(喻)概率統(tǒng)計(2)

1、第二章第二章 一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布第一節(jié)第一節(jié) 隨機變量隨機變量第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量離散型隨機變量第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型連續(xù)型隨機變量及其概率密度隨機變量及其概率密度第五節(jié)第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的函數(shù)的分布 概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的性的，為了更方便有力的研究隨機現(xiàn)象為了更方便有力的研究隨機現(xiàn)象，就要用就要用數(shù)學分析的方法來研究數(shù)學分析的方法來研究， 因此為了便于數(shù)學上的因此為了便于數(shù)學上的推導和計算推導和計算，就需將任意的隨機事件數(shù)量化就需將任意的隨

2、機事件數(shù)量化當當把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時， 就建立起了隨機變量的概念就建立起了隨機變量的概念1. 為什么引入隨機變量為什么引入隨機變量?引言引言 隨機變量的引入隨機變量的引入2. 隨機變量的引入隨機變量的引入實例實例1 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色觀察摸出球的顏色.S=紅色、白色紅色、白色 非數(shù)量非數(shù)量將將 S 數(shù)量化數(shù)量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S紅色紅色 白色白色)(eXR10即有即有 X (紅色紅色)=1 , ., 0, 1)(白白色色紅紅色色eeeXX (白色白色

3、)=0.這樣便將非數(shù)量的這樣便將非數(shù)量的 S=紅色，白色紅色，白色 數(shù)量化了數(shù)量化了.實例實例2 拋擲骰子拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)觀察出現(xiàn)的點數(shù)., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6樣本點本身就是數(shù)量樣本點本身就是數(shù)量恒等變換恒等變換且有且有eeX )(則有則有第一節(jié) 隨機變量定義 設(shè)X X (w )是定義在樣本空間W上的實值函數(shù)，稱X X (w )為隨機變量.隨機變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，.等表示下圖給出樣本點w與實數(shù)X X (w )對

4、應的示意圖 W1e2e3ex隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值隨機變量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因因此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律此隨機變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機變量是一個函數(shù)隨機變量是一個函數(shù) , 但它與普通的函數(shù)有但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別著本質(zhì)的差別 ,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的,而而隨機變量是定義在樣本空間上的隨機變量是定義在樣本空間上的 (樣本空間的元樣本空間的元素不一定是實數(shù)素不一

5、定是實數(shù)).說明說明(1)隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機事件包容在隨機變量這個范圍更廣的概隨機事件包容在隨機變量這個范圍更廣的概念之內(nèi)念之內(nèi).或者說或者說 : 隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象,而隨機變量則是從動態(tài)的觀點來研究隨而隨機變量則是從動態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象機現(xiàn)象.(3)隨機變量與隨機事件的關(guān)系隨機變量與隨機事件的關(guān)系 例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高. . 我們可以把可能的身高看作我們可以把可能的身高看作X，則則X是一個隨機變量是一個隨機變量然后我們可以提出關(guān)于然后我們

6、可以提出關(guān)于X的各種問題的各種問題. . 如如 “X1.7”表示學生的身高超過表示學生的身高超過1.7米事件米事件；P(1.5X1.7)=?P(X1.5)表示計算學生的身高不超過表示計算學生的身高不超過1.5米的概率米的概率；可見，隨機變量這個概念實際上是包容了比隨可見，隨機變量這個概念實際上是包容了比隨機事件更廣的概念機事件更廣的概念. . 也可以說，也可以說，隨機事件是從隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一種動態(tài)的觀點，就象數(shù)學分析中常量與變量就象數(shù)學分析中常量與變量的區(qū)別那樣的區(qū)別那樣. .例例3 一射手向一目標射

7、擊，記一射手向一目標射擊，記X 表示直到命中目表示直到命中目 例例1 擲一枚骰子，用擲一枚骰子，用X 表示出現(xiàn)的點數(shù)。表示出現(xiàn)的點數(shù)。例例2 觀察某儲蓄所一天的儲蓄額，用觀察某儲蓄所一天的儲蓄額，用X 表示表示 X 是一個隨機變量。是一個隨機變量。4X表示點數(shù)不超過表示點數(shù)不超過4的事件。的事件。例如例如X 是一個隨機變量。是一個隨機變量。4X表示射擊的次數(shù)為表示射擊的次數(shù)為4的事件。的事件。例如例如X 是一個隨機變量。是一個隨機變量。一天的儲蓄額。一天的儲蓄額。標為止所需要的射擊次數(shù)。標為止所需要的射擊次數(shù)。aX 表示該天的儲蓄額為表示該天的儲蓄額為 的事件。的事件。例如例如a 解：分析解：

8、分析當當 0.15 X100,np100,npM 或或 nN-M時，隨機變量時，隨機變量X 取值另論；取值另論；4. 4. 超幾何分布超幾何分布這里，這里，nN, MN, r =minn, M ，說明：說明：例例：一批產(chǎn)品有：一批產(chǎn)品有10件，其中件，其中6件合格品，件合格品，4 件不合格品，現(xiàn)從中一次任取件不合格品，現(xiàn)從中一次任取3件，求這件，求這3 件件中合格品數(shù)目中合格品數(shù)目 X 的概率分布的概率分布解：解：X可以取可以取0，1，2，3310346)(CCCkXPkk k0，1，2，3X0 1 2 3P1/30 3/10 1/2 1/6 定理定理2.3 超幾何分布以二項分布為極限。超幾何

9、分布以二項分布為極限。,(1)Mkn kNpkkn kMNMNnnNC CC ppC n，當，當pNMN ,時，有時，有 即，固定即，固定注注 對于超幾何分布，當對于超幾何分布，當N較大，而較大，而n相對于相對于常用二項分布來逼近超幾何分布。常用二項分布來逼近超幾何分布。N較小時，較小時，例例1 一大批種子的發(fā)芽率為一大批種子的發(fā)芽率為90%，從中任取，從中任取10粒，求播種后恰好有粒，求播種后恰好有8粒種子發(fā)芽的概率。粒種子發(fā)芽的概率。解：設(shè)解：設(shè)X表示發(fā)芽的種子數(shù)，表示發(fā)芽的種子數(shù)，由于大批種子由于大批種子N相對發(fā)芽的種子數(shù)相對發(fā)芽的種子數(shù)n較大，則較大，則X 近似服從二項分布近似服從二項

10、分布B（10，0.9），），288101 . 09 . 0)8( CXP1937. 0 則則X服從超幾何分布。服從超幾何分布。離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布 兩點分布兩點分布超幾何分布超幾何分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布幾何分布幾何分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布1010.p,n 兩點分布兩點分布1 n三、小結(jié)).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni參數(shù)為參數(shù)為服從二項分布服從二項分布那末那末分布并且相互獨立分布并且相互獨立它們都服從它們都服從次試驗失敗次試驗失敗若第若第次試驗成功次試驗成功若第若第設(shè)設(shè)每次試驗成功的概率為

11、每次試驗成功的概率為立重復伯努里試驗立重復伯努里試驗次獨次獨對于對于分布的推廣分布的推廣二項分布是二項分布是 .)10(. 2關(guān)系關(guān)系分布、泊松分布之間的分布、泊松分布之間的二項分布與二項分布與 )., 2 , 1 , 0(,e!)()1(,)(,nkknpppknkXPnnppnnpkknk 即即為為參參數(shù)數(shù)的的泊泊松松分分布布于于以以時時趨趨當當為為參參數(shù)數(shù)的的二二項項分分布布以以 一、基本概念一、基本概念第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì)三、利用分布函數(shù)三、利用分布函數(shù) F(x)計算事件的概率計算事件的概率四、離散型隨機變量的分布函數(shù)四

12、、離散型隨機變量的分布函數(shù)一、基本概念一、基本概念定義定義1 1：設(shè)設(shè)X 是一個隨機變量，如果對于是一個隨機變量，如果對于 x R，有有 F(x)=P(Xx)，稱稱F(x)為為 X 的的分布函數(shù)分布函數(shù). . 記作記作 XF(x)。F(5)=P(X5)例如：例如：F(a)=P(Xa)（3 3）對任意實數(shù)）對任意實數(shù) ab，隨機點落在區(qū)間隨機點落在區(qū)間 (a, b的概率為：的概率為： P(a X b) = P( Xb ) P( Xa )（2 2）分布函數(shù)的定義域為）分布函數(shù)的定義域為( ,+ )，分布函數(shù)的值域分布函數(shù)的值域 為為0, 1；= F(b )-F(a )（1）若將若將 X 看作數(shù)軸上

13、隨機點的坐標，那么看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布分布函函數(shù)數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X 落在區(qū)間落在區(qū)間( , x的概率；的概率；x|RxX 說明：說明： 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學分析的工具來研究隨機變量我們可以用數(shù)學分析的工具來研究隨機變量. .xxXPxF),()(二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì))(1)(0 xxF性質(zhì)性質(zhì)2 2：分布函數(shù)關(guān)于分布函數(shù)關(guān)于 x 是單調(diào)不減函數(shù)；是單調(diào)不減函數(shù)；0)(lim, 1)(lim xFxFxx性質(zhì)性質(zhì)4 4：F(x)至多有可列個間斷點，且至多有可列個間斷點，且在間斷點

14、上在間斷點上 F(x) 右連續(xù)。即右連續(xù)。即)()0(xFxF 性質(zhì)性質(zhì)1 1：性質(zhì)性質(zhì)3 3：即對于任意的即對于任意的 x1 x2, 則則F(x1) F(x2); 性質(zhì)性質(zhì)(1)-(4)(1)-(4)是鑒別一個函數(shù)是否是某是鑒別一個函數(shù)是否是某R.V的分布的分布函數(shù)的充分必要條件函數(shù)的充分必要條件. .例例1 1 判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)? ?(1) 0, 1; 02, 2/12, 0)(xxxxF 2/1, 1. 2/10, 2/10, 0)(xxxxxF;, 10,sin0, 0)( xxxxxF(2)(3)解解(1) 由題設(shè)由題設(shè),

15、,)(xF在在),(上單調(diào)不減上單調(diào)不減, ,右連續(xù)右連續(xù), , 并有并有, 0)(lim)( xFFx, 1)(lim)( xFFx所以所以)(xF是某一隨機變量是某一隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù). .(2) 因因)(xF在在), 2/( 上單調(diào)下降上單調(diào)下降, ,不可能是分布函數(shù)不可能是分布函數(shù). .(3) 因為因為)(xF在在),(上單調(diào)不減上單調(diào)不減, , 右連續(xù)右連續(xù), ,且有且有, 0)(lim)( xFFx, 1)(lim)( xFFx)(xF所以所以所以所以)(xF是某一隨機變量是某一隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù). .三、利用分布函數(shù)三、利用分布函數(shù) F(x)計算事件的概率

16、計算事件的概率abR 、( )(0)P XaP XaP XaF aF a P Xa ( )P XaF a 都有都有(0)( )P aXbP XbP XaF bF a ( )(0)P aXbP XbP XaF bF a 0lim()(0)F aF a 例例2 2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：00( )1/401/211/2xF xxx計算下列的概率計算下列的概率. 0; 1/3; 01/3;P XP XPX01/3; 01/3; 1/3.PXPXP X引例引例 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率分布的概率分布為為求求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。0.2 0.5 0.3p0 1 2

17、XF(x) = P(X x)解解: 21217 . 0102 . 000)(xxxxxF3 . 0120 x2 . 07 . 05 . 0OOO1)(xF四、離散型隨機變量的分布函數(shù)四、離散型隨機變量的分布函數(shù)一般地一般地離散型離散型隨機變量隨機變量X 概率分布為概率分布為 則該離散型隨機變量的分布函數(shù)為：則該離散型隨機變量的分布函數(shù)為： 111212231110()ikiikxxpxxxppxxxFxpxxx Xip1x2xnx1p2pnp( )F xP Xx iixxP Xx iixxp 即即如圖，如圖，)(xF是一個階是一個階它在它在ixx ), 2 , 1( i有跳躍，有跳躍，.iix

18、XPp 反之，反之， 若一個隨機變量若一個隨機變量X和分布函和分布函則則X一定是一個離散型隨機變量，一定是一個離散型隨機變量，其概率分布亦由其概率分布亦由分布亦由分布亦由)(xF唯一確定唯一確定.梯函數(shù)，梯函數(shù)，跳躍度恰為隨機變量跳躍度恰為隨機變量ixx 點處的概率點處的概率X在在數(shù)，數(shù)，數(shù)為階梯函數(shù)為階梯函)(xFxO2x1x3x.1p3p2p例例3 3：從：從1，2，3，4，5中隨機的取出三個數(shù)，中隨機的取出三個數(shù)，X 表表 示三個數(shù)中的最大者示三個數(shù)中的最大者 （1 1）求）求X 的概率分布的概率分布 （2 2）求）求X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)解：（解：（1 1）X 的所以可能取值為的所以

19、可能取值為3，4，56 . 0/)5(3 . 0/)4(1 . 0/)3(352435233533 CCXPCCXPCCXP所以所以X 的分布律：的分布律：X 3 4 5P0.1 0.3 0.62）)()(xXPxF 當當 03 x )( xF當當43 x1 . 0) 3()()( XPxXPxF當當45x 4 . 0) 4() 3()()( XPXPxXPxF當當1) 5() 4() 3()()(5 XPXPXPxXPxFx 51544 .0431 .030)(xxxxxF 0350.10.41F(x）x4例例4 向一半徑為向一半徑為2米的圓盤射擊，設(shè)擊中盤上任米的圓盤射擊，設(shè)擊中盤上任)

20、32(),21 (),21( XPXPXP（2）的距離，求：（的距離，求：（1）隨機變量）隨機變量X的分布函數(shù)；的分布函數(shù)；射擊都能擊中圓盤，以射擊都能擊中圓盤，以X表示彈著點與圓心表示彈著點與圓心一同心圓的概率與該圓的面積成正比，并設(shè)一同心圓的概率與該圓的面積成正比，并設(shè)解：由題意解：由題意x而而 ，因而有，因而有120 ）（XP 41 k，故，故 21204100)(2xxxxxXP20)(2 xxkxXP o)(xFx1161)21(41)21(2 XP) 1 () 2() 21 (FFXP 4341114124122 011) 2() 3() 32( FFXP ., 0, 20,2)(

21、其其它它若若記記tttf.d)()(ttfxFx 則則,()()(上上的的積積分分在在區(qū)區(qū)間間恰恰是是非非負負函函數(shù)數(shù)xtfxF .為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量此時稱此時稱 X注意注意 兩類隨機變量的分布函數(shù)圖形的特點不兩類隨機變量的分布函數(shù)圖形的特點不一樣一樣.例例2 2 在區(qū)間1,5上任意擲一個質(zhì)點,用X表示這個質(zhì)點與原點的距離,則X是一個隨機變量.如果這個質(zhì)點落在1,5上任一子區(qū)間內(nèi)的概率與這個區(qū)間的長度成正比，求X的分布函數(shù).15x由題意知是一個必然事件解1,( )0 xXxF xP Xx若則是不可能事件) 1(151xkxXPx，則若51511/ 4,xPXk特別取由可得從而)

22、1(4111)(xxXPxPxXPxF1)(5xFxXx是必然事件，則若. 5, 151),1(41, 1, 0)(xxxxxF的分布函數(shù)為X151PX即 的圖形如下圖所示)(xF.,)(跳躍點在整個數(shù)軸上沒有一個）上的一個連續(xù)函數(shù)，是一個定義在（xF第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機變量的概率分布的概念一、連續(xù)型隨機變量的概率分布的概念二、密度函數(shù)的性質(zhì)二、密度函數(shù)的性質(zhì)三、連續(xù)型隨機變量的幾點說明三、連續(xù)型隨機變量的幾點說明四、幾個常見的連續(xù)型分布四、幾個常見的連續(xù)型分布 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X 所有可能取值充滿所有可能取值充滿一個區(qū)間

23、一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣不能象離散型隨機變量那樣, 以指定它取每個值概率的方式以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通過給出所謂而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式. 在介紹概率密度函數(shù)之前先回顧一下離散型隨機在介紹概率密度函數(shù)之前先回顧一下離散型隨機變量的分布函數(shù)和分布律之間的關(guān)系。變量的分布函數(shù)和分布律之間的關(guān)系。一、連續(xù)型隨機變量的概率分布的概念一、連續(xù)型隨機變量的概率分布的概念 F xP Xx x kkxxp df tt xttfxFd則稱則稱X 為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)為連續(xù)

24、型隨機變量，其中函數(shù) f(x)稱為稱為X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡稱，簡稱概率密度概率密度或或密度函數(shù)密度函數(shù)。定義：定義：對于隨機變量對于隨機變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)，如果存在如果存在非負非負 可積函數(shù)可積函數(shù) f(x)，使得對于任意實數(shù)，使得對于任意實數(shù) x 有有 顯然，連續(xù)性隨機變量的分布函數(shù)顯然，連續(xù)性隨機變量的分布函數(shù)F(x) 是一個是一個連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)。 具有以下性質(zhì)由定義知道，概率密度xf (1)0fx (2)1fx dx1212(3),x xxx對于任意實數(shù)有 dxxfxFxFxXxPxx211221性質(zhì)(1),(2)是兩個最基本的性質(zhì)X 落在區(qū)間落在區(qū)

25、間(x1, x2 上的概率上的概率Px1Xx2 等于區(qū)間等于區(qū)間(x1, x2 上曲線上曲線 f(x)之下的之下的曲邊梯形的面積（如圖）曲邊梯形的面積（如圖）推廣：推廣：PXI( )If x dx (4)( )( )( )f xxF xf x若在點 連續(xù)，則有二、密度函數(shù)的性質(zhì)二、密度函數(shù)的性質(zhì)（跟離散型分布律的性質(zhì)比較）（跟離散型分布律的性質(zhì)比較）（1）連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為）連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0. 即：即：PX=a=0， a為任一指定值為任一指定值.這是因為這是因為)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00三、連續(xù)型隨機變量的幾點說明

26、三、連續(xù)型隨機變量的幾點說明)()(bXaPbXaP)(bXaP（2 2） 對對連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量X，有，有)(bXaP( )( )F bF a( )baf x dx （3） 由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX稱稱A為為幾乎不可能事件幾乎不可能事件，B為為幾乎必然事件幾乎必然事件.可見，可見，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=W W 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處在某點處a的高度，并不反映的高度，并

27、不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這但是，這個高度越大，則個高度越大，則X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度映了概率集中在該點附近的程度. f (x)xo（4）例例1 1 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X X具有概率密度具有概率密度 1, 02,0 , .kxxfx其他k確定常數(shù)) 1 ( xFX的分布函數(shù)求)2(2523)3( XP求20(1)( )d1,(1)d1f xxkxx由得(2)X的分布函數(shù)為 20, 01d, 0241, 2 xxF xf ttxxxx 5315135

28、(3)122221616PXFF 解1/ 2k 解得例例2 已知連續(xù)型隨機變量已知連續(xù)型隨機變量X)(xf 其它020)(xbaxxf且且25. 0)31( XP求求：確定常數(shù)確定常數(shù)ba,(1)5 . 1( XP(2)解：解： 20)()(1dxbaxdxxf202)2(bxxa ba22 ) 31 (25. 0 XP 21)(dxbax212)2(bxxa ba 23 25. 023122baba即即解得解得 15 . 0ba 25 . 1) 12()5 . 1(dxxXP25 . 12)41(xx 5 . 1425. 221 116 .)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin,

29、 0)(的概率密度的概率密度隨機變量隨機變量的值的值系數(shù)系數(shù)求求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例3),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因為因為 X 是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量, )(lim)(xFaFax ,)(連連續(xù)續(xù)所所以以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )

30、()(xFxf 的的概概率率密密度度為為隨隨機機變變量量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa( )arctan()F xABxx 確定常數(shù)確定常數(shù)A、B，并求出其密度函數(shù)，并求出其密度函數(shù).)(xf例例4 已知隨機變量已知隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解：解：)arctan(lim)(limxBAxFxx 02 BA)arctan(lim)(limxBAxFxx 12 BA112AB )()(xFxf 1arctan()2x )1(12x )( x柯西分布柯西分布 xdttfxF)()(求求 F(x).其它, 021,210,)(xxxxxfX例例5: 設(shè)設(shè)由于由于f(x)是分段

31、是分段表達的，求表達的，求F(x)時時注意分段求注意分段求.解：解：xxdttfxF)()(000 xdttdt 01010(2)xdttdtt dt 0 x10 x21 x2x=F(x)0120t2t 0 xxx0 xdt 0120120(2)0 xdttdtt dtdt 0 22x 2212xx 1 220,0,012( )21,1221,2xxxF xxxxx 即即例例6 6： 設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xxAxxxF111000)(2求求:(1):(1)A; ; (2) (2)P(0.3(0.3X 0.7);0.7); (3) (3)X的概率密度的

32、概率密度 f( (x) )解解:(1)F(x):(1)F(x)在在x=1x=1點連續(xù)點連續(xù), ,由左連續(xù)性得由左連續(xù)性得: :即即: :1)1(lim21 FAxx所以所以, ,A=1=1( (2)P(0.3X0.7) = F(0.7)2)P(0.3X0.7) = F(0.7)F(0.3) F(0.3) =0.7=0.72 20.30.32 2 = 0.4= 0.4即即: : 其其它它0102)(xxxf)(xF =0 x02x 0 x0時時, (x)的值的值.當當- x0時時例例1若若 XN(0,1），查標準正態(tài)分布表求：），查標準正態(tài)分布表求：; )8 . 0()1 XP; )13 . 0

33、()2 XP; )2()3 XP; )86. 1()4 XP. )5 . 0()5 XP解：解：)8 . 0()8 . 0()1 XP78814. 0 )13 . 0()2 XP)3 . 0()1( 61791. 084134. 0 22343. 0 )2()3 XP)2(1 XP)2(1 )2(1(1 )2( 97725. 0 )86. 1()4 XP)86. 1(1 96856. 01 03144. 0 )5 . 0()5 XP1)5 . 0(2 169146. 02 38292. 0 一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系定理定理1 1：若：若XN m m,s,

34、s2 2 ，則，則(0,1)XYNm ms s 說明：說明：若若XN m m,s,s2 2 ，則，則()P aXb)()(s sm ms sm m ab()aXbPm mm mm ms ss ss s XF(x)=P Xx ()XxPm mm ms ss s ()xm ms s 例例2 若隨機變量若隨機變量X)2 , 3(2N（1）求）求);11();52( XPXP);2( XP).3();2( XPXP（2）試決定）試決定c,使得使得).()(cXPcXP 解：解：23353(1)(25)()222XPXP (11)(1 1)(11)P XP XP X 5328. 069146. 0184

35、134. 0)5 . 0()1( 131( 0.5)( 1.5)1( )( )22 75827. 093319. 0169146. 011 32 330 3(2)(0)()()2222XXP XP XPP 32 332 3(2)(2)(2)()()2222XXP XP XP XPP 1( 0.5)( 2.5)1(0.5)(2.5) 31475. 099379. 0169146. 01 0)2( XP333(3)1(3)1()22XP XP XP 1(0)10.50.5 2 2）因為）因為 ，則，則)()(cXPcXP ()0.5P Xc 故故302c . 3 c即即333()()0.5222X

36、ccP 例例2 2：設(shè)某項競賽成績設(shè)某項競賽成績XN(65,100) , , 若按參賽人數(shù)若按參賽人數(shù)的的 10% 發(fā)獎，問獲獎分數(shù)線應定為多少發(fā)獎，問獲獎分數(shù)線應定為多少? ?解：設(shè)獲獎分數(shù)線為解：設(shè)獲獎分數(shù)線為x0，則求使，則求使 PX x0=0.1成立的成立的x0 000656511()1010 xXP XxP XxP , 1 . 0106510 x 即即,9 .010650 x 查表得查表得 1.280.9, 所以所以0651.2810 x x0=77.8 例例3 3：設(shè)某城市成年男子身高設(shè)某城市成年男子身高X 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 N(170,36)，( (單位單位: :

37、厘米厘米) )，問：，問： (1) (1)應如何設(shè)計公共汽車車門的高度應如何設(shè)計公共汽車車門的高度, ,使得男子與使得男子與 車門碰頭的機會小于車門碰頭的機會小于0.01?0.01? (2) (2)若車門高若車門高182182厘米厘米, ,求求100100個男子中與車門碰頭個男子中與車門碰頭 的人數(shù)不多余的人數(shù)不多余2 2人的概率人的概率. . 3 3s s 準則準則),(2s sm mNX若若()()P XkPkXkm ms ss sm ms sm m ()XPkkm ms s )()(kk 1)(2 k當當k k =1=1時，時，6826. 01)1(2)( s sm mXP當當k k =

38、2=2時，時，9544. 01)2(2)2( s sm mXP當當k k =3=3時，時，9974. 01)3(2)3( s sm mXPs sm m m ms sm m 2s sm m 3s sm m s sm m 2s sm m 368.26%95.44%99.74%如圖，如圖，盡管正態(tài)隨機變量盡管正態(tài)隨機變量X的取值范圍是的取值范圍是), ,(但它的值幾乎全部集中在但它的值幾乎全部集中在)3,3(s sm ms sm m 范圍的可能性僅占不到此為范圍的可能性僅占不到此為0.3%.這在統(tǒng)計學上稱為這在統(tǒng)計學上稱為s s3準則準則 (三倍標準差原則三倍標準差原則).,超出這個超出這個)(,

39、10 ,),1 , 0(如下圖所示分位點為標準正態(tài)分布的上稱點則滿足條件若設(shè)uuXPuNXjuux1)( 的圖形的對稱性可知：由,de21)1 , 0(),1 , 0(22 xzXPzNNXzx滿滿足足分分位位點點的的上上服服從從標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布設(shè)設(shè)., 可通過查表完成可通過查表完成的值的值求求 z05. 0z附表附表2-12-1025. 0z根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知.1 zz ,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-2例例1在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.求截面面積求截面面積 s= 的分布的分布.42d

40、例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，第五節(jié) 隨機變量的函數(shù)的分布一、基本概念一、基本概念二、離散型隨機變量二、離散型隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的這個問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.一、基本概念一、基本概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) g(x) 是定義在隨機變量是定義在隨機變量X 的一切可能值的的一切可能值的集合上的連續(xù)函數(shù)，如果集合上的連續(xù)函數(shù)，如果X 取取x 時，隨機變量時，隨機變量Y 取值為取值為y=g(x)，稱隨機變量，稱隨機變量Y 為隨機變量為隨機變量X 的函數(shù)，記

41、作的函數(shù)，記作Y=g(X). 如何根據(jù)已知的隨機變量如何根據(jù)已知的隨機變量X 的分布求得隨機變量的分布求得隨機變量Y=g(X) 的分布的分布？問題：問題：二、離散型隨機變量二、離散型隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布解：解： 當當 X 取值取值 1，2，5 時，時， Y 取對應值取對應值 5，7，13， 而且而且X 取某值與取某值與Y 取其對應值是兩個同時發(fā)生的事取其對應值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率件，兩者具有相同的概率.故故Y0.30.50.2 P 13 7 5 Y求求 Y = 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù).例例1設(shè)設(shè)X 0.30.50.2 P 5 2 1 X 一般地，若一般地

42、，若X是離散型是離散型 R.V X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為X P Xnxxx21nppp21Y P Y)()()(21nxgxgxgnppp21則則如果如果 中有一些是相同的，把它們作適當中有一些是相同的，把它們作適當并項即可并項即可.)(kxg例例2設(shè)設(shè)X 0.2 0.1 0.5 0.2 P -1 0 1 2 X求求 的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù).12 XY解：解：Y的所有可能取值為的所有可能取值為1，2，5，P(Y=1)=P(X=0 ) =0.1P (Y=2)= P ( X=-1 ) + P(X=1)=0.7P(Y=5)=P(X=2)=0.2Y 0.1 0.7 0.2 P 1 2 5 Y因

43、而因而例例3 3（難難）已知隨即變量已知隨即變量X 的分布律為：的分布律為：.3 , 2 , 1,21)( nnXPn求求)2sin(XY 的分布律。的分布律。解：解：Y的所有可能取值為的所有可能取值為-1，0，1， )11()7()3()1(XPXPXPYP)21211(212121218431173)6()4()2()0(XPXPXPYP)21211(21212121422642 3121112122 )9()5()1()1(XPXPXPYP)21211(212121218495 1582111214 Y 2/15 1/3 8/15 P -1 0 1 Y因而因而三

44、、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 已知隨機變量已知隨機變量X)(xf，求出，求出)(XgY 的密度函數(shù)，即的密度函數(shù)，即)(XgY .)(yfY 的的分分布布函函數(shù)數(shù)先先求求XgY 的的密密度度函函數(shù)數(shù)求求關(guān)關(guān)系系之之間間的的的的分分布布函函數(shù)數(shù)與與密密度度函函數(shù)數(shù)利利用用XgYXgY , yFY yFyfYY yYP yXgP yxgXdxxf)()(解解 題題 思思 路路,04,( )80,.Xxxfx 其其它它【例例3】設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 具有具有概率密度：概率密度：試求試求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y =2X+8 的分布

45、函數(shù)的分布函數(shù) FY(y)：)(yYPyFY 82yXP 28 yXP 28.)(yXdxxf可可以以求求得得：利利用用)()()2(yfyFYY )(yfY 28.)(yXdxxf )(yFY ., 0, 4280,21)28(81其其它它yy)28()28( yyfX ., 0, 40,8)(其它其它xxXfX ., 0,168,328)(其其它它yyyfY 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度為：的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導公式本例用到變限的定積分的求導公式).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxxjjj 則則如如果果)()()(,)()()(

46、xxfxFdttfxFxajjj 則則如如果果說明說明例例5 若若X ，求，求 的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。),(2s sm mNs sm m XY)()()()(m ms ss sm m yXPyXPyYPyFY( )yXfx dxs sm m ( )( )YYfyFy )(m ms ss s yfX解：已知解：已知222)(21)(s sm ms s xXexf2221ye Y)1 , 0(N222)(21s sm mm ms ss s s s ye),(xfX解：解：(1) 先求先求 Y = X 2 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY(y)：. 0)(0, 0120 yFyXYY時時故故當當由由于于,020時時當當 y【例例4】設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量