數(shù)理方程第二版課后習(xí)題答案講解學(xué)習(xí)

1、數(shù)理方程第二版課后習(xí)題答案精品文檔第一章曲線論§1向量函數(shù)1 .證明本節(jié)命題3、命題5中未加證明的結(jié)論略2 .求證常向量的微商等于零向量。證：設(shè)=幺為常向量，因?yàn)?1)一flim。=Inn=0亂-*0dt->0證畢所以r'=03 .證明-pz©證：(叨-*"T(t)/_rYop(0-r(t)p'(t)p)證畢4 .利用向量函數(shù)的泰勒公式證明：如果向量在某一區(qū)間內(nèi)所有的點(diǎn)其微商為零，則此向量在該區(qū)間上是常向量。證：設(shè)二二MDXO況0,為定義在區(qū)間'上的向量函數(shù)，因?yàn)槭占诰W(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔廣«)在區(qū)間

2、9;上可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)量函數(shù)MD,y(t)和，(£)在區(qū)間/上可導(dǎo)。所以,WtoE,根據(jù)數(shù)量函數(shù)的Lagrange中值定理，有卜=+£(%)("%)|y(ij=yt0)+yr(02)(t-tQ)式。=式)+/(%)9-%)其中由，出，出介于功與士之問。從而?I=r(r)_x(t)y(t)z(t)=fr(tft)+x'(1)(t-10)y(to)+y(&2)(tto)名(G+tj,=H。)yUo)武。+H(3)/(&)«-h)|=?o+取5to)上式為向量函數(shù)的0階Taylor公式，其中"打心)'八%)。如果在區(qū)間,

3、上處處有"t)=a®/(0獷«”二口，則在區(qū)間/上處處有工何=寅£)=")=0,從而”近%)9)/他)二0,于是產(chǎn)=現(xiàn)。證畢5 .證明=汽£)具有固定方向的充要條件是*尸=°證：必要性：設(shè)=«)具有固定方向，則=«)可表示為,=«0=p(t)J其中p(f)為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，爐為單位常向量，于是FX尸'=p(t)/“尸X?=0充分性：如果rxr'=o,可設(shè)HO,令=尸。)=漢。«。，其中P(t)為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，其0為單位向量，因?yàn)槭?#39;="«)之上

4、)+«”(。，于是PX/=Orp3X*式t)十P加二療電g*(01=0因?yàn)?不0故"皿£。，從而己婕=0-*湍二?二產(chǎn)二產(chǎn)二己為常向量，于是，r=«D=p(f)J即具有固定方向。證畢收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔6,證明/=«£）平行于固定平面的充要條件是|（尸產(chǎn)，尸'）=00證：必要性：設(shè)r=«t）平行于固定平面，則存在一個(gè)常向量P,使得"=°,對(duì)此式連續(xù)求導(dǎo)，依次可得丑/=0和戶=°,從而“，尸，和產(chǎn)'共面，因此"1=0。充分性：設(shè)|9尸了"

5、）=口，即（FX沙“=4其中，如果rxH=o,根據(jù)第5題的結(jié)論知，T="t）具有固定方向,則=«）可表示為=底£）S其中雙亡）為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，已為單位常向量，任取一個(gè)與垂直的單位常向量j于是作以胃為法向量過原點(diǎn)的平面巴則平行于川。如果則H與不共線，又由仁力叫=°可知，L尸，和尸共面，于是尸二P（5+M",其中P（O伊為數(shù)量函數(shù)，令網(wǎng)=rxf,那么汗=乂7*”=中仕泗，這說明日與作共線，從而此乂市=0,根據(jù)第5題的結(jié)論知，也具有固定方向，則"="«）可表示為n=Mt）=。以其中P。）為某個(gè)數(shù)量函數(shù)，e為單位常向量，作

6、以色為法向量，過原點(diǎn)的平面匕則才平行于巴證畢§2曲線的概念1.求圓柱螺線"os國(guó)口以,在點(diǎn)（L（），°）的切線與法平面的方程。解：=f訪g）sEL,點(diǎn)。0,0）對(duì)應(yīng)于參數(shù)亡=0,于是當(dāng)一口時(shí),T工，V=于是切線的方程為：lx-1yz011收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔法平面的方程為2 .求三次曲線/=加力眄以葉在點(diǎn)M處的切線和法平面的方程。解：/=42憶我巴，當(dāng)t=G時(shí)，=的從"向尸'=口2況0,3c埼于是切線的方程為：x-ay-btlz-ctl3ct(j法平面的方程為d(x-a)+2bt0(y-b用+3ct1z-宙)=03 .證明

7、圓柱螺線=稹c。"/sin4從的切線和*軸成固定角證：.，.令H為切線與/軸之間的夾角，因?yàn)榍芯€的方向向量為/二-usingmst由,，軸的方向向量為N=0,01,則HbcosB=尸s-口同JQ4必b6-arccos-*嚇?biāo)_證畢ti|Jcoshtdt=a|sinht|4.求懸鏈線廣=比小cosh4(-8<t<+8)|從！=U起計(jì)算的弧長(zhǎng)s=JT'dt=Jx)a2+(asinht)2dt='oo'收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔5.求拋物線,=匕/對(duì)應(yīng)于-aEMVa的一段的弧長(zhǎng)解：r。I0,i",11«(,J1+4b2

8、xzdx=2Jb2x2dx=-J4-(2bx)2d(2bx)1i1+4b2x2+-/n2/)x+'T+4b*u,T+4層店+ln2ab+口+4口的6.求星形線k=u(c°st)a=u(sina的全弧長(zhǎng)7 .求旋輪線工=以仕-sint),»=«d-cost)對(duì)應(yīng)于0<t<2n一段的弧長(zhǎng)。解：I2jtZI2tts=J+產(chǎn)dt=、2&J*一costdt=2aJsin-<it-=8au、oo28 .求圓柱螺線二f3acosL3(isint,4叫(-co<t<+8)|從它與°利平面的交點(diǎn)到任意點(diǎn)岷的弧長(zhǎng)。解：圓柱螺線=

9、戶8",3a史115叫與口9平面/=°的交點(diǎn)為(340,0)|,交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為'=°,而/=-產(chǎn)，sintycnst,31,收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔=|J/同=1Je十,【2也-Mfl9.求曲線爐=3u2y,2xz=層在平面y=；與平面V=91之間的弧長(zhǎng)。解：取為曲線參數(shù)，曲線的向量參數(shù)方程為:x3a2=五X2U2尸=L-；a2W平面y二1對(duì)應(yīng)于參數(shù),平面卜=9。對(duì)應(yīng)于參數(shù)犬二扎3ardx+-2x2dx=9a10.將圓柱螺線=1"s'«0sE化為自然參數(shù)表示。解:-"illgeo”力），因?yàn)樽匀粎?/p>

10、數(shù)s=式t)=J|rF|df=,d獷Jde=小晨工b，(J其中尸°或°均可.所以，=丁耳不，于是r=facostfasintfbt_acos,asin_-爐11.求極坐標(biāo)方程P="伊）給定的曲線的弧長(zhǎng)表達(dá)式。解：極坐標(biāo)方程P二漢8）給定的曲線的方程可化為向量參數(shù)形式:收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔r=p(0)cos8p(。用n0)r=(p®)8s9-p(ff)sin0p(O)sin9+pcos對(duì)H、伊0）十/（。）/月其中，§3空間曲線1.求圓柱螺線r=lac。4聲*n年抗）在任意點(diǎn)的密切平面的方程。解：密切平面的方程為X-aco

11、stF-asin£Z-bl-«sin£uuostb=Qucost-usint0即uhsint(X-acost)-abcost(K-asint)+a2(Z-ht)=02.求曲線二心訊打口，"。'在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切平面、切線、主法線、副法線的方程。解：；r=sint+tcost-tsin&(1+t)c'Jr"=12cost-tsin£>-2sint-tcosC(2+t)ef原點(diǎn)(°0°)對(duì)應(yīng)于參數(shù)=°,于是在t=口處，=(0.0,0*=加小r=2(1,04)r14,-

12、1rxr"P=|rxr|1/7xST=-(2P-13)收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔密切平面的方程為*r-z=o副法線的方程為XYZT=T=法平面的方程為：卜+Z=0切線的方程為。11從切平面的方程為2*-F+Z=0主法線的方程為XYZ3.證明圓柱螺線r=a8stfasint力。的主法線和，軸垂直相交證：7*r=(-asint,acos七力=-«costt-usint,0)r1i?=r=-=-asinttacosttbfxrn1y=7=-Jbsint,-bcostfaKxr"|/7=yxct=-costf-sintt0一方面，主法線的方程為X-qco

13、$tY-MntZ-btcostsinT-0-另一方面，過圓柱螺線=加上任意一點(diǎn)M(ocos皿sint,收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔作平面冗卬軸垂直，冗的方程為Z-例=。，冗耳軸的交點(diǎn)為N0機(jī)）,過M與N的直線顯然與，軸垂直相交，而其方程為X-acostY-bsintZ-btcostsirTt-O-這正是主法線的方程，故主法線和，軸垂直相交。證畢4.在曲線=恒-5優(yōu)8gt，。"sintttsin幻的副法線的正向取單位長(zhǎng)，求其端點(diǎn)組成的新曲線的密切平面。解：令口=0好4,b=sina,則曲線的方程可表示為：Cj：r=(«costfasinu2+/j2=i設(shè)G的副

14、法線向量為匕則有fxrn1P=m=-F5=不e或n。一匕costfa)=bsintf-bcosttalrxrI,a*+M根據(jù)題意，新曲線的方程可表示為')將n=cns應(yīng)h=sin代入上式，整理后，得C工:JJ/os(£-a)fsin(t-uj/sin«)t+cosap=-sin(t-a)Aos(t-cr),sina|p"=廠cos(E-tr),-sin(f-crO)pxpr,=(sinasin(t-w),-sinacos(f-于是新曲線的密切平面為：sincrsin(£-a)X-cos(t-a)-sinacos(t-a)y-sina+Z-(sin

15、ci)t-cos«=0即：sinasin(t-ii)X-sinttcos(t-a)Y+Z=(sincr)t+costr收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔5.證明球面曲線的法平面通過球的中心網(wǎng),y。則有證：設(shè)曲線|（G：r=G'）為球心在原點(diǎn)，半徑為的球面上的曲線，其中s為自然參數(shù)。曲線（C）上任意一點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為？）處的基本向量為（1） r2=a2上式兩邊關(guān)于'.求導(dǎo)，得（2） ra=6設(shè)。為法平面上的點(diǎn)的向徑，則曲線（C）上任意一點(diǎn)P處的法平面的向量方程為（3）不T）-0根據(jù)（2忒P二匕滿足方程（3）,故法平面過原點(diǎn)。證畢6.證明過原點(diǎn)平行于圓柱螺線廣

16、=仙co"/sin士力打的副法線的直線的軌跡是錐證：/二一口gintfacostfbf'=1-acostt-usint,0r1a=r=-asint,acost,brxr"i?-=,ftsint,-bcos匕口Kxr|設(shè)過原點(diǎn)K）a°）且與/平行的直線上的點(diǎn)為K*yz入則直線的方程為XYZ;=tbsmt-bcosta化為參數(shù)方程，得X=（匕sint）uV=-（6sint）ulz=au則有M/+產(chǎn)）吻這說明直線上的點(diǎn)（*Y幻都在錐面?。?+嚴(yán)）=*上。證畢收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔7.求下列曲線的曲率和撓率。r=(acosht,asinh。砌

17、|(2)T=。(3匕-"36/4-13)解:對(duì)于曲線T=(tisinh£«cosh匕a/'=(acoshtfasinht,0r"=(asinht,acoshL0|f'xr'1k=|f|J2a(cosht)2p|i-(-r6r了)_i一|fxT22a(cosht)28.給定曲線'=（cos£）“sintpcos',求（1）基本單位向量,萬(wàn)，V；（2）其中,"±J收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔dUdUdt6-EfS)tt=_fsint,一costr04dsdtds25|sin

18、21J-(6) (i=f-sint,-cost,0)回43(7) F=bx我=-cost,-sint,-)6f8)k=U=i,1125|sin2tdydydt8p=1sinE.-costr011 7rdsdtds25|sin2t|vJ(10)r=-r?=-25|Jn2f|根據(jù)(5)(6)(8式可得根據(jù)(6)(9)(10式，可得，=-tp,又根據(jù)(6)式，得d。dpdt2_L=(-costtsinL01d$dtds5|sir12tliJ另一方面，根據(jù)(4)(7)(8)(10式，可得從而，口二-汽+”。9 .證明：如果曲線的所有切線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則此曲線是直線。證1:設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為

19、：H其中”為自然參數(shù)。(C)上任意一點(diǎn)P(P點(diǎn)的向徑為行)處的基本向量為“，用，丸因?yàn)?C)在P點(diǎn)處的切線都經(jīng)過一定點(diǎn)Q(Q點(diǎn)的向徑設(shè)為之),所以7-%與a共線，進(jìn)而有(/一"”"口上式兩端關(guān)于“求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：-Hx6=。(2)式中的k為(C)在P點(diǎn)處的曲率。又(2成中(一九)X"W。，這是因?yàn)槿绻占诰W(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔(廣f)乂,則一為同時(shí)與。和萬(wàn)共線，但這是不可能的，因?yàn)槔搴湍耸窍嗷フ坏膯挝幌蛄?。從而根?jù)(2忒有卜=。，即(C)是直線。證畢證2：設(shè)曲線的方程為rr(t),因?yàn)榍€上任一點(diǎn)r的切線經(jīng)過一定點(diǎn)匕，則'

20、;.'r0與共線，但r(r，于是rr0與(rr0)共線，從而(rro)(rro)=0,由此可知rr0具有固定的方向，即rr0與一個(gè)常向量p平行，于是rr°=p，或rr°p,這說明曲線上的點(diǎn)r都在以p為方向向量，過點(diǎn)r0的直線上，所以曲線為直線。證畢10 .證明：如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則此曲線是平面曲線。證：設(shè)曲線(C)的向量參數(shù)方程為：=卜($),其中$為自然參數(shù)。曲線(C)上任意一點(diǎn)p(P點(diǎn)的向徑為r)處的基本向量為因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線(參見教科書P.31的腳注)，即而|?xrrxH=*oI開即(C)上任何點(diǎn)的曲率“H0。設(shè)(C)在P點(diǎn)處

21、的密切平面都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)Q(Q點(diǎn)的向徑設(shè)為之)，則之為(C)在P點(diǎn)處的密切平面上的一個(gè)向量，從而有(1)(1)式兩端關(guān)于$求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：1收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔（2）式中的T為C）在P點(diǎn)處的撓率。由（2成可知，T=0或者（/一%）邛=0但廿口）H0,因?yàn)槿绻ㄒ?）邛=。|結(jié)合（1）式，可知廣。與北共線，于是"f）X值=°（3）式兩端關(guān)于求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：？。（4）式中的“為（C）在P點(diǎn)處的曲率。因?yàn)閼浭?,所以（F-%）X?=O,結(jié)合（3）知手一同時(shí)與戊和萬(wàn)共線，但這是不可能的，因?yàn)槲旌蛥^(qū)是相互正交的單位向量。這個(gè)矛盾

22、說明G辦）,不，巴于是由（2）式可知，只能工=°,曲線（C）是平面曲證畢11 .證明：如果曲線的所有法平面都包含常向量J則此曲線是平面曲線。證1：設(shè)曲線（C）的向量參數(shù)方程為：r=/（#）,其中''為自然參數(shù)。（C）上任意一點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為小處的基本向量為療，凡九因?yàn)椋–）在P點(diǎn)處的法平面都包含常向量M則有|:為“百注意到江-F,（1成兩端關(guān)于&從”到、求積分，得：（2）式說明曲線（C）在以常向量?為法向量且過點(diǎn)晨'”的平面上。證畢證2:設(shè)曲線（C）的向量參數(shù)方程為：="（口,其中“為自然參數(shù)。（C）上任意一點(diǎn)P（P點(diǎn)的向徑為才）處的基本向

23、量為a,見九因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線（參見教科書P.31的腳注），即rxr0收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔而|rxrmH#01女=*0I班即（C）上任何點(diǎn)的曲率心羊口。因?yàn)椋–）在p點(diǎn)處的法平面都包含常向量q,則（i）上式兩端關(guān)于$求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：k陰=°因?yàn)檠蚩?所以邛=0,結(jié)合（1忒可知q與了共線，從而卜（4）式兩端關(guān)于&求導(dǎo)并利用Frenet公式，得：（5）訶乂3=。（5）式中D否則，根據(jù)（3）式，"衩=0和4=0將同時(shí)成立，即用既與平行，又與己垂直，這是矛盾。于是只能是工二°,所以曲線（C）是平面曲線。證畢12

24、.證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的軌跡仍是曲率等于常數(shù)的曲線。證：設(shè)曲率為常數(shù)A的空間曲線（C）的向量參數(shù)方程為：甘=/,其中、為自然參數(shù)。（C）上任意一點(diǎn)p處的基本向量為比，B,九曲率半徑為R=i/",又設(shè)（C）的曲率中心的軌跡為，的曲率記為隊(duì)根據(jù)題意，n的方程為收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔（1）式兩邊關(guān)于S求導(dǎo)，得p=Riyt平+卬）（4）k-I川丹證畢（4）式說明的曲率兄也是常數(shù)且k=k13.證明曲線（C）:F=，+"+2出2-2亡+5己1-巴為平面曲線，并求出它所在平面的方程。解：T=匕"，-2+10t,-2tF"=4,10,

25、-2r"=0,0r0(r；frr,f)T=9=0(p1xr)2由上式可知，(C)為平面曲線。令”0,則有r=(L2,1)產(chǎn)xr=2亂1即(C)所在平面的方程為21)+3(y-2)+19(胃-1)=°14.設(shè)在兩條曲線1cl和的的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線以及副法線也分別平行證：設(shè)曲線a的方程為】=%（$）,1s£八，其中占為0的自然參數(shù)，曲線J的方程為電=力，其中“曲線的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔則曲線，于是曲線C上的點(diǎn)P和區(qū)間】?jī)?nèi)的參數(shù)書一一對(duì)應(yīng)，曲線Q上的點(diǎn)Q和

26、區(qū)問內(nèi)的參數(shù)彳一一對(duì)應(yīng)，如果兩條曲線的點(diǎn)P"Q之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則對(duì)應(yīng)的參數(shù),與、之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而(1)s=s($)設(shè)詼，入，和再為曲線c1在點(diǎn)p處的基本向量，叫,幾，和九為曲線J在點(diǎn)Q處的基本向量，曲線g在點(diǎn)p處的曲率和撓率分別記為卜禾水，曲線心在點(diǎn)Q處的曲率和撓率分別記為和t。如果兩條曲線總保持在對(duì)應(yīng)點(diǎn)pQ處的切線平行，則有(2)如二其中£=±1(2)式兩邊關(guān)于&求導(dǎo)，得磔公=£郎從而，(4)比=«)倒01(4)式說明g和的在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的主法線平行。又因?yàn)闉?七X%由(2)式和(4成,得力=的x%=(jkh證

27、畢(5)式說明孰和a在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的副法線平行15.設(shè)在兩條曲線5和的的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線總是相互平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線成固定角。證：設(shè)曲線a的方程為】=%($),1s其中占為0的自然參數(shù)，曲線J的方程為電=力，其中“曲線的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔則曲線，于是曲線C上的點(diǎn)P和區(qū)間】?jī)?nèi)的參數(shù)書一一對(duì)應(yīng)，曲線Q上的點(diǎn)Q和區(qū)問內(nèi)的參數(shù)彳一一對(duì)應(yīng)，如果兩條曲線的點(diǎn)P"Q之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則對(duì)應(yīng)的參數(shù),與、之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而(1) s=s($)設(shè)詼，入，和再為曲線c1在點(diǎn)p處的基本向量，叫,幾

28、，和九為曲線J在點(diǎn)Q處的基本向量，曲線g在點(diǎn)p處的曲率和撓率分別記為左禾小，曲線心在點(diǎn)Q處的曲率和撓率分別記口為和J如果兩條曲線總保持在對(duì)應(yīng)點(diǎn)pQ處的主法線平行，則有(2)%=印1其中E二土1根據(jù)(2忒，可得算訪,”=(磔1).4+許印啜)=&£/?)%+©,卜印1名設(shè)©與叱之間的夾角為則根據(jù)(3)式,4 4)COSfl=£?|const證畢(4)式說明g和Q在對(duì)應(yīng)點(diǎn)P與Q處的切線成固定角。16 .如果曲線6的主法線是曲線g的副法線，C1的曲率和撓率分別為*和4,求證*巧其中口是常數(shù)證：設(shè)曲線g的方程為尸】=>，"九，其中'

29、;為Q的自然參數(shù)，曲線的的方程為電=式喜)，其中''為曲線C的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正則曲線，于是曲線g上的點(diǎn)戶和區(qū)間'】?jī)?nèi)的參數(shù)學(xué)一一對(duì)應(yīng)，曲線Q上的點(diǎn)Q和區(qū)問以內(nèi)的參數(shù),一一對(duì)應(yīng)，如果兩條曲線的點(diǎn)PQ之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則對(duì)應(yīng)的參數(shù)s與"之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而(1)S=S收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔設(shè)處，又，和心為曲線G在點(diǎn)P處的基本向量，,，幾，和了二為曲線J在點(diǎn)Q處的基本向量，曲線叫在點(diǎn)P處的曲率和撓率分別記為左禾巾，曲線Q在點(diǎn)Q處的曲率和撓率分別記左為和r。如果曲線6的主法線是曲線Q的副法線，依題意，有下面兩式成立

30、：(2) /胃=£入，其中七=±1。(3)上=%6)+上/(3)式兩邊關(guān)于*求導(dǎo)，得(4) 口言)=%+41+±(&為+印)整理(4忒，可得勺卜-比濫弧+嵋k+卜償)利用(2忒，在(5)式兩邊與再作內(nèi)積，得)=°(6)式中由于ds而6故從而1=以為常數(shù)，(5成化為(力%=卜-明償)(7)式兩邊關(guān)于*求導(dǎo)，得啰喘卜曬+圖一同樂+8力因?yàn)橐叶?#163;子1,上式兩邊同時(shí)與凡作內(nèi)積，得6收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔證畢(2sin產(chǎn)2si呷(3)ds1W=2gllsin2陪根據(jù)(7忒，(9)式等價(jià)于“k-叱(割-小圖=0即|fc(l-a

31、k)-cadr=2amsin-cos-,-ldtii£rAt-=0從而，*=(壯+吟。17 .曲線£T=a(t-sint)Q(l-cost),4(ico¥亍在哪些點(diǎn)的曲率半徑最大？解：解：對(duì)于給定曲線，有a,(1-cost)fsintf-2SETi2j=a2sinJ=2asinj(snfcosj)-lbfcdrstt"石=耳回】嚴(yán)詞F其中，收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔根據(jù)（7忒，當(dāng)t=3±l）rr"=0,土L上2,時(shí)，R_y最大。18 .已知曲線（C）:,=個(gè)）E不上一點(diǎn)的鄰近一點(diǎn)0+As）,求點(diǎn)葭$+到點(diǎn)G）的密切平

32、面、法平面的距離（設(shè)（C）在點(diǎn)/俗）的曲率和撓率分別為A和解：設(shè)曲線（C）在點(diǎn)鹿*）的基本向量分別為叫討和尢則點(diǎn)FG+AS）到點(diǎn)Ms）的密切平面和法平面的距離分別為(1) d=yr(s+M)-T(s)|=田卜As+AAs“Id=E|(s+As)-FI=同(rM#+:何s)十其中，即£=6因?yàn)檎J(rèn))小，%)=Ms=印,*(s)=-(k/?)=理+出(=兀田+印)=-k2ct+儂+kif工*hl將它們代入(1成和(2)式中，得111(3)訪=|市心以3+*但xfc|T|Asp111(3)d2|As-k2s3+不勝*|As-kzA53|19 .如果曲線/為一般螺線，其中卜為】的自然參數(shù)。”邛

33、，丫*上任意一點(diǎn)P處的基本向量，"為G在P處曲率半徑，證明：曲線J：0=R我-Jids收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔也是一般螺線。證：曲線C二的方程兩邊關(guān)于卜求導(dǎo)，得mp=總(2)爐=R(t-kRjx=-kR2y根據(jù)(1忒和(3)式，得其中2二+1a"B尸產(chǎn)找尸印因?yàn)榍€。1：二($)為一般螺線，故存在一個(gè)常向量使得3=0從而,(8)邪尸-郵=。(8)式說明曲線”也是一般螺線。證畢20 .證明：一條曲線(C):=為一般螺線的充要條件是(戶產(chǎn)加口二。證：充分性：如果(廣/4)=0,則曲線)：,二/的撓率為零，。)為平面曲線，于是存在一個(gè)常向量匕使得"=

34、o,但#=&=此人故田邛二。,因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線(參見教科書P.31的腳注)，從而“手o,于是四二°,即(C)為一般螺線。必要性：如果(C)為一股螺線，存在一個(gè)常向量P使得獷3=°,但B=k江=七十從而，P=。，繼續(xù)關(guān)于S-求導(dǎo)，可得：折=。，pW4)=°,于是L刈共面，由此，斷")=°0證畢收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔21 .證明：一條曲線的所有切線不可能同時(shí)都是另一條曲線的切線。證：因?yàn)槲覀冎谎芯坎缓毫酎c(diǎn)的曲線，故所討論的兩條曲線的曲率均不為0,設(shè)曲線G的方程為九*其中'為C1的自然參數(shù)，曲線0的方程為0=心")，#5其中5為曲線的自然參數(shù)。因?yàn)樗懻摰那€都是正則曲線，于是曲線匚1上的點(diǎn)P