微分幾何 2-1曲面的概念PPT精選文檔

1、1第二章第二章 曲面論曲面論1曲面的概念曲面的概念簡(jiǎn)單曲面以及參數(shù)表示簡(jiǎn)單曲面以及參數(shù)表示幾種觀點(diǎn)1、一般式2、顯式3、映射觀點(diǎn)（與曲線定義類(lèi)似）:( , , )0F x y z( , )zf x y基本概念若爾當(dāng)曲線若爾當(dāng)曲線 平面上不自交的閑曲線初等區(qū)域初等區(qū)域 -若爾當(dāng)曲線所圍成的有限區(qū)域若爾當(dāng)曲線所圍成的有限區(qū)域2如果到初等區(qū)域初等區(qū)域D到三維歐氏空間內(nèi)建立的對(duì)應(yīng)是一一的，雙方連續(xù)的在上映射，則我們把三維歐氏空間中的象稱為簡(jiǎn)單曲面23:fDEE稱 為 的稱 為曲面的u和v稱 象稱為 34),(zr , Gzv, ,20 z ),(0zr zRR0,sin,cos z zRRzr,sin

2、,cos),(000 曲線（z=常數(shù)）即它是垂直于軸的平面和原柱面的交線，它們都是圓。曲線（ 是常數(shù)）即:它是原柱面上的直母線。設(shè) 是長(zhǎng)方形區(qū)域 cos ,sin , RRz常見(jiàn)曲面圓柱面的參數(shù)表示 5),( rr ,coscos R sin,sincos RRG ),( 22 . 20 u v ),(0 r coscos0R sincos0Rsin0 R ),(0 r 0coscosRsin,sincos0 R球面的參數(shù)表示為：是一個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域：坐標(biāo)曲線是坐標(biāo)曲線是曲線曲線= =常數(shù)），即常數(shù)），即 ，是球面上等緯度的圓是球面上等緯度的圓緯線緯線，曲線曲線：它是球面上過(guò)兩極的半圓它是球面上過(guò)

3、兩極的半圓經(jīng)線（子午線）經(jīng)線（子午線）。 = ， ，6旋轉(zhuǎn)面把xz平面上一條曲線：x =繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)面x = ，y= ,，71定義：如果曲面 有直到 階連續(xù)偏微商，則稱為K階正則曲面，或 曲面。當(dāng) 時(shí)， 此曲面又稱為光滑曲面2 u線v線表示kC1k k(rr u：，v）. u線：. v線u-線的切向量v-線的切向量8定義定義 曲面 的點(diǎn)P是正則點(diǎn)正則點(diǎn)(正常點(diǎn)正常點(diǎn))若有00(uvr ur u00，v ），v ） 000(uvr ur u00，v ），v ） 000（u ，v ）正則曲面: 處處是正則點(diǎn)的曲面. 曲面的正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)：若則存在 的一個(gè)鄰域U，使得U內(nèi)每一點(diǎn)有 (uvr ur，

4、v ） （u ，v ） 0命題1：曲面在正則點(diǎn)的鄰域中總可以有形如 z = z(x, y)的表示因?yàn)?，至少有一分量不為零(uvr ur，v ） （u ，v ） 0此時(shí)U內(nèi)兩坐標(biāo)曲線構(gòu)成的網(wǎng)為曲面的正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)9假設(shè) 則有隱函數(shù)存在定理有唯一一對(duì)單值連續(xù)函數(shù)代入則有z = z(x, y)0（x，y），（u，v）uu xvv xy（ ，y），（ ， ）命題2：曲面在正常點(diǎn)某個(gè)的鄰域內(nèi)點(diǎn)都是正常點(diǎn)曲面上一點(diǎn)P0處的切方向(方向): 上的經(jīng)過(guò) P的曲線在P0的切方向.（切方向很多） 曲面 ：r r = r r(u, v)上曲線的(曲紋)坐標(biāo)式參 數(shù)方程-: u = u(t)，v = v(t).的向量式

5、參數(shù)方程:r = r(u(t), v(t) = r(t). （一個(gè) 參數(shù)）10曲線的切向量曲線的切向量也可寫(xiě)為曲線r = r(u(t), v(t) = r(t)其切方向uvuvdrr dur dvdudvdvdurrrrdtu dtv dtdtdtdtdv，r（）uvdrr dur dv在正常點(diǎn)所有切向量都有可定成u線v線切向的組合都有在由u線v線切向確定的平面上，稱此平面為曲面在這一點(diǎn)的切平面命題2 曲面上正常點(diǎn)的所有切方向都在過(guò)該點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的切向量所決定的切平面上 11從上可以看出曲面上一點(diǎn)的一個(gè)切方向由du:dv值完全確定，切方向也可表示成 , 或 二者視為同一方向. 例如, du:d

6、v = (-2):3表方向, 也表方向 ， 二者視為同一方向. 曲面S 一點(diǎn) 處切平面的方為：其中 是切平面上一點(diǎn)的向徑 ),(vurr ),(00vup),(00vurR 0),(),(0000 vurvurvv),(ZYXR:,坐標(biāo)形式為：0),( ),( ),(),( ),( ),(),( ),( ),(000000000000000000 vuzvuyvuxvuzvuyvuxvuvuvuvvvuuuzZyYxXuvdrr dur dvuvdrr dur dv 23drdudv 23drdudv12法向：垂直于切平面的方向法向：垂直于切平面的方向 法線：經(jīng)過(guò)曲面上的一點(diǎn)并平行于法方向的直

7、線法線：經(jīng)過(guò)曲面上的一點(diǎn)并平行于法方向的直線 法向量法向量:單位法向量：?jiǎn)挝环ㄏ蛄浚悍ň€的方程為法線的方程為其中其中R（X，Y，Z）是線上任一點(diǎn)的向徑，是線上任一點(diǎn)的向徑， 參數(shù)。參數(shù)。用坐標(biāo)形式表達(dá)的法線的方程為：用坐標(biāo)形式表達(dá)的法線的方程為： uvNrruvRrrr（）),(),(,(),(0000000)0vurvurvurvurvuvun ),(),(),(),(),(0000000000vuzvuyvuzvuyvuvvuuxX ),(),(),(),(),(0000000000vuxvuzvuxvuzvuvvuuyY ),(),(),(),(),(0000000000vuyvuxvu

8、yvuxvuvvuuzZ = = 13 ),(vrr , v 3 , 2 , 1)2 , 1( r )2 , 1(ru 2 , 1 , 1, 1 , 1)2,1( )2 , 1(rv 1 , 1, 1, 1, 1)2,1( )2,1()2 , 1(rrrrvuvun )2,1(|242, 2, 1 , 3141 )2 , 1(rR. 0)2 , 1( n =過(guò)點(diǎn)（1，2）的切平面方程是 即3x+y-2z-4=0.例：求求S 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2)處的單處的單位法向量及切平面的方程。位法向量及切平面的方程。 解：14),(vurr )(),(tvvtu ,turr trtv uv vu 0),( vuf3. 3. 曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)S S上的曲線用方程上的曲線用方程曲面曲面消去t得 或 或 微分方程微分方程 表示曲面上的一表示曲面上的一族曲線，族曲線，特別地當(dāng)特別地當(dāng) 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)樗硎厩嫔系乃硎厩嫔系膗曲線族（曲線族（v=常數(shù)）。常數(shù)）。當(dāng)當(dāng) 它表示曲面上的它表示曲面上的v曲線族曲線族 (v族族) duvuA),(0),( dvvuB0, 0 BA0 dv0, 0 BA0 du或u=（v，c）152),(duvuAdudvvuB),(