數(shù)理統(tǒng)計(jì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1、心理和教育方面的實(shí)驗(yàn)或調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)，大都具有隨機(jī)變量的性質(zhì)。而對(duì)這些隨機(jī)變量的描述，僅有前一章所講集中趨勢(shì)的度量是不夠的。集中量數(shù)只描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和典型情況，它還不能說(shuō)明一組數(shù)據(jù)的全貌。數(shù)據(jù)除典型情況之外，還有變異性的特點(diǎn)。對(duì)于數(shù)據(jù)變異性即離中趨勢(shì)進(jìn)行度量的一組統(tǒng)計(jì)量，稱作差異量數(shù)，這些差異量數(shù)有標(biāo)準(zhǔn)差或方差，全距，平均差，四分差及各種百分差等等。第一節(jié)    方差與標(biāo)準(zhǔn)差      方差(Variance)也稱變異數(shù)、均方。作為統(tǒng)計(jì)量，常用符號(hào)S2表示，作為總體參數(shù)，常用符號(hào)2表示。它是每個(gè)數(shù)據(jù)

2、與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差乘方后的均值，即離均差平方后的平均數(shù)。方差，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中又常稱之為二階中心矩或二級(jí)動(dòng)差。它是度量數(shù)據(jù)分散程度的一個(gè)很重要的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差(Standard deviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。若用表示，則是指總體的標(biāo)準(zhǔn)差，本章只討論對(duì)一組數(shù)據(jù)的描述，尚未涉及總體問(wèn)題，故本章方差的符號(hào)用S2，標(biāo)準(zhǔn)差的符號(hào)用S。符號(hào)不同，其含義不完全一樣，這一點(diǎn)望讀者能夠給予充分的注意。一、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算(一)未分組的數(shù)據(jù)求方差與標(biāo)準(zhǔn)差基本公式是： （3l a） （31b）表31說(shuō)明公式31a與31b的計(jì)算步驟表31 未分組的數(shù)據(jù)求方差與標(biāo)準(zhǔn)差Xi XiXx x2(X

3、iX)2 Xi2 6 5 7 4 6 8 0 -1 l -2 0 2 0 l 1 4 0 4 36 25 49 16 36 64 N6 Xi36 x0 x210 Xi2226   應(yīng)用31公式的具體步驟：先求平均數(shù)X36/66；計(jì)算Xi -X；求(Xi - X)2即離均差x2；將各離均差的平方求和 (x2)；代入公式31a與31b求方差與標(biāo)準(zhǔn)差。具體結(jié)果如下： S2=10/6=1.67 (二)已分組的數(shù)據(jù)求標(biāo)準(zhǔn)差與方差數(shù)據(jù)分組后，便以次數(shù)分布表的形式出現(xiàn)，這時(shí)原始數(shù)據(jù)不見(jiàn)了，若計(jì)算方差與標(biāo)準(zhǔn)差可用下式： (33a) (33b)式中d(Xc - AM) / i，AM為估計(jì)平均數(shù)Xc為各

4、分組區(qū)間的組中值f為各組區(qū)間的次數(shù)N=f 為總次數(shù)或各組次數(shù)和i為組距。下面以表18數(shù)據(jù)為例，說(shuō)明分組數(shù)據(jù)求方差與標(biāo)準(zhǔn)差的步驟:表32 次數(shù)分布表求方差與標(biāo)準(zhǔn)差   分組區(qū)間 Xc f d fd fd2 計(jì) 算 96- 93- 90- 87- 84- 81- 78- 75- 72- 69- 66- 63- 60- 97 94 91 88 85 82 79 76 73 70 67 64 61 2 3 4 8 11 17 19 14 10 7 3 l 1 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 12 15 16 24 22 17 0 14 20 21 12 5 6 72 75

5、 64 72 44 17 0 14 40 63 48 25 36   S2=32* （570/100 -（28/100）2）=50.5944   S7113     i=3   f100   fd=28 fd2=570       具體步驟： 設(shè)估計(jì)平均數(shù)AM，任選一區(qū)間的Xc充任； 求d 用f乘d，并計(jì)算fd； 用d與fd相乘得fd2，并求fd2； 代入公式計(jì)算。二、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義 方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好的指標(biāo)。其值越大，說(shuō)明離散程度大，其值小說(shuō)明數(shù)據(jù)比較集中，它是統(tǒng)計(jì)描

6、述與統(tǒng)計(jì)分析中最常應(yīng)用的差異量數(shù)。它基本具備一個(gè)良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：反應(yīng)靈敏，每個(gè)數(shù)據(jù)取值的變化，方差或標(biāo)準(zhǔn)差都隨之變化；有一定的計(jì)算公式嚴(yán)密確定；容易計(jì)算；適合代數(shù)運(yùn)算；受抽樣變動(dòng)的影響小，即不同樣本的標(biāo)準(zhǔn)差或方差比較穩(wěn)定；簡(jiǎn)單明了，這一點(diǎn)與其他差異量數(shù)比較稍有不足，但其意義還是較明白的。除上述之外，方差還具有可加性特點(diǎn)，它是對(duì)一組數(shù)據(jù)中造成各種變異的總和的測(cè)量，能利用其可加性分解并確定出屬于不同來(lái)源的變異性(如組間、組內(nèi)等)并可進(jìn)一步說(shuō)明每種變異對(duì)總結(jié)果的影響，是以后統(tǒng)計(jì)推論部分常用的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)。在描述統(tǒng)計(jì)部分，只需要標(biāo)準(zhǔn)差就足以表明一組數(shù)據(jù)的離中趨勢(shì)了。標(biāo)準(zhǔn)差比其他各種差異量數(shù)具

7、有數(shù)學(xué)上的優(yōu)越性，特別是當(dāng)已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差后，便可知占一定百分比的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)上下各兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，或三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)據(jù)集合，至少有1一1/h2的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)的h(大于1的實(shí)數(shù))個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。(切比雪夫定理)。例如某組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50，標(biāo)準(zhǔn)差是5，則至少有75(1一1/22)的數(shù)據(jù)落在50-2*5至50+2*5即40至60之間，至少有889(1一1/32)的數(shù)據(jù)落在50-3*5至50+3*53565之間 (h=2，1-1/h2=1-1/22=3/4=75%，h=3, -1/h2=1-1/32=8/9=88.9%)。如果數(shù)據(jù)是呈正態(tài)分布，則數(shù)據(jù)將以更大的百分?jǐn)?shù)落在平均

8、數(shù)上下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)(95)或三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi) (99.)。三、由各小組的標(biāo)準(zhǔn)差求總標(biāo)準(zhǔn)差 由于方差具有可加性特點(diǎn)，在已知幾個(gè)小組的方差或標(biāo)準(zhǔn)差的情況下，可以計(jì)算出幾個(gè)小組聯(lián)合在一起的總的方差或標(biāo)準(zhǔn)差。這種計(jì)算常在科研協(xié)作中應(yīng)用，例如先了解各班學(xué)生情況，再了解全年級(jí)情況；或先了解各年級(jí)情況，再了解全?？偟那闆r。但這種方差或標(biāo)準(zhǔn)差的合成，只有在應(yīng)用同一種觀測(cè)手段，測(cè)量的是同一個(gè)特質(zhì)，只是樣本不同時(shí)，才能應(yīng)用。計(jì)算總方差或總標(biāo)準(zhǔn)差的公式如下； (34a) (34b) 式中 為總方差 為總標(biāo)準(zhǔn)差 N1Nn為各小組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) 為總平均數(shù) 為各小組的平均數(shù)四、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用 (一)差異系數(shù)(Coefficie

9、nt of variation)當(dāng)所觀測(cè)的樣本水平比較接近，而且是對(duì)同一個(gè)特質(zhì)使用同一種測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)量時(shí)，要比較不同樣本之間離散程度的大小，一般可直接比較標(biāo)準(zhǔn)差或方差的大小-標(biāo)準(zhǔn)差的值大說(shuō)明該組數(shù)據(jù)較分散，若標(biāo)準(zhǔn)差小，則說(shuō)明該組數(shù)據(jù)較集中。標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同，因而有時(shí)稱它為絕對(duì)差異量。在對(duì)不同樣本的觀測(cè)結(jié)果的離散程度進(jìn)行比較時(shí)，常會(huì)遇到下述情況：兩個(gè)或多個(gè)樣本所測(cè)的特質(zhì)不同，即所使用的觀測(cè)工具不同，如何比較其離散程度?即使使用的是同+種觀測(cè)工具，但樣本的水平相差較大時(shí)，如何比較它們的離散程度?在第一種情況下，標(biāo)準(zhǔn)差的單位不同，顯然不能直接比較標(biāo)準(zhǔn)差的大小。第二種情況雖然標(biāo)準(zhǔn)差的單

10、位相同，但兩樣本的水平不同，這可從平均數(shù)的大小明顯不同確定。通常情況下，平均數(shù)的值較大，其標(biāo)準(zhǔn)差的值一般也較大，平均數(shù)的值較小，其標(biāo)準(zhǔn)差的值也較小。這種情況下，若直接比較標(biāo)準(zhǔn)差取值的大小，借以比較不同樣本的分散情況是無(wú)意義的?？梢?jiàn)，上述兩種情況下，若用絕對(duì)差異量進(jìn)行直接比較以確定其分散程度的大小是不行的，這時(shí)可用相對(duì)差異量進(jìn)行比較。最常用的相對(duì)差異量就是差異系數(shù)。差異系數(shù)，又稱變異系數(shù)、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差等，通常用符號(hào)CV表示，其計(jì)算如下，CV=S / M * 100 (35) 式中S為某樣本的標(biāo)準(zhǔn)差M為該樣本的平均數(shù)。差異系數(shù)在心理與教育研究中常用于：同一團(tuán)體不同觀測(cè)值離散程度的比較，對(duì)于水平相差較

11、大，但進(jìn)行的是同一種觀測(cè)的各種團(tuán)體，進(jìn)行觀測(cè)值離散程度的比較。例2 已知某小學(xué)一年級(jí)學(xué)生的平均體重為25公斤，體重的標(biāo)準(zhǔn)差是3.7公斤，平均身高110厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為6.2厘米，問(wèn)體重與身高的離散程度哪個(gè)大?解： CV體重3.7 / 25 * 10014.8 CV身高6.2 / 110 * 1005.64通過(guò)比較差異系數(shù)可知，體重的分散程度比身高的分散程度大(14.8>5.64)。例3 通過(guò)同一個(gè)測(cè)驗(yàn)，一年級(jí)(7歲)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為60分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.02分，五年級(jí)(14歲)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 80分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.04分，問(wèn)這兩個(gè)年級(jí)的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)中哪一個(gè)分散程度大?解： CV一年級(jí)4.02 /

12、 60 * 100= 6.7 CV五年級(jí)6.04 /80 * 100= 7.55答；五年級(jí)的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)分散程度大。在應(yīng)用差異系數(shù)比較相對(duì)差異大小時(shí)，一般應(yīng)注意測(cè)量的數(shù)據(jù)要保證具有等距的尺度，這時(shí)計(jì)算的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差才有意義，應(yīng)用差異系數(shù)進(jìn)行比較也才有意義。另外，觀測(cè)工具應(yīng)具備絕對(duì)零，這時(shí)應(yīng)用差異系數(shù)去比較分散程度效果才更好。因此，差異系數(shù)常用于重量、長(zhǎng)度、時(shí)間，編制得好的測(cè)驗(yàn)量表范圍內(nèi)。第三，差異系數(shù)只能用于一般的相對(duì)差異量的描述上，至今尚無(wú)有效的假設(shè)檢驗(yàn)方法，因此對(duì)差異系數(shù)不能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論。(二)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(standard score)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱基分?jǐn)?shù)或z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)分?jǐn)?shù)在

13、團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。1計(jì)算公式； Z = （X ）/ S (36)式中X代表原始數(shù)據(jù)，X為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，S為標(biāo)準(zhǔn)差。從公式36可以明了，Z分?jǐn)?shù)的意義，它是一個(gè)數(shù)與平均數(shù)之差除以標(biāo)準(zhǔn)差所得的商數(shù)，它無(wú)實(shí)際單位。如果了個(gè)數(shù)小于平均數(shù)，其值為負(fù)數(shù)，如果一個(gè)數(shù)的值大于平均數(shù)，其值為正數(shù)，如果一個(gè)數(shù)的值等于平均數(shù)，其值為零?？梢?jiàn)Z分?jǐn)?shù)可以表明原數(shù)目在該組數(shù)據(jù)分布中的位置，故稱為相對(duì)位置量數(shù)。例4 某班平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為3分，甲生得942分，乙生得891分，求甲乙'學(xué)生的Z分?jǐn)?shù)各是多少?解：根據(jù)公式36Z甲=(94.290) / 3 = 1.4Z乙=(89.190) / 3

14、= -0.3Z分?jǐn)?shù)表示其原分?jǐn)?shù)在以平均數(shù)為中心時(shí)的相對(duì)位置，這比使用平均數(shù)和原分?jǐn)?shù)表達(dá)了更多的信息。 2Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 在一組數(shù)據(jù)中所有由原分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得出的z分?jǐn)?shù)之和為零，其Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)亦為零。一組數(shù)據(jù)中各z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1。3Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用Z分?jǐn)?shù)可用于比較分屬性質(zhì)不同的觀測(cè)值在各自數(shù)據(jù)分布中相對(duì)位置的高低。因?yàn)閦分?jǐn)?shù)可以表明各原數(shù)目在該組數(shù)據(jù)分布中的相對(duì)位置，它無(wú)實(shí)際單位。這樣不同觀測(cè)值的比較便可進(jìn)行。這里所說(shuō)的數(shù)據(jù)分布中相對(duì)位置包括兩個(gè)意思，一個(gè)是表示某原數(shù)目以平均數(shù)為中心以標(biāo)準(zhǔn)差為單位所處距離的遠(yuǎn)近與方向；另一個(gè)意思是表示某原數(shù)目在該組數(shù)據(jù)分布中的位置，即在該數(shù)目以下或以上的數(shù)據(jù)各有多少，如

15、果在一個(gè)正態(tài)分布(或至少是一個(gè)對(duì)稱分布)中，這兩個(gè)意思可合二為一。但在一個(gè)偏態(tài)分布中，這兩個(gè)意思就不能統(tǒng)一。這一點(diǎn)在應(yīng)用z分?jǐn)?shù)時(shí)要特別注意。例如有一人的身高是170厘米，體重是65公斤(也可以是另一人的體重)，究竟身高還是體重在各自的分布中較高?這是屬于兩種不同質(zhì)的觀測(cè)，不能直接比較。但若我們知道各自數(shù)據(jù)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這樣我們可分別求出z分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較。設(shè)Z身高1.700.5，Z體重65=1.2，則可得出該人的體重離平均數(shù)的距離要比身高離平均數(shù)的距離遠(yuǎn)，即該人在某團(tuán)體中身高稍偏高，而體重更偏重些。如果該團(tuán)體，身高與體重的次數(shù)分布為正態(tài)，我們還可更確切地知道該人的身高與體重在次數(shù)分布的相對(duì)

16、位置是多少，從而進(jìn)行更確切(或更數(shù)量化)的比較。 、當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測(cè)值的次數(shù)分布為正態(tài)時(shí)，可用z分?jǐn)?shù)求不同的觀測(cè)值的總和或平均值，以示在團(tuán)體中的相對(duì)位置。在算術(shù)平均數(shù)一節(jié)中講到，在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，要求數(shù)據(jù)必須同質(zhì)，否則會(huì)使平均數(shù)沒(méi)有意義，但有時(shí)需要將不同質(zhì)的數(shù)據(jù)合成，這時(shí)可采用Z分?jǐn)?shù)。例如已知高考的各科成績(jī)分布是正態(tài)分布，但是由于各科的難易度不同，因此，各科成績(jī)就屬于不同質(zhì)的數(shù)據(jù)。以前常采取總和分?jǐn)?shù)或求平均分?jǐn)?shù)的方法，這是不科學(xué)的。如果應(yīng)用Z分?jǐn)?shù)求總和或平均數(shù)則更有意義。類似這種情況有期末成績(jī)總和等。舉例如下表3-3 利用Z分?jǐn)?shù)求總和  科目 原始分?jǐn)?shù) 甲 乙 全體考生 平均數(shù) 標(biāo)

17、準(zhǔn)差 Z分?jǐn)?shù) 甲 乙 語(yǔ)文 政治 外語(yǔ) 數(shù)學(xué) 理化 85 89 70 62 68 72 53 40 72 87 70 lO 65 5 69 8 50 6 75 8 1.500 1.900 1.000 -0.600 0.125 0.375 0.500 -1.667 0.315 1.500 總計(jì) 348 350   2.500 1.505 假設(shè)二例是高等學(xué)校入學(xué)考試兩名考生甲與乙的成績(jī)分?jǐn)?shù)。如果按總分錄取則取乙生，若按標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)錄取則應(yīng)取甲生；為何會(huì)出現(xiàn)如此懸殊的差別?這是由于不恰當(dāng)?shù)赜?jì)算總和分?jǐn)?shù)造成的，因?yàn)楦骺瞥煽?jī)難易度不同，分散程度也不同；：各門學(xué)科的成績(jī)分?jǐn)?shù)是不等價(jià)的，亦即數(shù)據(jù)是不同

18、質(zhì)的，這時(shí)應(yīng)用總和分?jǐn)?shù)不夠科學(xué)，故此出現(xiàn)這類問(wèn)題，科學(xué)的方法應(yīng)當(dāng)用Z分?jǐn)?shù)合成。從Z分?jǐn)?shù)可知甲生多數(shù)成績(jī)是在平均數(shù)以上，即使有兩種成績(jī)低于平均數(shù)，差別也小?？傊煽?jī)較穩(wěn)定且在分布較高處，而乙生則不然?？梢?jiàn)應(yīng)用Z分?jǐn)?shù)更趨合理。表示標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù) 經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化的心理與教育測(cè)驗(yàn)，如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布，常常轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。轉(zhuǎn)換公式為 Z= aZ + b (37)式中Z為正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，Z（X ）/，a、b為常數(shù)，為測(cè)驗(yàn)常模的標(biāo)準(zhǔn)差。例如早期的智力測(cè)驗(yàn)所測(cè)的智力指標(biāo)為智商(IQ) 這種表示智力的方法有一定局限性，因?yàn)槿说匠赡暌院笾橇Σ辉匐S年齡而增長(zhǎng)，到了老年甚至智力有衰退。要用上面的公式表示，則不好。因此，韋克斯勒(DWechsler)制定新的智力量表時(shí)則用離差智商的概念表示一個(gè)人在同齡團(tuán)體中的相對(duì)智力。 IQ=15Z+100(WAIS)韋氏成人智力量表，其中Z = （X ）/ S ，X為原分?jǐn)?shù)， 為某團(tuán)體(或年齡組)的平均數(shù)，S為該年齡組的標(biāo)準(zhǔn)差。離差智商的常數(shù)100與15實(shí)際為總平均數(shù)與