：問題：將問題：將2個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機，

5、個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機， 整機的平均壽命又該如何計算？整機的平均壽命又該如何計算？根據(jù)根據(jù)N N的概率密度的概率密度fmin(x),fmin(x),可得到可得到E(N).E(N).202 ()xE Nxedx()2E N從而 例3：設有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配儀器 時，從這10個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。4812()012545459E X 解：解：X的分布律為：的分布律為：01282 82 11010 910 9kXp0124 58 451 45kXp 例4：設一臺機器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生 故障時全天停

6、工。若一周5個工作日里無故障，可獲 利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障 獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi) 期望利潤是多少？( )5.216E Y 于是 （萬元）解：設解：設X X表示一周表示一周5 5天內(nèi)機器發(fā)生故障天數(shù)，天內(nèi)機器發(fā)生故障天數(shù)， (5, 0.2)Xb則設設Y Y表示一周內(nèi)所獲利潤，那么表示一周內(nèi)所獲利潤，那么5(10)(0)(1 0.2)0.328,P YP XY其余同理可得，于是 的分布率為：205100.0570.2050.4100.328kYp 例5：( ),()XE X 。設 求() 0,1, 0!keXP Xkkk解： 的分布律為：X的數(shù)

7、學期望為：0()!kkeE Xkk11(1)!kkekee ()E X即 例6：( , )()XU a bE X。設 ，求1 ( )0 axbbaXf x解： 的概率密度為： 其他X的數(shù)學期望為：()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab( , )a b即數(shù)學期望位于區(qū)間的中點幾種重要分布的數(shù)學期望幾種重要分布的數(shù)學期望 15423212 )(,)(),()(),()(),()(),(XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX則則的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為、設、設則則、設、設則則、設、設則則、設、設則則、設、設 (),YXYg Xg定理：設 是隨機變量 的函數(shù)：

8、是連續(xù)函數(shù)(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若絕對收斂，則有( )Xf x是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為( )E YYX定理的在于我們求時，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意義可以了。( ) ( )g x f x dx若 絕對收斂( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx則有X是離散型隨機變量，它的分布律為：上述定理也可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)的情況。 ,X Y若二維離散型隨機變量的分布律為：,(, ),ZX YZg X Yg定理：設 是隨機變量的函數(shù)：是連續(xù)

9、函數(shù)(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp則有這里設上式右邊的級數(shù)絕對收斂，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 則有這里設上式右邊的積分絕對收斂,X Y若二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為：()( , )E Xxf x y dxdy 特別地， 例7：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑X進 行測量，其值在區(qū)間1，2上均勻分布，求橫截 面面積S的數(shù)學期望。2( )( )4E Sx f x dx1, 12( )0, xXf x解： 的密度函數(shù)為：其他2214

10、xdx71224XS 例8：,X Y設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求隨機變量的數(shù)學期望。()(00)(1 0)( )sinsin0.1 sin0.15222(0 1)(1 1)(02)sin0.25sin0.2sin0.15222(12)sin0.150.252XYE ZE解： 例9：設隨機變量(X,Y)的概率密度為： 3231 ,12( , ) 0 1,yx xxx yf x yE YEXY其他求數(shù)學期望。X=11yxyx( )( , )E Yyf x y dydx 解：321323 0123( )( )( ) 12

11、0 yYYydxyx yE Yyfy dyfydxyx y先求，這里 其他考慮：321132xxdydxx y 13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx 11()( , )Ef x y dydxXYxy 431132xxdxdyx y142131|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455你算對了嗎？哪個更容易呢?1000 , (, )500(X+Y), YYXZg X YYX若若解：設Z表示該種商品每周所得的利潤，則 (, )1100,1020,1020( , )0,XYX Yxyf x y和 相互獨立，因此的概率密度為其他20

12、2020101010( )( , ) ( , )10001 100500() 1 10014166.7(xxE Zg x y f x y dxdydxydydxxydy 元）10例 ：某商店經(jīng)銷某種商品，每周進貨量X與需求量Y是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間10,20上均勻分布。商店每售出一單位商品可獲利1000元；若需求量超過進貨量，商店可從它處調劑供應，這時每單位商品可獲利500元；試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所獲得利潤的數(shù)學期望。數(shù)學期望的特性： ()()( )E aXbYcaE XbE Yc將上面三項合起來就是：這一性質可以推廣到任意有限個隨機變量線性組合的情況( )CE CC設 是常

13、數(shù)，則有1.()()XCE CXCE X設 是一個隨機變量， 是常數(shù)，則有2.,()()( )X YE XYE XE Y設是兩個隨機變量，則有3.,()() ( )X YE XYE X E Y設是相互獨立的隨機變量，則有4.證明：1. ()1,()( )1CP XCE XE CCC 是常數(shù)，2. ()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X下面僅對連續(xù)型隨機變量給予證明： dydxyxfyxYXEyxfYX),()()(),(),()3(，則則密密度度為為的的概概率率二二維維隨隨機機變變量量：設設證證明明 dydxyxyfdydxyxxf),(),()()()()(YE

14、XEdyxyfdxxfxYX dydxyxfydxdyyxfx ),(),( dydxyxxyfXYEyxfYX),()(),(),()4(，則則密密度度為為的的概概率率二二維維隨隨機機變變量量：設設證證明明 dydxyfxxyfXYEYXYX)()()(獨立獨立與與)()()()(YEXEdyyyfdxxfxYX 例11：一民航送客車載有20位旅客自機場出發(fā)，旅客有10 個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求 (設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅 客是否下車相互獨立)()E X。0 1,2,101 iiXii第 站沒有人下車第 站有人下車121

15、0 XXXX易知：121020()()()()9 101 () 8.784()10E XE XE XE X次()(1)iiE XP X()Pi第 站有人下車2091 ()10 本題是將本題是將X X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學期望等于隨機變量數(shù)學期望之和來求變量和的數(shù)學期望等于隨機變量數(shù)學期望之和來求數(shù)學期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。數(shù)學期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。 解：引入隨機變量： 例12： (),1,2,3,4.iE Xi i解：12341234,(0, 2 ),( ).XXXXUiXXYXXE Yi設隨機變量相互

16、獨立，X求行列式的數(shù)學期望1423YX XX X14231423( )()()() ()() ()1 42 32E YE X XE X XE X E XE XE X 由條件，總結數(shù)學期望的計算方法總結數(shù)學期望的計算方法 數(shù)學期望的定義數(shù)學期望的定義 數(shù)學期望的性質數(shù)學期望的性質 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 例例11的方法：的方法：“X分解成數(shù)個隨機變量之分解成數(shù)個隨機變量之和，利用和，利用E(X)=E(X1 +X2+Xn)= E(X1)+ E(X2)+ +E(Xn)” 根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也可能結合使用。也可能結合使用。定義：定義：

17、111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對收設離散型隨機變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機變量的，數(shù)學期記望為即 斂， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx設連續(xù)型隨機變量 的概率概率為若積分(即)則稱積分 的值為隨機變量 的，記為 數(shù)學期望 即 絕對收斂 數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。 (),YXYg Xg定理：設 是隨機變量 的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg x

18、p若絕對收斂，則有( )Xf x是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為( )E YYX定理的在于我們求時，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意義可以了。( ) ( )g x f x dx若 絕對收斂( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx則有X是離散型隨機變量，它的分布律為：上述定理也可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)的情況。 ,X Y若二維離散型隨機變量的分布律為：,(, ),ZX YZg X Yg定理：設 是隨機變量的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp則有這里設上式右邊的級數(shù)絕對收斂，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 則有這里設上式右邊的積分絕對收斂,X Y若二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為：()( , )E Xxf x y dxdy 特別地，幾種重要分布的數(shù)學期望幾種重要分布的數(shù)學期望 15423212 )(,)(),()(),()(),