初中數(shù)學校本《解決問題的策略》

1、0數(shù)學校本課程1序言數(shù)學是打開知識大門的鑰匙， 是整個科學的基礎知識。 創(chuàng)新教學的先行者里斯特伯先生指出： “學生學習數(shù)學就是要解決生活問題， 只有極少數(shù)人才能攻關艱深的高級數(shù)學問題， 我們不能只為了培養(yǎng)尖 端人才而忽略或者犧牲大多數(shù)學生的利益， 所以數(shù)學首先應該是生活 概念?！痹谏钪袑W數(shù)學，以學生生活中實實在在的鮮活材料來吸引 學生對科學的興趣。 我們選取的都是從學生生活實踐中取材， 將數(shù)學 知識巧妙地運用于生活之中， 增加了學生對數(shù)學的興趣， 實現(xiàn)新課改 所倡導的情感體驗，培養(yǎng)良好的科學態(tài)度和正確價值觀的目標。數(shù)學校本課程的開發(fā)要滿足學生已有的興趣和愛好，又要激發(fā)和 培養(yǎng)學生新的興趣和愛

2、好， 要要求和鼓勵學生投入生活， 親身實踐體 驗。選題要尊重學生的實際、學生的探究本能和興趣，給與每個學生 主體性發(fā)揮的廣闊空間，從而更好的培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、 解決問題的素質和能力。使學生成為學習的主人，學有興趣，習有方 法，必有成功。 學生的個性在社會活動中得以健康發(fā)展，學生的潛能 在自學自育中得到充分開發(fā)。我們的數(shù)學校本課程方案包括兩個基本部分：一般項目和基本具 體方案。課程綱要一、課程目標：以貼近生活實際、加強數(shù)學應用為宗旨， 針對數(shù)學這門課的特點， 從生活中挖掘數(shù)學， 提高學生應用數(shù)學知識解決有關問題的能力， 培 養(yǎng)學生的觀察，分析能力， 充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造性，開發(fā)學生自身的

3、 潛能，并且加強對學生的2動手操作能力的訓練， 鼓勵學生能夠展示自 己的研究成功，培養(yǎng)學生的成功心態(tài)， 使學生的心理得到健康的發(fā)展， 使每位學生的能力得到充分體現(xiàn)。二、課程概況：本課程在初一、初二、初三級部實施。三、課程內容與活動安排：讓學生體會數(shù)學史可發(fā)生在我們的周圍， 我們的生活空間是無窮 的數(shù)學世界，在課堂上多設情景，應用數(shù)學解決問題，讓他們充分發(fā) 揮自己的創(chuàng)造性，感受到數(shù)學的樂趣，在愉快、輕松的學習過程中掌 握數(shù)學知識，從而培養(yǎng)學生良好的學習習慣，觀察事物的能力，形成 正確的人生觀、價值觀。授課對象：初一、初二、初三學生 授課時間：星期三課外活動，一課時。授課地點：教室數(shù)學校本課程總的

4、內容：目標：以貼近生活實際、加強數(shù)學應用為宗旨， 針對數(shù)學這門課的特點， 從生活中挖掘數(shù)學， 提高學生應用數(shù)學知識解決有關問題的能力， 培 養(yǎng)學生的觀察，分析能力， 充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造性，開發(fā)學生自身的 潛能，并且加強對學生的動手操作能力的訓練， 鼓勵學生能夠展示自 己的研究成功，培養(yǎng)學生的成功心態(tài)， 使學生的心理得到健康的發(fā)展， 使每位學生的能力得到充分體現(xiàn)。一、 課程介紹：1、生活中的數(shù)學3以體會數(shù)學與人、 自然的關系為切入點， 使學生感觸學習數(shù)學的 價值，增強學習數(shù)學和應用數(shù)學的信心，培養(yǎng)學生動手實踐的興趣;以創(chuàng)設情景形成良性的學習競爭氛圍為基礎， 使學生在一個濃郁的學 習氣氛中互學互助

5、，每個人都要獲得成功，每個人都要進步。2、趣味規(guī)律數(shù)學數(shù)學趣味性和規(guī)律性很強， 找到一些數(shù)學規(guī)律， 充分發(fā)揮學生的 創(chuàng)造力，提高學生的邏輯思維能力，掌握數(shù)學思想方法，適應時代的 需要。按照學生的認識規(guī)律，依據(jù)啟發(fā)性和趣味性相結合的原則，增補 動手操作，給學生提供更多的動手機會，重視理論聯(lián)系實際，擴展教 材把數(shù)學問題放在社會的大背景下啟發(fā)學生的思考，讓學生走進生 活，應用于生活， 使學生了解數(shù)學知識與社會各方面的聯(lián)系，以便于 學生理解所學的指示，培養(yǎng)學生的實踐意識，在趣味性的引導下，學 生興趣盎然，帶給學生更多的思索和啟發(fā)，學生不僅獲得數(shù)學知識，經(jīng)過趣味實驗， 還初步掌握了數(shù)學研究的方法， 體驗

6、到了深究其理和 創(chuàng)新實驗的樂趣。3、解決問題的策略經(jīng)歷利用特殊情況探索一般規(guī)律的過程，經(jīng)歷分情況探討論的過 程，經(jīng)歷將生疏的、繁雜的、未解決的問題轉化為熟悉的、簡單的、 以解決問題的能力， 經(jīng)歷用數(shù)與形結合的方法解決位的探索過程， 經(jīng) 歷用整體思想解決問題的探索過程， 經(jīng)歷多種策略解決統(tǒng)一問題的探 索過程。 使學生明確解決一個問題往往可4以從不同的角度去考慮， 養(yǎng) 成善于思考， 善于創(chuàng)新， 善于用更好地解決問題策略去解決問題的好 習慣。5目錄勾股定理的證明.6生活中的軸對稱.21探究活動（設計花壇）.26鏡子改變了什么.27頻率與概率.28幾何就在你的身邊.32一個小數(shù)點與一場大悲劇.34壓歲

7、錢”與“賑災小銀行”36建議班級購買一臺飲水機 38巧用數(shù)學看現(xiàn)實 41怎樣燒開水最快最省煤氣44生活中的數(shù)學問題 50探討出租車司機的生意經(jīng) 54最高的與最矮的 57表面涂漆的小積木的塊數(shù) 59抽屜原理和六人集會問題 62怎樣列分式方程解應用題 6562 2121a2b24 ab = c24 ab士士-,口口a2b2二二【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上,C、G、D三點在一條直線上 勾股定理的證明斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖

8、那樣拼成兩個正方形.a、從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相【證法1】（課本的證明）ab做8個全等的直角三角形,ba設它們的兩條直角邊長分別為a、b，B、F、C三點在一條直線上,-AaEb B7/AEH +/BEF = 90o./HEF = 180o90o= 90o 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.RtAGDH坐RtAHAE,/HGD =/EHA /HGD +/GHD = 90o,/EHA +/GHD = 90o.又T/GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o./HAD +/HAD = 90o,/EAB +/HAD =

9、90o,C2ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于（a+ b）.RtADAH坐RtAABE,8ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.EF = FG =GH二二HE = ba ,/HEF = 90o EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于（b_a）2.1224 ab b a c2a2b2【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每狀，使A、E、B三點在一條直線上 vRtAEAD坐RtACBE, /ADE =/BECv /AED +/ADE = 90o, /AED +/BEC = 90o /DEC =

10、 180o90o= 90o.DEC是一個等腰直角三角形,1 c它的面積等于2又v /DAE = 90o,/EBC = 90o,AD/BC.個直角三角形的面積等于-ab 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形ca9ABCD是一個直角梯形，它的面積等于10111a b2= 2 abc222 2【證法5】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點P.vD、E、F在一條直線上，且RtAGEF幻RtAEBD, /EGF =/BED,Fbav /EGF +/GEF = 90GcE /B

11、ED +/GEF = 90P /BEG =180o90o= 90o.門cbCbcHD又vAB = BE = EG = GA = c,abaa二ABEG是一個邊長為c的正方形.Au B / ABC + / CBE = 90o vRtAABC坐RtAEBD,/ABC =/EBD /EBD +/CBE = 90o 即/CBD= 90o.又v /BDE = 90o,ZBCP = 90o,BC = BD = a BDPC是一個邊長為a的正方形 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形 a2b2二二11設多邊形GHCBE的面積為S,則2 21a b = S 2 ab, 221 c2二二S 2 ab2a2b2=

12、c2【證法6】(項明達證明)做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為(ba)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP/BC,交AC于點P.過點B作BM丄PQ,垂足為M;再過點又T/BMP = 90o,/BCA = 90o,BQ = BA = c,V /BCA = 90o,QP/BC,FcA /MPC = 90o,PbVBM丄PQ,cMc /BMP = 90o,Na1JrBCPM是一個矩形，即/MBC =90 o.QcBV /QBM +/MBA =/QBA = 90o,/ABC +/MBA =:/MBC = 90o,

13、bC / QBM =/ABC,Eaa、bF作FN丄PQ,垂足為N.12RtABMQ坐RtABCA.同理可證RtAQNF坐RtAAEF.從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀,使H、C、B三點在一條直線上，連結GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半,矩形ADLM的面積二二a2同理可證，矩形MLEB的面積 二二b2.v正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積c2=a2+b2，即a2+b2=c2.【證法8】（利用相似三角形性質證明）如圖，在RtAABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b

14、,斜邊AB的長為c,過點C作CD丄AB，垂足是D.在ADC禾口 ACB中,BF、CD.過C作CL丄DE,交AB于點M，交DE于點vAF = AC,AB = AD, FAB坐 GAD,1avFAB的面積等于212/ADC =/ACB = 90o,/CAD =/BAC,ADC sACB AD:AC = AC:AB,13即AC?=AD AB.同理可證,CDBsACB，從而有BC?= BD AB.AC?+BC?=(AD+DB )AB = AB?，即abc2【證法9】(楊作玫證明)做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(ba),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的

15、多邊形 過A作AF丄AC,AF交GT于F,AF交DT于R.過B作BP丄AF，垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E,DE交AF于H.v /BAD = 90o,ZPAC = 90o,./DAH =/BAC 又v /DHA = 90o,ZBCA = 90o,AD = AB = c,.RtADHA坐RtABCA.DH = BC = a,AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個矩形,所以RtAPB坐RtBCA.即PB =CA = b,AP= a,從而PH = ba.14RtADGT坐RtABCA ,RtADHA坐RtABCA.二RtADGT坐RtADHA DH = DG = a，/

16、GDT =/HDA 又/DGT = 90o,/DHF = 90o,/GDH =/GDT +/TDH =/HDA+/TDH = 90o,DGFH是一個邊長為a的正方形 二GF = FH = a TF丄AF,TF = GTGF = ba .TFPB是一個直角梯形，上底TF=ba,下底BP= b,高FP=a +(ba) 用數(shù)字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積=S1S2S3S4S51八八bab= =bVb, ,S5= S8S921S3S4=b -?ab-S8二二b2_Si把代入，得c2=3S2b2-Sj-S8S8S9b2S2S9=b2a2a2b2=c2【證法10】（李銳證明）15設直

17、角三角形兩直角邊的長分別為a、b (ba),斜邊的長為c.做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上 用數(shù)字表示面積的編號(如圖)HT = AE = a GH = GTHT = ba.又T/GHF +/BHT = 90o,/DBC +/BHT =/TBH +/BHT =DB = EBED = ba,/HGF =/BDC = 90o, RtAHGF坐RtABDC.即S7二S?.過Q作QM丄AG，垂足是M .由/BAQ =/BEA = 90o,可知 /ABE =/QAM，而AB = AQ = c，所以RtAABE幻RtAQAM 又RtAHBT坐RtAA

18、BE.所以RtAHBT幻RtAQAM 即 & 二 &.T/TBE =/ABH = :90o, /TBH =/ABE.又T/BTH =/BEA = :90o,BT = BE=b,RtAHBT坐RtAABE.90o,Q16由RtAABE坐RtAQAM，又得QM = AE = a,/AQM =/17/AQM +/FQM = 90o, /BAE +/CAR = 90o, /AQM =/FQM =/CAR 又/QMF =/ARC = 90o,QM = AR = a,RtAQMF坐RtAARC.即S4= 2 .2 2 2c = Sj+ S2+ S3+ S4+ S5a = S1+ S6b =

19、 S3+ S7+ S8又S7-S2,S-S5,S4-S6,2 2a b= 3S6S3S7S8=S1S4S3S2S5=c2即a2+b2=c2【證法11】（利用切割線定理證明）在RtABC中，設直角邊BC = a,AC = b，斜邊AB = c 如圖， 以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E,則BD = BE = BC =a 因為/BCA = 90o,點C在OB上，所以AC是OB的切線.由切割線定理，得2AC =AE AD=AB BE AB - BD=c a c -a2 2=c-a,BAE.18即b2=c2-a19【證法12】（利用多列米定理證明）在RtABC中，設直角邊BC =

20、 a,AC = b,斜邊AB = c（如圖）.過點A作AD/CB，過點B作BD/CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接于一個圓.根據(jù)多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有AB DC二AD BC AC BD,AB = DC = c,AD = BC = a,AC = BD = b,【證法13】（作直角三角形的內切圓證明）在RtABC中，設直角邊BC = a,AC = b，斜邊AB = c.作RtABC的內切圓。O,切點分別為D、E、F（如圖），設。O的半徑vAE = AF,BF = BD,CD = CE,AC BC - AB二二AE CE BD CD - AF BF=CE C

21、D= r + r = 2r,a +b =2r +ca2b2=c2AB2=BC2+AC2，即c2=a2+b2a2b2c2B1a/CbaaD C20即a2b22ab = 4 r2rc c2.2.4 r rc =4SABC-4（r2+ re ）= 2ab【證法14】（利用反證法證明）斜邊AB的長為c,過點C作CD丄AB，垂足是D.假設a2b2F，即假設AC2BC2=AB2，則由AB AB * AB=AB AD BD=AB * AD AB BD可知AC2=ABAD，或者BC2=ABBD.即AD:AC工AC:AB, 或者BD:BC工BC:AB.在ADC禾口 ACB中，v /A =/A，若AD:AC工AC

22、:AB，/ADC工/ACB.1 11SABC- S.AOB SBOCSAoccrar:2 2br22ab=4SABc又1廠b c2r c c r22r rcSABCaba2b22ab=2abc2,a2b2=c2如圖，在RtAABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b,21在CDB禾口 ACB中，22若BD:BC工BC:AB，則/CDB仁ACB.又T /ACB = 90o,/ADC工90o,ZCDB工90o.這與作法CD丄AB矛盾.所以，AC2BC2=AB2的假設不能成立.是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾2 2 2個部分，則正方形ABCD的面積為（a+b）+b

23、 +2ab；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為a2b22ab =2ab c2.a2b2二二c2a2b2=c2a b2=41ab c222ab + c2【證法15】（辛卜松證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為c.作邊長23【證法16】（陳杰證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b （ba）斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、b的正方形（ba）,把它們拼成如圖所示形狀,使E、H、M三點在一條直線上.用數(shù)字表示面積的編號（如圖）在EH = b上截取ED = a,連結DA、DC， 則AD = c. /EAD =/MDC,DC = AD = cv /

24、ADE +/ADC+/MDC =1800,/ADE +/MDC =/ADE +/EAD = 900,/ADC = 90 0.作AB/DC,CB/DA，則ABCD是一個邊長為c的正方形.v /BAF +/FAD =/DAE +/FAD = 90o,/BAF=/DAE.連結FB，在ABF禾口 ADE中，vAB =AD = c,AE = AF = b，/BAF=/DAE,二ABF坐ADE./AFB =/AED = 90o,BF = DE = a.點B、F、G、H在一條直線上.24在RtABF和RtABCG中，25AB = BC = c,BF = CG = a,RtAABF坐RtABCG.=S4= S

25、6S722a b = S3SyS-iS2S6=S2S3S-S7=S2S3S4S5c2= S2S3S4S5 ,b2= 3 + S2+ S6a2= S3+ S726生活中的軸對稱我們生活在一個充滿對稱的世界之中，對稱給人以平衡與和諧的美感。這節(jié)課先來認識生活中的軸對稱。1、欣賞生活中的軸對稱（以生活中盡可能多的豐富實例，讓學生欣賞并體會軸對稱圖形，發(fā)展學生審美能力、鑒賞能力）2、觀察特點、形成概念問題1：這些美麗的圖形來自生活，細心觀察之后，你能發(fā)現(xiàn)這些圖形有什么共同特征么？用自己的語言描述。（鼓勵學生積極用自己的語言概括圖形的共同特征。）問題2:舉出幾個生活中具有對稱特征的物體，并與同伴交流。（

26、給學生一定的思考交流時間，鼓勵學生從自己的生活經(jīng)驗出 發(fā)，列舉符合對稱特征的物體，并進行廣泛交流，進一步體會軸 對稱圖形的特點。）板書軸對稱圖形的概念： 如果一個圖形沿某條直線對折， 對折的兩部 分是完全重合的，那么這個圖形就叫軸對稱圖形， 這條直線就叫做這 個圖形的對稱軸。你能自己動手做出一些具有軸對稱特征的圖形么？1、做教材中的“剪紙”活動。271把一張紙對折，然后從折痕處剪出一個圖形，想一想展開后 會是一個什么樣的圖形。2觀察圖案，位于折痕兩側的部分有什么關系，并與同伴交流。2、作“印墨跡”實驗。1在紙上滴幾滴墨水，把紙張對折，隨后打開，看看形成的兩塊墨跡是不是關于折痕對稱？它的對稱軸是

27、什么呢？2觀察探究、相互交流。（動手實踐、自主探索與合作交流是學生進行有效的數(shù)學學 習活動的重要方式，在教學中，注重學生的活動，鼓勵人人 親身經(jīng)歷與實踐，積極思考，更體會活動的樂趣，培養(yǎng)學生 的空間觀念、動手能力。）3、類比觀察，發(fā)現(xiàn)區(qū)別1再向學生展示幾組圖案，如：兩扇門、兩只小腳印等。2觀察每組圖案，你發(fā)現(xiàn)了什么？與大家交流。（在學生的發(fā)現(xiàn)中，使學生進一步體會軸對稱現(xiàn)象的特點，了解軸 對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別，學生理解即可，暫不深究。）把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果他能夠與另一個圖形 重合，就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個圖形中 的對應點叫做對稱點。軸對稱圖形

28、和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別：兩個圖形成軸對稱軸對稱圖形是兩個圖形之間的關系是一個圖形本身具有的特性翻折后兩個圖形完全對折后與圖形的另一半28完全重合1、你能將我手中的圖片沿某條直線對折， 使直線兩旁的部分完全重合么？（鼓勵學生自己尋找對稱軸，再動手操作驗證，將活動內容轉 向對對稱軸的探索。）2、你能折出準備好的每一個圖形的對稱軸么？（讓學生把自己手中準備好的正方形、長方形、等腰三角形、 圓等圖片試著從不同方向折一折，看看各有幾條對稱軸。） 綜合練習、鞏固應用、課外拓展1、請采用任意一種方式（剪紙、印墨跡等）自己設計一個具有 特色的軸對稱圖形。（鼓勵學生發(fā)揮想象，進行不同的創(chuàng)作。）2、生活中的軸對

29、稱圖形隨處可見，我們每天使用的數(shù)字、字母和 漢字中也有一些可以看成是軸對稱圖形，你能識別它們么？ 并能說出他們的對稱軸么？（1）下面的數(shù)字或字母里，哪些是軸對稱圖形？他們各有幾條 對稱軸？0123456789ABCDEFGHI JK29（2）你能發(fā)現(xiàn)哪些漢字可以看成是軸對稱圖形么？口 工用 中 由水 日 甲 田（體會生活中無處不在的軸對稱現(xiàn)象， 共同品味中國文字的對稱美，弘揚中國文化 中考中的軸對稱例1（2006年無錫帀）在下面四個圖案中，如果不考慮圖中的文字和字母，那么不是軸對稱圖形的是（）解析：本題主要考查軸對稱圖形的識別： 一個圖形如果沿著某條直 線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，則可

30、判定該圖形是軸對稱圖 形。觀察四個圖形，易知只有B中圖案不是軸對稱圖形。二、確定軸對稱圖形的對稱軸的條數(shù)解析：A中圖形對稱軸有4條，B中圖形對稱軸有6條，C中圖形 對稱軸有3條，D中圖形對稱軸有2兩條，故對稱軸最多的應選B.三、有關軸對稱的圖案設計例3（2006年榮成市）圖1是由5張大小相同的正方形紙片拼成的圖形現(xiàn)只移動1張紙片，使5張紙片組成軸對稱圖形，要求每張紙片 至少有2個點與其余紙片相連，但紙片彼此不覆蓋，請畫出盡可能多的不同形狀的圖形.30解析：借助空間想象或動手操作，可畫出下列圖形供參考四、利用軸對稱的性質解題例4（2006年梅州市）小明在鏡中看到身后墻上的時鐘，實際時間最接近8時

31、的是下圖中的（ ）解析：平面鏡成像的原理：鏡子中的像與原來的物體成軸對稱；物體 正對鏡子放置時，鏡子中的像改變了原來物體的左、右位置，即像與物 體左、右位置互換。故實際時間最接近8時的是圖中的B.例5（2006年永春縣）如圖3,把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D、C的位置，若/EFB=65,則/AE D=_度。解析：因為AD/BC,所以ZEFB=ZDEF=65,由軸對稱性質得/DEF二二/DEF=65。圖1A.B.C.D.31所以/AED =18- -/DEF二二/DEF = 180-650-65032探究活動設計花壇活動題目有一塊邊長為10米的正方形的空地，現(xiàn)在要在空地上設計一

32、個 花壇，使花壇的面積是空地面積的二分之一，問如何設計？活動過程1.學生以小組為單位，分小組討論.2.學生分小組匯報.3.全班共同評選最佳設計.參考答案X X更. .I I33鏡子改變了什么一次晚會上， 主持人出了一道題目： “如何把2+3=8變成一個真 正的等式”，很長時間沒有人答出，小蘭僅僅拿了一面鏡子，就很快 解決了這道題，你知道為什么嗎？問題的提出：“小明照鏡子的時候，發(fā)現(xiàn)T恤上的英文單詞在鏡 子中呈現(xiàn)“mqqA”的樣子，請你判斷這個英文單詞是什么？假 若不能利用手中的小鏡子，只利用小卡片，如何把鏡中的字母還原？ 分組討論，比一比那一組的結論最好？與同伴交流，一個汽車車牌在水中的倒影是

33、“於 ”,你能確定該車的車牌號碼嗎？（利用手中的小卡片，并說出倒影與車 牌的位置關系）小結：當垂直于鏡面擺放時，鏡面會改變它的上下方 向，所以可以把影象寫在卡片上，向上翻轉九十度背面所看到的就是本題的答案。【試一試】取一枚圖章，在紙上改一個清晰的印記，分析印章上的圖案有什 么異同，你能利用蘿卜塊或橡皮刻字，使其印在紙上的圖案是你的姓 名?？偨Y：當正對鏡面擺放時，鏡面會改變它的左右方向；當垂直于鏡面擺放時，鏡面會改變它的上下方向；如果是軸對稱圖形，當對稱軸于鏡面平行時，其鏡中影象與原圖一樣。34頻率與概率問題引入：對于前面的摸牌游戲， 在一次試驗中，如果摸得第一張牌面數(shù)字為1,那么摸第二張牌的數(shù)

34、字為幾的可能性 大？如果摸得第一張牌的牌面數(shù)字為2呢？（由此引入 課題，然后要求學生做實驗來驗證他們的猜想）做一做：實驗1:對于上面的試驗進行30次，分別統(tǒng)計第一張牌的牌 面字為1時，第二張牌的牌面數(shù)字為1和2的次數(shù)。實驗的具體做法：每兩個人一個小組，一個負責抽紙張，另 一個人負責記錄，女口：12 2 1-（上面一行為第一次抽的）2 1 2 1-（下面一行為第二次抽的）議一議： 小明的對自己的試驗記錄進行了統(tǒng)計，結果如下:第一張牌的牌面因此小明認為，如果摸得第一張牌面數(shù)字為1，那么摸第二張牌時, 摸得牌面數(shù)字為2的可能性比較大。你同意小明的看法嗎？ 讓學生去討論小明的看法是否正確，然后讓學生去

35、說說自已的看法。 想一想：數(shù)字為1（16次）35對于前面的游戲，一次試驗中會出現(xiàn)哪些可能的結果？每種結果出現(xiàn) 的可能性相同嗎？ 小穎的看法:會出現(xiàn)3種可能的結果:牌面數(shù)字和為2,牌面數(shù) 字和3,牌面數(shù)字和4，每 種結果出現(xiàn)的可能性相同會出現(xiàn)4種可能的結果:牌面數(shù)字為（1，1），牌面數(shù)字為（1,2），牌面數(shù)字為（2，1），牌面數(shù)字為（2,2） 每種結果出現(xiàn)的可能性相同實際上，摸第一張牌時，可能出現(xiàn)的的結果是：牌面數(shù)字為 而且這兩種結果出現(xiàn)的可能性相同；摸第二張牌時，情況也是如此, 因此，我們可以用下面的“樹狀圖”或表格來表示所有可能出現(xiàn)的結 果:第二張牌的牌面數(shù)字為1（7次）第二張牌的牌面數(shù)字為

36、2（9次）小亮的看法:1或2,36第二張牌的牌面數(shù)字：可能出現(xiàn)的結果（1,1） （1,2）（2,1） （2,2）第二張牌面的數(shù)字第一張牌面的數(shù)字121（1,1）（1,2）2（2,1）（2,2）從上面的樹狀圖或表格可以看出，一次試驗可能出現(xiàn)的結果共有4種：（1,1）（1,2）（2,1）（2,2）,而且每種結果出現(xiàn)的可能性相同，也就是說，每種 結果出現(xiàn)的概率都是1/4。利用樹狀圖或表格，可以比較方便地求出某些事件發(fā)生的概率。例1隨機擲一枚硬幣兩次，至少有一次正面朝上的概率是多少？總共有4種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，而至少有一次正 面朝上的結果有3種：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有

37、一 次正面朝上的概率為3/4。第二種解法：列表法第二個硬幣的面第一個硬幣的面正反正（正，正）（正，反）開始37反（反，正）（反，反）隨堂練習:1.從一定高度隨機擲一枚硬幣，落地后其朝上的一面可能出現(xiàn)正面和反面這樣兩種等可能的結果。小明正在做擲硬幣的試驗，他 已經(jīng)擲了3次硬幣，不巧的是這3次都是正面朝上。那么你認為 小明第4次擲硬幣，出現(xiàn)正面的可能性大， 還是出現(xiàn)反面的可能 性大， 是不是一樣大？說說你的理由，并與同伴進行交流。38幾何就在你的身邊初學幾何時，你往往會感到這門學科枯燥乏味，有的知識似曾相 識，似懂非懂；有的知識則似乎很“玄”，離我們很遠！其實，日常 生活中有幾何，幾何就在你的身邊

38、。當你騎自行車時，想過自行車的輪子為什么是圓形的， 而不能是“雞蛋形”的呢？因為“圓”形的特性可以使自行車平穩(wěn)地前進；自 行車的輪于有大有小，可供人們選擇；兩個輪子裝的位置必須裝得恰當，騎時會感到方便。這說明：物體的形狀、大小、位置關系與日 常生活有著緊密的聯(lián)系，這也正是幾何這門學科所要研究的。當你把一張長方形的紙裁成一個正方形時，你想過這里面有幾何知識嗎？圖1圖2圖3幾何中叫“比較線段的大??；把陰影部分裁去，可以看成在“長”上截取一段，使它等于“寬”，這就是幾何中的“線段作圖”；長方形的長與寬相等時，就是正方形，這更是幾何中的一個重要結論。如果把正方形折成相等的兩部分，除了圖2中所示的四種折

39、法 外，你還能想到其他的折法嗎？不妨試試：過四條折痕相交的那個點39，任意地折一條線，看看這樣把正方形分成的兩部分也一樣嗎?當你走進用磚塊鋪地的房間時， 你注意到這些磚塊的形狀嗎？有 的是等邊三角形的，有的是長方形或正方形的。其實，任意形狀的四邊形磚塊也能把地面拼得沒有縫隙， 請看圖3。這又將告訴我們幾何中的一個重要結論（四邊形的四個角的大小 之和恰好等于360度），這個結論，與小學數(shù)學里學過的“三角形的 三個角之和等于180度又有著緊密的聯(lián)系。如果有興趣的話， 請你剪兩塊同樣的直角三角形紙片， 然后把兩 塊紙片拼合成一個圖形， 你能拼出6種不同的圖形嗎？這里又包含了 許許多多的幾何知識。比如

40、，當你拼成一個等腰三角形時，就不難知 道：等腰三角形可以分成兩個同樣的直角三角形， 中間的那條線位置 很特殊，今后研究等腰三角形時常常要用到它！40一個小數(shù)點與一場大悲劇1967年8月23日，前蘇聯(lián)著名宇航員費拉迪米爾?科馬洛夫一 個人駕駛著“聯(lián)盟一號”宇宙飛船的返航實況。當飛船返回大氣層 后，科觀洛夫無論怎么操作也無法使降落傘打開以減慢飛船的速度。 地面指揮中心采取了一切可能的措施幫助排除故障，但都無濟于事。 經(jīng)請示中央，決定將實況向全國人民公布。電視臺的播音員以沉重的 語調宣布：“聯(lián)盟一號飛船由于無法排除故障，不能減速，兩小 時后將在著陸基地附近墜毀 。我們將目睹宇航英雄科馬洛夫遇難。”科

41、觀洛夫的親人被請到指揮臺，指揮中心的首長通知科馬洛夫與 親人通話。科馬洛夫控制著自己的激動：“首長，屬于我的時間不多 了我先把這次飛行的情況向您匯報 ”。生命在一分一秒中消逝， 科馬洛夫目光泰然，態(tài)度從容，他整整匯報了幾分鐘。匯報完畢，國 家領導人接過話筒宣布：“我代表最高蘇維埃向你致以崇高的敬禮， 你是蘇聯(lián)的英雄，人民的好兒子”當問及科馬洛夫有什么要求 時，科馬洛夫眼含熱淚：“謝謝，謝謝最高蘇維埃授予我這個光榮稱 號，我是一名宇航員，為祖國的宇航事業(yè)獻身我無怨無悔！”領導人把話筒遞給科馬洛夫的老母親， 母親老淚縱橫， 心如刀絞，泣不成聲。她把話筒遞給科馬洛夫的妻子?？岂R洛夫給妻子送來一個 調

42、皮而又深情的飛吻。妻子拿著話筒只說了一句話：“親愛的，我好 想你！”就淚如雨下，再也說不出話來了?？岂R洛夫12歲的女兒接過話筒，泣不成聲。科馬洛夫微笑著說：“女兒，你要堅強，不要哭。 ”“我不哭， 爸爸， 你是蘇聯(lián)的英雄， 我是你的女兒， 我一定會 堅強地生活。 ”剛毅的科馬洛夫不禁落淚了，他叮囑孩子“要記住這 個日子，以后每年的這個日41子要到墳前獻一朵花， 向爸爸匯報學習情 部?！庇绖e的時刻到了一一飛船墜地，電視圖象消失。整個蘇聯(lián)一片肅靜，人們紛紛走向街頭，向著飛船墜毀的地方默默地哀悼。同學們，讀到這里，你是否被這悲壯的場面所感染了！“聯(lián)盟一 號”當時發(fā)生的一切，就是因為地面檢查時，忽略了

43、一個小數(shù)點。讓 我們記住這一個小數(shù)點所釀成的大悲劇吧！ 讓我們以更加嚴謹?shù)膽B(tài)度 對待學習和科學，以更加認真的態(tài)度對待工作和生活吧42壓歲錢”與“賑災小銀行”在正月里，長輩們每年都會給我們壓歲錢。而大多數(shù)同學都把 壓歲錢存入了銀行。 為了能幫助失學獐， 我建議我們景山中學辦一個 “賑災小銀行”， 要求同學們有多少錢存多少錢， 存入學校里“賑災 小銀行”， 學校統(tǒng)一將同學們的壓歲錢存入銀行。畢業(yè)時本金還給同 學們，利息捐給經(jīng)濟有困難的同學或災區(qū)。從小到現(xiàn)在，我們收了十來年的壓歲錢大概有2000元，假如平均每年按照200元存入銀行，初中三年每個學生總共存入600元計算， 我們景山中學高中不算，初中2

44、4個班級，初一、初二、初三各8個 班，每班按60人計算， 初三的存一年， 初二的存兩年， 初一的存三 年， 年利率分別按2.25%、2.40%、2.60%(人民銀行利率)計算，則： 初一段學生存三年的利息和：(200X2.60%x3)x(60 x8)=7488(元)；初二段學生存二年的利息和：(200 x2.40%x2)x(60 x8)=4688(元)；初二段學生存二年的利息和：(200 x2.25%x1)x(60 x8)=2700(元)；一年全校利息合計：7488+4608+2700=14796（元）43假設學校第年招生班級以及人數(shù)都不變，則學校每年都有14796元利息，溫州市有那么多所中學

45、，假如每所中學都建立小銀行，或許 他們利息和還會超過我校，假如小學也建立小銀行，那么，每個學生 五六年下來， 每年全校利息和將比中學利息和要高上好幾倍。 所以在 小學成立“賑災小銀行”更有意義與必要。 為了災區(qū)兒童有良好的讀 書環(huán)境，為了國家更繁榮，昌盛，同學們行動起來吧，拿出你們的壓 歲錢，奉獻我們的一片愛心。44建議班級購買一臺飲水機在炎炎夏日里， 同學們遇到的難事就是飲水問題， 為了使同學們 過一個衛(wèi)生清潔的夏季， 班級決定出錢買一臺飲水機， 而每人又應出 多少錢呢？即使買了飲水機， 是否比過去每個學生每天買礦泉水更節(jié) 省、更實惠？下面就來解答這個問題。一、學生礦泉水費用支出溫州市景山中

46、學共有37個班級，假設每班學生平均為60人，那 么全校就有60X37=2220 （人）。一年中，學生在校的時間（除去寒 暑假雙休日）大約為240天，設春季、夏季、秋季、冬季、各為60天，在班級沒有購買飲水機時，學生解渴一般買礦泉水，設礦泉水每 瓶為一元，學生春秋季每人二天1瓶礦泉水，則總共為60瓶。夏季 每人每天1瓶，則總共也為60瓶，冬季每人每4天1瓶，總共為15瓶，則全年平均每名學生礦泉水費支出：60+60+（60-4）X1=135（元）；全班學生礦泉水費用135X60=8100（元）；全校學生礦泉水費用458100X37=299700（元）;二、使用飲水機費用一臺冷熱飲水機的價格約為75

47、0元，1字牌大桶礦泉水為每桶10元，現(xiàn)每班都配備飲水機。設每班春、季兩季、每2天1桶，則需60桶，夏季每天2桶，則需120桶，冬季每6天1桶，則每班需20桶，則一學年每班需要“60+120+20=200（桶），一學生每班水費為200X10=2000元。電費折合為每學年每班為300元。則一學年配置飲水機每班水電費2300元。所以，一學年每班飲水機等合計約為2300+750- 3=2550元；每個學生平均一學年的水電費為2500-60=42.5元；景山中學全校全年飲水機等費用約為37X2550=94350元；顯然，通過計算，比較兩項開支費用，各班購買一臺飲水機要經(jīng) 濟實惠得多，一學年每個學生可以節(jié)

48、?。?35-42.5=92.5元；46每個班一學年可節(jié)?。?2.5X60=5550元；全校一學年可節(jié)省：5550X37=205350元。205350元，一個了不起的數(shù)據(jù)，而我們每天又可以喝上衛(wèi)生清 潔、冷暖皆宜的飲水機的礦泉水， 等我們畢業(yè)時還可以把飲水機贈給 下屆同學， 何樂而不為呢？我向溫州小學提出倡議： 在每個教室里配 一臺飲水機。47巧用數(shù)學看現(xiàn)實 在現(xiàn)實生活中，人們的生活越來越趨向于經(jīng)濟化，合理化但怎樣才 能達到這樣的目的呢？在數(shù)學活動組里，我就遇到了這樣一道實際生活中的問題：某報紙上報道了兩則廣告， 甲商廈實行有獎銷售： 特等獎10000元1名，一等獎1000元2名，二等獎100元

49、10名，三等獎5元200名，乙商廈則實行九五折優(yōu)惠銷售。請你想一想；哪一種銷售方式更 吸引人？哪一家商廈提供給銷費者的實惠大？面對問題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個隨機調 查。把全組的16名學員作為調查對象，其中8人愿意去甲家，6人 喜歡去乙家，還有兩人則認為去兩家都可以。調查結果表明：甲商廈 的銷售方式更吸引人，但事實是否如此呢？在實際問題中， 甲商厚每組設獎銷售的營業(yè)額和參加抽獎的人數(shù) 都沒有限制。所以我們認為這個問題應該有幾種答案。一、苦甲商廈確定每組設獎，當參加人數(shù)較少時，少于213（1十210200=213人）人，人們會認為獲獎機率較大，則甲商 廈的銷售方式更吸引顧客。二、

50、若甲商廈的每組營業(yè)額較多時， 它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應 的小。因48為甲商廈提供的優(yōu)惠金額是固定的，共14000元（10000200010001000=14000）。假設兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元， 則可求乙商廈的營業(yè)額為280000元（14000-5%=280000）。 所以由此可得：（l）當兩商廈的營業(yè)額都為280000元時，兩家商廈所提供的優(yōu) 惠同樣多。（2）當兩商廈的營業(yè)額都不足280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則 小于14000元，所以這時甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較 大。（3）當兩家的營業(yè)額都超過280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈的優(yōu)惠仍保持1

51、4000元時，乙商廈所提供的實惠 大。像這樣的問題，我們在日常生活中隨處可見。例如，有兩家液化 氣站，已知每瓶液化氣的質和量相同，開始定的價也相同。為了爭取 更多的用戶，兩站分別推出優(yōu)惠政策。 甲站的辦法是實行七五折錯售， 乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售。兩站的優(yōu)惠期限 都是一年。你作為用戶，應該選哪家好？這個問題與前面的問題有很大相同之處。 只要通過你所需要的罐 數(shù)來分析討論，這樣，問題便可迎刃而解了。隨著市場經(jīng)濟的逐步完善， 人們日常生活中的經(jīng)濟活動越來越豐富多彩。買與賣，存款與保險，股票與債券，都已進入我們的生 活同時與這一系列經(jīng)濟活動相關的數(shù)學， 利比和比例，利息與利率， 統(tǒng)計與概率。運籌與優(yōu)化，以及系統(tǒng)分析和決策，都將成為數(shù)學課程 中的“座上客”。作為跨世紀的中學生， 我們不僅要學會數(shù)學知識， 而且要會應用 數(shù)學知識去分析、 解決生活中遇到的問題 這樣才能更好地適應社會 的發(fā)展和需要49怎樣燒開水最快最省煤氣老師說過，有人對家庭煤氣的使用量做了研究，并且提出節(jié)省煤氣的方案，我們覺得很意思，就利用業(yè)余時間在家里做了測量燒開水所需煤氣量和所需時間的實驗。一、實驗過程我們仔細觀察現(xiàn)在家庭使用的電子打火煤氣灶， 發(fā)現(xiàn)當關著煤氣的時候，煤氣旋鈕（以下簡稱旋鈕）的位置為豎置方向，我們把這個位置定為0