全等三角形拓展題---尖子生專用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 全等三角形綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：1、 全等三角形的判定方法：2、 角平分線的性質(zhì)與判定：例題講解2016武漢江漢區(qū)壓軸題（本題12分）ABC是等腰三角形，ABAC，AD是ABC的中線，以AC為邊作等邊ACE，BE分別與直線AD、AC交于點(diǎn)F、G，連接CF(1) 如圖1，若ABC、ACE位于AC異側(cè)，求EFC的度數(shù) 試判斷線段EF、DF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由(2) 若ABC、ACE位于AC同側(cè)，試完成備用圖，并直接寫(xiě)出線段EF、DF、AF之間的數(shù)量關(guān)系 解：(1) ABAE，設(shè)ABEAEB ABAC，AD是ABC的中線 設(shè)BADCAD 又2260180，60 AF

2、EDFC60 EFC180606060 過(guò)點(diǎn)C作CHBE于H AEBAEC60，ABEBAD60 BADHEC 可證：ABDEHC（AAS） HEAD 易證：CFHCFD（AAS） FHDF EFFHAFDF 即EFAF2DF (3) 作圖、證明的過(guò)程一樣 AFEF2DF2016武珞路中學(xué)（本題10分）已知等邊三角形ABC，M為AB上的一點(diǎn)，以CM為邊作等邊CMN，連接BN(1) 求證：AMBN(2) 作MHBC于H，連接AH若AHMN，AM1，求CH的長(zhǎng) 證明：(1) ACMBCN（SAS） (2) 由(1)知：ACMBCN CBNMAC60 MBN6060120 過(guò)點(diǎn)M作MDBC交AC于D

3、 AMD為等邊三角形 AMADBN，ADM60 BMCD，MDC120 在BMN和DCM中 BMNDCM（SAS） BMNDCM AHMN BMNBAHDCM 在BAH和ACM中 BAHACM（ASA） BHAM1 BMHC MHBC，MBH60 BM2BH2 CH22016武珞路中學(xué)（本題10分）如圖1，已知等腰ABC中，ABAC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向外作等邊ABE，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F(1) 若AF10，DF3，試求EF的長(zhǎng)(2) 若以AB為邊向內(nèi)作等邊ABE，其它條件均不改變，請(qǐng)用尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡），找出EF、AF、DF三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 解

4、：(1) 設(shè)BADCAD，AECACE 在ACE中，2602180，60 連接BF BFDCFD60 BFCF2DF6 在EC上截取EGCF，連接AG AEGACF（SAS） EAGCAF，AGAF GAF60 AFG為等邊三角形 EFEGGFAFFC10616 (2) 尺規(guī)作圖：先作AB的垂直平分線，再利用半徑得到等邊 設(shè)BADCAD，ACEAEC CAE1802 BAE2180260，60 BADBEF 在AF上截取AGEF，連接BG 可知：ABGEBF（SAS） AGEF，BGBF BFG為等邊三角形AFAGGFBFEF2DFEF武漢二中廣雅中學(xué)2016（本題12分）在ABC中，ABAC

5、，BAC（060），以線段BC為邊在ABC內(nèi)作等邊DBC(1) 如圖1，ABD_（用含的式子表示）(2) 如圖2，BCE150，ABE60，判斷ABE的形狀并加以證明(3) 在(2)的條件下，連接DE，若DEC45，求的值 例1、（1）在ABC中，B=C，與ABC全等的三角形有一個(gè)角是130，那么ABC中與這個(gè)角對(duì)應(yīng)的角是（ ）A、A B、B C、C D、B或C（2）如圖1，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他根據(jù)所學(xué)知識(shí)，畫(huà)出了一個(gè)與書(shū)上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（ ）A、 SSS B、SAS C、AAS D、ASA（3） 如圖2，AD平分BAC，BFAD于D，

6、交AC于F，DEAC，BAD=30，則BDE=_例2、如圖3，OM平分AOB，AO=OB，AD與BC相交于M。求證：AC=BD例3、如圖4，在ABC中，B=C，D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD=CE，DEF=B。求證：ED=EF例4、如圖5，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中點(diǎn)。求證：DGEF例5、如圖6，ABC=90，AB=BC，D為AC上一點(diǎn)，分別過(guò)C、A作BD的垂線，垂足分別為E、F求證：EF=CE-AF例6、如圖7，P為AOB平分線上一點(diǎn)，PCOA于C，OAP+OBP=180，若OC=4cm。求OA+OB的值。例

7、7、如圖8，ADBC，1=2，3=4，點(diǎn)E在線段DC上。求證：AD+BC=AB例8、如圖9，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于D，AB+BC=2BD。求證：BPA+BCP=180鞏固：1、如圖，點(diǎn)P為AEF外一點(diǎn)，PA平分EAF，PDEF于D，DE=DF，PBAE于B。求證：AF-AB=BE2、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CA平分BCD，AEBC于E，AFCD交CD延長(zhǎng)線于F求證：BE=DF3、如圖，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE交于點(diǎn)H，連CH。（1） 求證：ACDBCE；（2） 求證：CH平分AHE；（3）求CHE的度數(shù)（用含的式子表示）4、如圖（1），在

8、ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過(guò)點(diǎn)A的一條直線，且點(diǎn)B、C在AE的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E（1）試說(shuō)明：BD=DE+CE（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（BDCE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時(shí)（BDCE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由5、如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫(xiě)出你猜想的結(jié)論；（2）將圖1中的ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（09

9、0），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由6、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)A為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BCAB交x軸的正半軸于點(diǎn)C。（1） 求證：BA=BC；（2） 當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OA+OC的值是否發(fā)生變化，若不變，求其值；若發(fā)生變化，求變化范圍7、 已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)（1）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），求證AE+CF=EF；（2）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，

10、請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明8、已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G（1）求證：BF=AC；（2）求證：CE=BF；（3）若把題目中“BE平分ABC”改為“BE平分線段DC”，其他條件不變，連接HF求證：HF=AD9、直線CD經(jīng)過(guò)BCA的頂點(diǎn)C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BEC=CFA=（1）若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：如圖1，若BCA=90，=90，則EF_ |BE-AF|（填

11、“”，“”或“=”號(hào)）；如圖2，若0BCA180，若使中的結(jié)論仍然成立，則與BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是_ ；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的外部，=BCA，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明第十一講：全等三角形綜合二知識(shí)點(diǎn)：1、 全等三角形的判定及性質(zhì)：2、 角平分線的性質(zhì)與判定：3、 常用輔助線：例題講解例1、如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分BAC，交CD于K，交BC于E，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，且BF=CE，求證：FKAB例2、如圖1，ABC中，BAC=90，BA=AC，（1）D為AC的中點(diǎn)，連BD，過(guò)A點(diǎn)作AEBD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)，連DF，求證：A

12、DB=CDF（2）若D，M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖2，連BD，過(guò)A作AEBD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連MF，判斷ADB與CMF的大小關(guān)系并證明例3、如圖，在ABC中，C=90，M為AB的中點(diǎn)，DMAB，CD平分ACB，求證：MD=AM例4、在ABC中，ACB為銳角，動(dòng)點(diǎn)D（異于點(diǎn)B）在射線BC上，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF（1）若AB=AC，BAC=90那么如圖一，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段CF與BD之間的位置、大小關(guān)系是_ （直接寫(xiě)出結(jié)論）如圖二，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)上時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若ABAC，BAC90點(diǎn)D在線段BC上，那么當(dāng)AC

13、B等于多少度時(shí)？線段CF與BD之間的位置關(guān)系仍然成立請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由例5、如圖所示，已知A，B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為直角邊向ABC外作等腰直角CAD和等腰直角CBE，滿足CAD=CBE=90，過(guò)點(diǎn)D作DD1l于點(diǎn)D1，過(guò)點(diǎn)E作EE1l于點(diǎn)E1（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)，試說(shuō)明DD1=AB；（2）在圖中，當(dāng)D，E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段DD1，EE1，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由例6、如圖1，已知點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（0，b），且a、b滿足 （1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且OCB=45

14、，過(guò)點(diǎn)A作ADOC于點(diǎn)F，求證：FA=FC；（3）如圖2，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），過(guò)點(diǎn)A作AEAD，且AE=AD，連接BE交x軸于點(diǎn)G，求G點(diǎn)的坐標(biāo)鞏固：1、如圖，已知BAC=90，ADBC于點(diǎn)D，1=2，EFBC交AC于點(diǎn)F試說(shuō)明AE=CF2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長(zhǎng)3、如圖，ABC中，AC=2AB，AD平分BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA=EC。求證：EBAB4、如圖，在ABC中，ACB=90，P為AC上一點(diǎn)，PQAB于Q，AMAB交BP的延長(zhǎng)線于M，M

15、NAC于N，AQ=MN（1）求證：AP=AM；（2）求證：PC=AN5、如圖，ABC內(nèi)，BAC=60，ACB=40，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP6、 將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖（1）方式擺放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F（1）求證：CF=EF；（2）若將圖（1）中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a，且0a60，其他條件不變，如圖（2）請(qǐng)你直接寫(xiě)出AF+EF與DE的大小關(guān)系：AF+EF_ DE（填“”或“=”或“”）（3）若將圖（1）中DBE的繞點(diǎn)B按順

16、時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且60180，其他條件不變，如圖（3）請(qǐng)你寫(xiě)出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并加以證明7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，5），B（-5，0），C（2，0），BDAC于D且交y軸于E，連接CE（1）求ABC的面積；（2）求的值及ACE的面積8、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16（1）COA的值為_(kāi) ；（2）求CAB的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸及射線OA上一點(diǎn)，且OHMN的延長(zhǎng)線于H，滿足HON=NMO，請(qǐng)?zhí)骄績(jī)蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明

17、9、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)C（0.2）；（1）請(qǐng)寫(xiě)出OB的長(zhǎng)度：OB=_ ；（2）如圖：若點(diǎn)D在x軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0），求證：AOBCOD；（3）若點(diǎn)D在第二象限，且AOBCOD，則這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是_ （直接寫(xiě)答案）10、已知，在ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分線的交點(diǎn)O在AB上，M、N分別在直線AC、BC上，MON=A=45（1）如圖1，若點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，求證：CN+MN=AM；（2）如圖2，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC邊的延長(zhǎng)線上，試猜想CN、MN、AM之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論（不要求證明）11、（1）如圖1，以AB

18、C的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷ABC與AEG面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米12、如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（圖1）ABD不動(dòng)，（1）若將ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖2），證明：MB=MC（2）若將圖1中的CE向上平移，CAE不變，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫(xiě)出MB、MC

19、的數(shù)量關(guān)系（3）在（2）中，若CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由13、如圖，ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線MN交AC于N，交AC的平行線BM于M，PDMN，交AB于點(diǎn)P，連接PM、PN（1）求證：BM=CN；（2）請(qǐng)你判斷BP+CN與PN的在數(shù)量上有何關(guān)系，并說(shuō)明你的理由14、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（m，0）、B（0，n），且，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）求OA、OB的長(zhǎng)；（2）連接PB，若POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3

20、）過(guò)P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使EOPAOB？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由等腰三角形小結(jié)一、構(gòu)造等腰三角形例1 如圖，在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，AD=AE，AFBE交BC于F，F(xiàn)GCD交AC于H，交BE的延長(zhǎng)線于G(1)求證：GE=GH；(2)問(wèn)BG、AF、FG有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論練習(xí)1等邊ABC中，點(diǎn)0為AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PEAC交BC于E，點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，且CF=PE，連OF、EF，求OFE的度 數(shù)二、運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)例2 已知RtABC.中，

21、AC=BC，C= 90，D為AB中點(diǎn)，EDF=90，EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F 圖 圖 圖(1)當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E（如圖）時(shí)，顯然SDEF+SCEF=SABC.當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)（如圖），SDEF、SCEF、SABC三者之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，請(qǐng)直接寫(xiě)出SDEF、SCEF、SABC之間的數(shù)量關(guān)系是 （不必證明）練習(xí)2如圖，ABC中，A=90AB=AC，D為AC中點(diǎn)，AEBD于E，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn) F.求證：ADB=CDF.3ABC中，過(guò)BC邊的中點(diǎn)D作直線交AB于

22、E交CA的延長(zhǎng)線于F，使AE=AF.求證：BE=CF.三、角平分線與等腰三角形例3 如圖，ABCD，BE、CE分別平分ABC、DCB.求證：AB+CD=BC.練習(xí)4如圖，ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，CEBD交BD延長(zhǎng)線于E (1)求證：CE=BD； (2)求AEB的度數(shù)5如圖，在ABC中，M為BC邊中點(diǎn)，AD為BAC的平分線，MFAD交AD延長(zhǎng)線于F，交AB于E求證：BE=(AB-AC)四、構(gòu)造等邊三角形例4 如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，OA=OB=OC=2，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿y軸正方向以1個(gè)單位秒的速度向上運(yùn)動(dòng)，連接PA、PB，D為AC的中點(diǎn) (1)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的

23、時(shí)間為t秒，問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，DP與DB垂直且相等； (2)若PA=AB，在第一象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q，連QA、QB、QP，且PQA=60，問(wèn)：當(dāng)Q在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，APQ+ABQ的度數(shù)和是否會(huì)發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)說(shuō)明理由并求這個(gè)不變的值.圖 圖練習(xí)6如圖，A（O，-1），A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，AB=2，EFBC，交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，交y軸于F點(diǎn) (1)求AEF； (2)如圖，將AEF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交BC延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，當(dāng)D(m，2)時(shí)，問(wèn)AM+DH大小是否變化并證明圖 圖全等三角形中常見(jiàn)輔助線的作法 常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，

24、思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在

25、求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段

26、AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0AD+AE.四、借助角平分線造全等例1、如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD例2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).應(yīng)用：1、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相

27、交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。五、旋轉(zhuǎn)例1、正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 例2 、D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。例3 、如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩

28、邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；應(yīng)用：1、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);(2)當(dāng)APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）4在ABC中，AB