空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系學(xué)習(xí)教案

1、空間空間(kngjin)點(diǎn)線面的位置關(guān)系點(diǎn)線面的位置關(guān)系第一頁(yè)，共51頁(yè)。A1BD1C1DCB1A觀察長(zhǎng)方體，你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以觀察長(zhǎng)方體，你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以及側(cè)面、地面及側(cè)面、地面(dmin)之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？長(zhǎng)方體由上下長(zhǎng)方體由上下(shngxi)、前后、左右六個(gè)面圍成，有些面是平、前后、左右六個(gè)面圍成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看作是某個(gè)面內(nèi)的在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看作是某個(gè)面內(nèi)的直線等

2、等直線等等.空間中的點(diǎn)、直線空間中的點(diǎn)、直線(zhxin)、平面之間有什么位置關(guān)系，是我們接下來(lái)要討論的問題、平面之間有什么位置關(guān)系，是我們接下來(lái)要討論的問題.第1頁(yè)/共51頁(yè)第二頁(yè)，共51頁(yè)。1.平面平面(pngmin)的基本知識(shí)的基本知識(shí)(1)平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本最基本(jbn)的概念，即為不加定義的原始概念的概念，即為不加定義的原始概念.(2)平面平面(pngmin)的基本特征是無(wú)限延的基本特征是無(wú)限延展性展性.平面是理想的，絕對(duì)的平（平面是處處平直的面）；平面是理想的，絕對(duì)的平（平面是處處平直的面）；平面沒有大小

3、、沒有厚薄和寬窄，是不可度量的平面沒有大小、沒有厚薄和寬窄，是不可度量的. .光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果. .思考思考: :能不能說(shuō)一個(gè)平面長(zhǎng)能不能說(shuō)一個(gè)平面長(zhǎng)4 4米米, ,寬寬2 2米？為什么米？為什么? ?不能不能. .第2頁(yè)/共51頁(yè)第三頁(yè)，共51頁(yè)。畫法畫法(hu f)立體幾何立體幾何(ltjh)中通常用平行四邊形來(lái)表示平面，中通常用平行四邊形來(lái)表示平面， 有時(shí)也用圓或三角形等圖形來(lái)表示平面有時(shí)也用圓或三角形等圖形來(lái)表示平面.畫平面水平

4、畫平面水平(shupng)放放置時(shí)，常把平行四邊形置時(shí)，常把平行四邊形的銳角通常畫成的銳角通常畫成45，且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的且橫邊長(zhǎng)等于鄰邊長(zhǎng)的2倍倍.水平放置水平放置垂直放置垂直放置為了增強(qiáng)立體感，如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，常把它遮為了增強(qiáng)立體感，如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，常把它遮擋的部分用擋的部分用虛線虛線畫出來(lái)畫出來(lái).(3)平面的畫法及表示平面的畫法及表示1.平面的基本知識(shí)平面的基本知識(shí)第3頁(yè)/共51頁(yè)第四頁(yè)，共51頁(yè)。畫出兩個(gè)豎直放置畫出兩個(gè)豎直放置(fngzh)(fngzh)的相交平面的相交平面. .練習(xí)練習(xí)(linx)第4頁(yè)/共51頁(yè)第五頁(yè)，共51頁(yè)。表示表示(bios

5、h)方法：方法：ABCD把希臘字母把希臘字母 等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如如平面平面 ，平面，平面 ., 用表示平面用表示平面(pngmin)的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，如平面如平面(pngmin)ABCD.用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)(dngdin)的大寫英文的大寫英文字母表示，如平面字母表示，如平面AC或者平面或者平面BD.(3)平面的畫法及表示平面的畫法及表示1.平面的基本知識(shí)平面的基本知識(shí)第5頁(yè)/共51頁(yè)第六頁(yè)，共51頁(yè)。點(diǎn)點(diǎn)( (元

6、素元素): ):大寫字母大寫字母A A、B B、C C、DD直線直線( (點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合): ):小寫英文字母小寫英文字母 或者兩個(gè)大寫英文字母或者兩個(gè)大寫英文字母平面平面( (點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合): ):用希臘字母表示用希臘字母表示(biosh) (biosh) ； 用平行四邊形頂點(diǎn)字母或者其相對(duì)兩字母表示用平行四邊形頂點(diǎn)字母或者其相對(duì)兩字母表示(biosh).(biosh)., ,a b c, ,; 2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系第6頁(yè)/共51頁(yè)第七頁(yè)，共51頁(yè)。ABa點(diǎn)點(diǎn)A在直線在直線(zhxin)a上，上，記作記作點(diǎn)點(diǎn)B B不在直線不在直線(zhxin)a(zhx

7、in)a上，記作上，記作點(diǎn)點(diǎn)A在平面在平面(pngmin)上，記作上，記作點(diǎn)點(diǎn)B不在平面不在平面上，記作上，記作AB(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：AaBaAB2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系第7頁(yè)/共51頁(yè)第八頁(yè)，共51頁(yè)。(3)直線與平面的位置直線與平面的位置(wi zhi)關(guān)系：按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分三類關(guān)系：按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分三類直線直線a與平面與平面(pngmin)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱直線a與平面與平面(pngmin)相交相交.記為：記為：直線直線(zhxin)a(zhxin)a與平面與平

8、面沒有公共點(diǎn)，稱直線沒有公共點(diǎn)，稱直線(zhxin)a(zhxin)a與平面與平面平行平行. .記為：記為：aA Aaa直線直線a與平面與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，稱直線，稱直線a在平面在平面內(nèi)，內(nèi)，或稱平面或稱平面通過直線通過直線a. .記為：記為：a公理公理1aA/或aaa注注1：情況和統(tǒng)稱為直線：情況和統(tǒng)稱為直線a在平面在平面外，記作外，記作2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系第8頁(yè)/共51頁(yè)第九頁(yè)，共51頁(yè)。(4)平面與平面的位置平面與平面的位置(wi zhi)關(guān)系：按有否公共點(diǎn)分關(guān)系：按有否公共點(diǎn)分兩類兩類a當(dāng)兩個(gè)不同平面當(dāng)兩個(gè)不同平面與平面與平面有公共點(diǎn)時(shí)，

9、它們的公共點(diǎn)組成直有公共點(diǎn)時(shí)，它們的公共點(diǎn)組成直線線(zhxin)a(zhxin)a，稱平面，稱平面與平面與平面相交相交. .記作：記作：當(dāng)平面當(dāng)平面(pngmin)(pngmin)與平面與平面(pngmin)(pngmin)沒有公共點(diǎn)時(shí)，沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱平面稱平面(pngmin)(pngmin)與平面與平面(pngmin)(pngmin)平行平行. .記作：記作：公理公理3a /或 注注2：當(dāng)平面：當(dāng)平面上的所有點(diǎn)都在平面上的所有點(diǎn)都在平面上時(shí)，稱平面上時(shí)，稱平面與平面與平面重合重合.公理公理2（當(dāng)兩個(gè)平面有不共線的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合（當(dāng)兩個(gè)平面有不共線的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合)

10、2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系第9頁(yè)/共51頁(yè)第十頁(yè)，共51頁(yè)。小結(jié)：用數(shù)學(xué)小結(jié)：用數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線、面之間的位置符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：關(guān)系：BaaAbaAAB練習(xí)練習(xí)(linx)AaBaABaabA/或aaa /或 平面平面(pngmin)與平面與平面(pngmin)重合重合第10頁(yè)/共51頁(yè)第十一頁(yè)，共51頁(yè)。桌面桌面AB觀察下列問題觀察下列問題(wnt)，你能得到什么，你能得到什么結(jié)論？結(jié)論？直尺直尺(zh ch)落在桌面上（直線落在桌面上（直線AB在平面在平面內(nèi)）內(nèi)）3.平面平面(pngmin)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)第11頁(yè)

11、/共51頁(yè)第十二頁(yè)，共51頁(yè)。,且Al BlABl 圖形圖形(txng)語(yǔ)語(yǔ)言：言：ABl(1)公理公理(gngl)1：若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面：若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，內(nèi)， 則這條直線在此平面內(nèi)則這條直線在此平面內(nèi).符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：該公理反映了直線與平面的位置關(guān)系：該公理反映了直線與平面的位置關(guān)系：可用于判定直線是否可用于判定直線是否(sh fu)在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否(sh fu)在平面在平面內(nèi)，又可用直線檢驗(yàn)平面內(nèi)，又可用直線檢驗(yàn)平面.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)第12頁(yè)/共51頁(yè)第十三頁(yè)，共51頁(yè)。思考：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有思考：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有(zhyu

12、)一個(gè)公共點(diǎn)呢？一個(gè)公共點(diǎn)呢？不會(huì)！因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的不會(huì)！因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的.因此，兩個(gè)平面有一個(gè)公共因此，兩個(gè)平面有一個(gè)公共(gnggng)點(diǎn)，必然有無(wú)數(shù)點(diǎn)，必然有無(wú)數(shù)個(gè)公共個(gè)公共(gnggng)點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)，并且這些公共(gnggng)點(diǎn)在點(diǎn)在一條直線上一條直線上.3.平面的基本平面的基本(jbn)性質(zhì)性質(zhì)第13頁(yè)/共51頁(yè)第十四頁(yè)，共51頁(yè)。且PlPlPl(2)公理公理3：若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共：若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共(gnggng)點(diǎn)，點(diǎn)， 則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共(gnggng)直直線線.圖形圖形(txng)語(yǔ)言：語(yǔ)言：符號(hào)

13、語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：該公理反映了平面該公理反映了平面(pngmin)與平面與平面(pngmin)的位置關(guān)的位置關(guān)系：系：i)該公理是用以判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)：該公理是用以判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)：只要兩個(gè)平面有一個(gè)公只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可判定這兩個(gè)平面必相交于過該點(diǎn)的一條直線共點(diǎn)，就可判定這兩個(gè)平面必相交于過該點(diǎn)的一條直線.(找兩個(gè)面的交線只要找出兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可找兩個(gè)面的交線只要找出兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可)ii)該公理可用以判定點(diǎn)在直線上：該公理可用以判定點(diǎn)在直線上：點(diǎn)是某兩平面的公共點(diǎn)，線是這點(diǎn)是某兩平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則該點(diǎn)在交線上兩個(gè)平面的公共交線，則該點(diǎn)

14、在交線上.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)第14頁(yè)/共51頁(yè)第十五頁(yè)，共51頁(yè)。CBA觀察下列觀察下列(xili)問題，你能得到什么問題，你能得到什么結(jié)論？結(jié)論？自行車需要自行車需要(xyo)一個(gè)支腳架就可以保持平衡一個(gè)支腳架就可以保持平衡.3.平面平面(pngmin)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)第15頁(yè)/共51頁(yè)第十六頁(yè)，共51頁(yè)。ABC(3)公理公理2： 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有(zhyu)一個(gè)平面一個(gè)平面., ,不共線有且只有一個(gè)平面 ，使得A B CABC圖形圖形(txng)語(yǔ)言：語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：定義的說(shuō)明：定義的說(shuō)明：過不在一條直線上的四

15、點(diǎn)，不一定有平面過不在一條直線上的四點(diǎn)，不一定有平面.故要充分重視故要充分重視“不不在一條直線上的三點(diǎn)在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件；這一條件；“有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)”強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩方面，不能用強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩方面，不能用“只有一個(gè)只有一個(gè)”替代替代(tdi)；確定一個(gè)平面的確定一個(gè)平面的“確定確定”是是“有且只有有且只有”的同義詞的同義詞.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)第16頁(yè)/共51頁(yè)第十七頁(yè)，共51頁(yè)。推論推論1 1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn), ,有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)(y )(y )平面平面. .證明證明(zhngmng)(zhn

16、gmng)：存在存在(cnzi)(cnzi)性性. .因?yàn)橐驗(yàn)锳 a，在，在a上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)B，C.所以過不共線的三點(diǎn)所以過不共線的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面有一個(gè)平面 .（公理（公理2）因?yàn)橐驗(yàn)锽 ，C ，故經(jīng)過點(diǎn)故經(jīng)過點(diǎn)A和直線和直線a有一個(gè)平面有一個(gè)平面 .ABCa因?yàn)橐驗(yàn)锽，C在在a上，上，所以過直線所以過直線a和點(diǎn)和點(diǎn)A的平面一定經(jīng)過點(diǎn)的平面一定經(jīng)過點(diǎn)A，B，C.由公理由公理2，經(jīng)過不共線三點(diǎn)，經(jīng)過不共線三點(diǎn)A，B，C的平面只有一個(gè)，的平面只有一個(gè)，所以過直線所以過直線a和點(diǎn)和點(diǎn)A的平面只有一個(gè)的平面只有一個(gè).唯一性唯一性.所以所以a .（公理（公理1）已知點(diǎn)已知點(diǎn)A a，求證過

17、點(diǎn)，求證過點(diǎn)A和直線和直線a可以確定一個(gè)平面可以確定一個(gè)平面.3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)第17頁(yè)/共51頁(yè)第十八頁(yè)，共51頁(yè)。推論推論2 2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有經(jīng)過兩條相交直線，有且只有(zhyu)(zhyu)一個(gè)平面一個(gè)平面. .推論推論3 3 經(jīng)過兩條平行經(jīng)過兩條平行(pngxng)(pngxng)直線，有且只有一個(gè)平面直線，有且只有一個(gè)平面. .baab推論推論1 1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)(y din),(y din),有且只有一有且只有一個(gè)平面?zhèn)€平面. .ABCa注注3：公理公理2及其三個(gè)推論是確定平面以及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，及其三

18、個(gè)推論是確定平面以及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助平面的依據(jù)是證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助平面的依據(jù).ABC公理公理2： 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.練習(xí)3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)第18頁(yè)/共51頁(yè)第十九頁(yè)，共51頁(yè)。abced我們知道我們知道,在同一平面在同一平面(pngmin)內(nèi)內(nèi), 如果兩條直線都和第三條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察觀察 : 將一張紙如圖進(jìn)行折疊將一張

19、紙如圖進(jìn)行折疊(zhdi) , 則各折痕及邊則各折痕及邊 a, b, c, d, e, 之間有何關(guān)系？之間有何關(guān)系？ab c d e /,/BBAA DDAABBDD觀察：在右圖的長(zhǎng)方體中，那么與平行嗎？ABCDABCD3.平面的基本平面的基本(jbn)性質(zhì)性質(zhì)第19頁(yè)/共51頁(yè)第二十頁(yè)，共51頁(yè)。符號(hào)符號(hào)(fho)表表示示:caabc c(4)公理公理4：平行于同一條：平行于同一條(y tio)直線的兩條直線互相平直線的兩條直線互相平行行.a/ , / .ab bcac平行平行(pngxng)具具有傳遞性；有傳遞性；注注4：該公理是判斷空間兩條直線平行的方法之一該公理是判斷空間兩條直線平行的

20、方法之一.即要證明兩條即要證明兩條直線平行，一般利用第三條直線作為聯(lián)系兩直線的中間環(huán)節(jié)直線平行，一般利用第三條直線作為聯(lián)系兩直線的中間環(huán)節(jié).3.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)第20頁(yè)/共51頁(yè)第二十一頁(yè)，共51頁(yè)。例例1 1 在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1中，直線中，直線ABAB與與C1D1 C1D1 ，AD1AD1與與BC1BC1是什么是什么(shn me)(shn me)位置關(guān)系？為什么位置關(guān)系？為什么(shn me)(shn me)？解：解：C1ABCDA1B1D11）ABA1B1， C1D1 A1B1， AB C1D1 2）AB C1D1 ，且，且AB

21、= C1D1 ABC1D1為平行四邊形為平行四邊形故故AD1 BC1 練習(xí)：上例中，練習(xí)：上例中，AA1與與CC1，AC與與A1C1的位置是什么的位置是什么(shn me)關(guān)系？關(guān)系？111,););若分別是的中點(diǎn),判斷下列直線是否平行:與與E F G HAB AD C Di EFGHii DEHB第21頁(yè)/共51頁(yè)第二十二頁(yè)，共51頁(yè)。例例2 2 已知已知ABCDABCD是四個(gè)頂點(diǎn)是四個(gè)頂點(diǎn)(dngdin)(dngdin)不在同一個(gè)平面內(nèi)的空間四邊不在同一個(gè)平面內(nèi)的空間四邊形，形，E E，F(xiàn) F，G G，H H分別是分別是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中點(diǎn)，連結(jié)的中點(diǎn)，連結(jié)EFEF

22、，F(xiàn)GFG，GHGH，HEHE，求證：，求證：EFGHEFGH是一個(gè)平行四邊形是一個(gè)平行四邊形. .問問1:若上例加上條件若上例加上條件(tiojin)AC=BD，則四邊形，則四邊形EFGH是一個(gè)什么圖形？是一個(gè)什么圖形？“見中點(diǎn)找中點(diǎn)見中點(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明平行的常用構(gòu)造三角形的中位線是證明平行的常用(chn yn)(chn yn)方法方法 EH是是ABD的中位線，的中位線，EH FG且且EH =FGEFGH是一個(gè)平行四邊形是一個(gè)平行四邊形證明：證明：連結(jié)連結(jié)BD，同理，同理，F(xiàn)G BD且且FG = BD12 EH BD且且EH = BD12AB DEFGHC菱形菱形問問2:若

23、上例中四邊形若上例中四邊形EFGH為矩形，為矩形，AC與與BD垂直嗎？垂直嗎？EH/FG,EF/HG?法 二 ： 往 證呢另注：平行線段成比例另注：平行線段成比例練習(xí)第22頁(yè)/共51頁(yè)第二十三頁(yè)，共51頁(yè)。ABCDA1B1C1D1O1O11111111111111111111.,.,.,.例3 如圖，在正方體中，(1)判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由：直線在平面內(nèi)；點(diǎn)可確定一個(gè)平面；由點(diǎn)確定的平面與由點(diǎn)確定的平面是同一個(gè)平面；設(shè)正方形與的中心分別為則面與面的交線為ABCDABC DAACCC B BBA O CCA C BA C DDABCDABC DO OAAC CBB D DOO1111.

24、與面的交點(diǎn)落在直線上E ACBDD BOO第23頁(yè)/共51頁(yè)第二十四頁(yè)，共51頁(yè)。ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)找兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)111111111111;長(zhǎng)方體中，畫出下列平面的交線：(1)平面與平面(2)平面與平面ABCDABC DAC DB D DAC BAB D例例 幾何體中的截面幾何體中的截面(jimin)問題（兩平面的交問題（兩平面的交線問題）線問題）第24頁(yè)/共51頁(yè)第二十五頁(yè)，共51頁(yè)。?NDABCCABDMNQPQ即交線為即交線為QN , ,;,;*在棱長(zhǎng)為 的正方體中，分別是的中點(diǎn).(1)畫出過點(diǎn)的平面與正方體的下底面的交線(2

25、)設(shè)平面求的長(zhǎng)aABCDABCDM NAA DCD M NllABPPB例例 幾何體中的截面問題幾何體中的截面問題(wnt)（兩平面的交線問（兩平面的交線問題題(wnt)）分析：找面與面的交線 找面與面的兩個(gè)公共點(diǎn).DMNABCDDMNABCD, 面面在同一個(gè)平面內(nèi),且交點(diǎn)為MDDMNADABCDMD ADADDAQ和的交點(diǎn)面面MDADQDMNABCD拓展(tu zhn)第25頁(yè)/共51頁(yè)第二十六頁(yè)，共51頁(yè)。4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題(wnt)(1)(1)證明的主要依據(jù)：公理證明的主要依據(jù)：公理1 1；公理；公理2 2及其三個(gè)推論及其三個(gè)推論. .(2)(2)證明的常用方法：證明的常用方法

26、：納入平面法：先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其余納入平面法：先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其余(qy)(qy)有關(guān)的點(diǎn)、有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余，再證明其余(qy)(qy)元素確元素確定平面定平面，最后證明平面，最后證明平面、重合重合. .第26頁(yè)/共51頁(yè)第二十七頁(yè)，共51頁(yè)。例例1 1 證明證明(zhngmng)(zhngmng)兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi). .ABC已知：已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求證求證(

27、qizhng)：直線：直線AB，BC，AC共面共面.證明證明(zhngmng)：因?yàn)橐驗(yàn)锳BAC=A，所以直線所以直線AB，AC確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 .（推論（推論2）因?yàn)橐驗(yàn)锽AB，CAC，所以，所以B ，C ，故故BC .（公理（公理1）因此直線因此直線AB，BC，CA共面共面.確定一個(gè)面，再確定一個(gè)面，再證明其余線在該證明其余線在該面內(nèi)面內(nèi). .4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題第27頁(yè)/共51頁(yè)第二十八頁(yè)，共51頁(yè)。證法證法(zhn f)二：二：因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)A 直線直線BC上，上，所以過點(diǎn)所以過點(diǎn)A和直線和直線BC確定平面確定平面(pngmin) .（推論（推論1）因?yàn)橐驗(yàn)锽B

28、C，所以，所以B . 又又A ， 故故AB ，同理同理AC ，所以所以AB，AC，BC共面共面.ABC例例1 1 證明兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)證明兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi). .證法三：證法三：因?yàn)橐驗(yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，三點(diǎn)不在一條直線上，所以過所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面三點(diǎn)可以確定平面 .（公理（公理2）因?yàn)橐驗(yàn)锳 ，B ，所以，所以AB .（公理（公理1）同理同理BC ，AC ，所以所以AB，BC，CA三直線共面三直線共面.4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題第28頁(yè)/共51頁(yè)第二十九頁(yè)，共51頁(yè)。練 已知求證:直線,共面.,D, A B Cll

29、AD BD CDABCDl證明與 確定平面:.DllD 又,.A B Cl lA B C 又即共面.,DBD CD ADAD BD CD 4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題(wnt)第29頁(yè)/共51頁(yè)第三十頁(yè)，共51頁(yè)。P51 5 證明證明(zhngmng)：一條直線與兩條平行直線都相交，則這三條直線共面：一條直線與兩條平行直線都相交，則這三條直線共面.已知：已知：a/b，ac=A，bc=B.求證求證(qizhng)：直線：直線a，b，c共面共面.證明證明(zhngmng)：因?yàn)橐驗(yàn)閍/b，所以直線所以直線a，b確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 .（推論（推論3）因?yàn)橐驗(yàn)锳a，Bb，所以，所以A ，B .又

30、因?yàn)橛忠驗(yàn)锳c，Bc.故故AB .（公理（公理1）因此直線因此直線a，b，c共面共面.abcAB4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題第30頁(yè)/共51頁(yè)第三十一頁(yè)，共51頁(yè)。例例2 2 已知一條直線與三條已知一條直線與三條(sn tio)(sn tio)平行直線都相交，證明這四條直線共面平行直線都相交，證明這四條直線共面. .abcABCl已知：已知：a/b/c，al=A，bl=B, cl=C.求證求證(qizhng)：直線：直線l與與a，b，c共面共面.證明證明(zhngmng)：a/b， 直線直線a，b確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 .（推論（推論3） l a=A， l b=B， A ，B .又又Al，B

31、l，故，故l . 同理，同理，直線直線b，c確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 ，且，且l .平面平面 與與 都過兩相交直線都過兩相交直線b，l.又又兩相交直線確定一個(gè)唯一的平面兩相交直線確定一個(gè)唯一的平面. 與與 重合重合.故故l與與a，b，c共面共面.證明兩個(gè)平面重合是證明直線在平面內(nèi)問題的重要方法證明兩個(gè)平面重合是證明直線在平面內(nèi)問題的重要方法.4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題第31頁(yè)/共51頁(yè)第三十二頁(yè)，共51頁(yè)。練練 已知已知a ，b ，ab=A，Pb，PQ/a . 求證求證(qizhng)：PQ .abQAPPQ/ ,PQ.P,.證明:直線與 確定一個(gè)平面，設(shè)為aaa P,P.又且baa1P.P

32、Q.由推論 ，過 ， 有且只有一個(gè)平面和 重合，即有a4.點(diǎn)線共面問題點(diǎn)線共面問題(wnt)第32頁(yè)/共51頁(yè)第三十三頁(yè)，共51頁(yè)。(1)(1)證明的主要依據(jù)是公理證明的主要依據(jù)是公理3 3： 如果兩個(gè)平面相交，則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)共線；如果兩個(gè)平面相交，則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)共線； 如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一平面的交如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上. .(2)(2)證明的常用方法：證明的常用方法：首先找出兩個(gè)平面，再證這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)；首先找出兩個(gè)平面，再證這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)；選擇其

33、中兩點(diǎn)確定一條直線，然后選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后(rnhu)(rnhu)證明另一個(gè)點(diǎn)也在證明另一個(gè)點(diǎn)也在其上（一般地，這條直線看作某兩個(gè)平面的交線，往證第三個(gè)點(diǎn)其上（一般地，這條直線看作某兩個(gè)平面的交線，往證第三個(gè)點(diǎn)也是兩個(gè)面的公共點(diǎn)）；也是兩個(gè)面的公共點(diǎn)）；證明三線共點(diǎn)問題：先證明兩條直線交于一個(gè)點(diǎn)，再證明第三證明三線共點(diǎn)問題：先證明兩條直線交于一個(gè)點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)（轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線上的問題）條直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)（轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線上的問題）5.證明三點(diǎn)共線、三線證明三點(diǎn)共線、三線(sn xin)共點(diǎn)的共點(diǎn)的問題問題第33頁(yè)/共51頁(yè)第三十四頁(yè)，共51頁(yè)。例例1 1 已知三角形

34、已知三角形ABCABC的三條邊的三條邊ABAB、BCBC、ACAC與平面與平面(pngmin)(pngmin)分別分別交于交于P P、Q Q、R.R.求證：求證：P P、Q Q、R R共線共線. .BAQRCP證明證明(zhngmng)：同理同理Q、R也為公共也為公共(gnggng)點(diǎn)，點(diǎn)，所以所以P、Q、R共線共線.要證明各點(diǎn)共線，只要證要證明各點(diǎn)共線，只要證明他們是兩個(gè)相交平面的明他們是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)公共點(diǎn).ABCABC.平面平面PABPABC.又平面PP5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題第34頁(yè)/共51頁(yè)第三十五頁(yè)，共51頁(yè)。P53 3 空間四邊形空間四邊

35、形ABCD中，中，E，F(xiàn)分別分別(fnbi)是是AB和和CB上的上的點(diǎn)，點(diǎn)，G，H分別分別(fnbi)是是CD和和AD上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且EH與與FG相交于相交于K.求證：求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn)三條直線相交于同一點(diǎn).分析：分析：已知已知EHFG=K，要證，要證EH，BD，F(xiàn)G共點(diǎn)共點(diǎn).即要證明即要證明B，D，K三點(diǎn)三點(diǎn)(sn din)共線共線.而而BD是面是面ABD和面和面(h min)CBD的交線的交線.所以往證所以往證K面面ABD面面CBD.而顯然，由而顯然，由EH面面ABD，KEH，可得，可得K面面ABD.同理，由同理，由FG面面CBD，KFG，可得，可得K面面CBD

36、.ABCDEFHGK5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題第35頁(yè)/共51頁(yè)第三十六頁(yè)，共51頁(yè)。111111111, ,.(2),),),.練習(xí) 正方體中，(1)是該正方體下底面的中心，過作一截面，求證：此截面與對(duì)角線的交點(diǎn) 一定在上若分別是的中點(diǎn)，求證：四點(diǎn)共面；三線共點(diǎn)ABCDABC DMC B DACPC ME FAB A AiE F D Cii CE D F DA,:=2:3.,.練習(xí) 在四面體中，分別是的中點(diǎn)， 在上在上，且有求證:三線共點(diǎn)ABCDE GAB BCFCDHADDF FCDH HAEF GH BDABCDA1B1C1D1M第36頁(yè)/共51頁(yè)第三十

37、七頁(yè)，共51頁(yè)。小結(jié)小結(jié)(xioji)：(1) 空間點(diǎn)、線、面的位置空間點(diǎn)、線、面的位置(wi zhi)關(guān)系關(guān)系(2) 平面的基本性質(zhì)（四個(gè)公理）平面的基本性質(zhì)（四個(gè)公理）(3) 證明直線平行的常用方法證明直線平行的常用方法(4) 點(diǎn)線共面，三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線問題的證明點(diǎn)線共面，三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線問題的證明作業(yè)作業(yè)(zuy)：P51 5、6 P53 B組組2、3 P78 3、4、8精講精練：精講精練： P18 9、8第37頁(yè)/共51頁(yè)第三十八頁(yè)，共51頁(yè)?！耙娭悬c(diǎn)找中點(diǎn)見中點(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明構(gòu)造三角形的中位線是證明(zhngmng)(zhngmng)平行的常用方法平行的常用方法

38、P78 4,5P78 4,5,/,./.,1/.21/.2.EFAEBCAEBCABFEABEFABEFC DCDGEFDCEFDCEFDCABDCABABCD（1）證明:連接因?yàn)榍宜运倪呅螢槠叫兴倪呅吻矣忠驗(yàn)榉謩e為棱邊的中點(diǎn)為的中位線.且即且四邊形為梯形ABCDEFG(2) 立體幾何中求解平面的角度邊長(zhǎng)立體幾何中求解平面的角度邊長(zhǎng)面積等問題時(shí)，注意重新畫出圖形，面積等問題時(shí)，注意重新畫出圖形，結(jié)合幾何體找出邊角關(guān)系并利用結(jié)合幾何體找出邊角關(guān)系并利用(lyng)平面圖形性質(zhì)求解問題平面圖形性質(zhì)求解問題.back第38頁(yè)/共51頁(yè)第三十九頁(yè)，共51頁(yè)。在長(zhǎng)方體中， 為棱的中點(diǎn)，畫出由, 三點(diǎn)所

39、確定的平面 與長(zhǎng)方體表面的交線.1111ACPBBA CP 例例 幾何體中的截面幾何體中的截面(jimin)問題（兩平面的交線問問題（兩平面的交線問題）題）精講精練精講精練P2 4（正方體的截面形狀（正方體的截面形狀(xngzhun)的研究）的研究）back第39頁(yè)/共51頁(yè)第四十頁(yè)，共51頁(yè)。形狀形狀特殊情形特殊情形三角形三角形銳銳角角三三角角形形等等腰腰三三角角形形等等邊邊三三角角形形四邊形四邊形平平行行四四邊邊形形長(zhǎng)長(zhǎng)方方形形正正方方形形梯梯形形不可能是直角梯形不可能是直角梯形五邊形五邊形注意：該五邊形注意：該五邊形必有兩組分別平必有兩組分別平行的邊，且不可行的邊，且不可能是正五邊形能是

40、正五邊形六邊形六邊形注意：該六邊形注意：該六邊形必有分別平行的必有分別平行的邊，且可以是正邊，且可以是正六邊形六邊形第40頁(yè)/共51頁(yè)第四十一頁(yè)，共51頁(yè)。例例 幾何體中的截面問題幾何體中的截面問題(wnt)（兩平面的交線問（兩平面的交線問題題(wnt)）正方體中，試畫出過其中三條棱的中點(diǎn)正方體中，試畫出過其中三條棱的中點(diǎn)(zhn din)P(zhn din)P，Q Q，R R的的平面截得正方體的截面形狀平面截得正方體的截面形狀back第41頁(yè)/共51頁(yè)第四十二頁(yè)，共51頁(yè)。正方體中，試畫出過其中正方體中，試畫出過其中(qzhng)(qzhng)三條棱的中點(diǎn)三條棱的中點(diǎn)P P，Q Q，R R的

41、平面截得正方體的截面形狀的平面截得正方體的截面形狀1111分析：找面PQRK與面ADD A的交線找面PQRK與面ADD A的兩個(gè)公共點(diǎn).R?11PQ面PQRKAD面ADD APQ，AD在同一平面ABCD內(nèi)，交點(diǎn)為S11PQ和AD的交點(diǎn)S面PQRK，S面ADD A .S即交線為即交線為RS交交AA1于中點(diǎn)于中點(diǎn)(zhn din)GKGHS1111同理，找面PQRK與面BCC B的交線找面PQRK與面BCC B的兩個(gè)公共點(diǎn).Q?T即交線為即交線為QT交交CC1于中點(diǎn)于中點(diǎn)(zhn din)HT例例 幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）幾何體中的截面問題（兩平面的交線問題）back第42頁(yè)/共51

42、頁(yè)第四十三頁(yè)，共51頁(yè)。G,H,RKHQPG.GHRK/.RQRK=RRQPQ=QRQGH=JRHQG)RQGHPQ法二：取中點(diǎn)往證六點(diǎn)共面連結(jié)，/又(在平面內(nèi)即直線與三條平行直線都相交故這四條直線共面（前面已證明），從而這六點(diǎn)共面KGHJ例例 幾何體中的截面幾何體中的截面(jimin)問題（兩平面的交線問題（兩平面的交線問題）問題）正方體中，試畫出過其中三條正方體中，試畫出過其中三條(sn tio)(sn tio)棱的中點(diǎn)棱的中點(diǎn)P P，Q Q，R R的平面截得正方體的截面形狀的平面截得正方體的截面形狀back第43頁(yè)/共51頁(yè)第四十四頁(yè)，共51頁(yè)。* *畫出四面體畫出四面體ABCDABCD中過中過E,F,GE,F,G三點(diǎn)三點(diǎn)(sn din)(sn din)的截面與四面體各面的交線的截面與四面體各面的交線. .ABCEFGP分析：找面EFG與面BCD的交線找面EFG與面BCD的兩個(gè)公共點(diǎn).EF面EFGBD面BCDEF，BD在同一平面內(nèi)，交點(diǎn)為PEF和BD的交點(diǎn)P面EFG面BCD.P即交線為GPG?同理，找面EFG與面ADC的交線找面EFG與面ADC的兩個(gè)公共點(diǎn).F?HD連接GP交DC于H，則HDC面ADC,且HGP面EFG.H 即交線為FH例例 幾何體中的截面幾何體中的截面(jimin)問題（兩平面的交