第七章：收益率曲線動(dòng)力學(xué)

1、.第七章 收益率曲線動(dòng)力學(xué)在本書(shū)的第六章中，我們?cè)敿?xì)介紹了期限構(gòu)造的參數(shù)模型和收益率曲線的擬合方法。在已經(jīng)知道債券市場(chǎng)的全部品種假設(shè)這些品種是同質(zhì)的在某一時(shí)點(diǎn)的橫截面數(shù)據(jù)時(shí)，我們就可以通過(guò)特定的方法得出市場(chǎng)的收益率曲線數(shù)據(jù)和形態(tài)。原那么上來(lái)說(shuō)，假設(shè)市場(chǎng)是有效的，那么同期限的債券品種長(zhǎng)期來(lái)看不應(yīng)存在套利空間注*：注意，我們?cè)谶@里對(duì)債券市場(chǎng)有效的假設(shè)并不包括對(duì)收益率曲線形態(tài)的任何假設(shè)。也就是說(shuō)，個(gè)別品種與收益率曲線間的定價(jià)偏向應(yīng)是完全由隨機(jī)因素引起的。在這種情況下，我們的債券投資組合所面臨的最大風(fēng)險(xiǎn)就是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，即收益率曲線本身的動(dòng)態(tài)變化所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。事實(shí)上，債券市場(chǎng)的效率通常是非常高的，即使是在

2、中國(guó)債券市場(chǎng)這樣的新興市場(chǎng)上，投資者所面臨的最大風(fēng)險(xiǎn)也是來(lái)自利率的波動(dòng)。通常情況下，大型的債券投資組合是分散在整個(gè)期限構(gòu)造上的。對(duì)于組合的管理者來(lái)說(shuō)，需要時(shí)時(shí)理解到收益率曲線的信息，以調(diào)整組合和投資策略，來(lái)滿足收益性和避險(xiǎn)的要求。但是，我們即便是已經(jīng)可以準(zhǔn)確、即時(shí)地獲得市場(chǎng)的期限構(gòu)造，也并不能保證投資組合的平安性。因?yàn)閭鹘y(tǒng)的利率風(fēng)險(xiǎn)管理通常是通過(guò)對(duì)久期的管理，而這種方法的局限性在于它假設(shè)收益率曲線僅僅是平行挪動(dòng)的?，F(xiàn)實(shí)中的收益率曲線是隨時(shí)在發(fā)生著各種形態(tài)變化的，單純對(duì)橫截面數(shù)據(jù)進(jìn)展研究是不夠的，我們還必須理解收益率曲線的形態(tài)變化，導(dǎo)致其形態(tài)變化的原因，以及整條曲線上的不同點(diǎn)對(duì)于這些原因的敏感程

3、度。這樣，就要求我們的研究重點(diǎn)從“靜態(tài)方法轉(zhuǎn)向“動(dòng)態(tài)方法，對(duì)于收益率來(lái)說(shuō)，即是由對(duì)其橫截面數(shù)據(jù)的研究轉(zhuǎn)向時(shí)間序列數(shù)據(jù)的研究。從某種意義上講，在整個(gè)前面一章的內(nèi)容，都是為了準(zhǔn)確地“獲取數(shù)據(jù)提供技術(shù)上的支持。而本章開(kāi)場(chǎng)，我們才開(kāi)場(chǎng)正式研究這些數(shù)據(jù)。當(dāng)代數(shù)量金融學(xué)的對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的研究方法已經(jīng)非常完善。然而，對(duì)于收益率曲線來(lái)說(shuō)，我們所觀測(cè)到的是一條連續(xù)的曲線的時(shí)間序列變化，它包含了許多詳細(xì)的期限點(diǎn)的點(diǎn)利率注*：這里的點(diǎn)利率并不是即期利率的英文名稱Spot Rate相對(duì)應(yīng)，請(qǐng)讀者不要混淆的運(yùn)動(dòng)。在考慮債券投資組合面對(duì)的利率風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，我們必須將每一個(gè)期限點(diǎn)的點(diǎn)利率看作投資組合的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子。這就造成了一個(gè)

4、實(shí)際的困難：即使我們只考慮有限多離散的的點(diǎn)利率，它們的動(dòng)態(tài)變化也是處在一個(gè)高維的向量空間中，通常的如單位根或協(xié)整檢驗(yàn)之類的方法在這樣的條件下顯得繁瑣而缺乏效率。 考察收益率曲線的變化及其成因，需要借鑒于一些新近被引入數(shù)理金融學(xué)中研究方法，如主成因分析Principle Component Analysis，這種方法在處理多維變量時(shí)具有很多優(yōu)點(diǎn)，但目前國(guó)內(nèi)的研究中對(duì)它的應(yīng)用還非常缺乏，我們將在本章中對(duì)此方法詳細(xì)介紹。在數(shù)理模型之外，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們也提供了一些“更宏觀的模型來(lái)解釋收益率曲線，這些理論雖然已經(jīng)廣為人知，但在近年來(lái)它們也得到了新的分析方法和數(shù)據(jù)的證實(shí)。我們?cè)诒菊轮刑峁┑膬?nèi)容從體系角度上看是

5、比較松散的，但對(duì)收益率曲線的形態(tài)、變化及其成因的理論和研究方法那么是本章的主要線索，而將收益率曲線的變化看作一個(gè)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，對(duì)我們的研究也有所幫助?；谶@些原因，我們將本章的題目概括為?收益率曲線動(dòng)力學(xué)?。但這并不說(shuō)明我們要以研究物理系統(tǒng)的方法來(lái)純粹地對(duì)待利率期限構(gòu)造雖然研究方法確實(shí)有所借鑒。7-1樸素的收益率曲線變化分解收益率曲線的根本形態(tài)對(duì)收益率曲線來(lái)說(shuō)，最直觀的研究方法就是觀察它的圖形。我們經(jīng)常聽(tīng)到利率程度“向上或“向下的說(shuō)法，這樣的說(shuō)法所描繪的是不同期限的點(diǎn)利率同時(shí)按同等變動(dòng)幅度變化。我們已經(jīng)知道的是，不同期限的利率變化是并不一定是完全一致的，它們甚至可以朝相反的方向變化，這就形成了各

6、式各樣的收益率曲線形態(tài)。收益率曲線的形態(tài)和變化往往同宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境有關(guān)，我們可以就美國(guó)的收益率曲線近二十年的變化過(guò)程看看其同經(jīng)濟(jì)的相關(guān)關(guān)系。 一般而言，短期債券的收益率較低，因?yàn)橥顿Y人的資金的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小。將資金投入到30年的債券畢竟要承受今后三十年的眾多變化。因此投資三十年的債券一般情況下要有更高的收益率才能吸引投資人。所以正常的收益率曲線應(yīng)隨期限的增加而緩慢平滑上升。但是在有些時(shí)候，收益率曲線會(huì)變型為一些其他形狀，這些特殊的形狀往往反映的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)這些形狀出現(xiàn)時(shí)，就要重新對(duì)經(jīng)濟(jì)宏觀走勢(shì)進(jìn)展判斷。 因?yàn)楹茈y通過(guò)文字來(lái)表述清楚這些形態(tài)的詳細(xì)特征，研究人員對(duì)收益率曲線的形狀大體上進(jìn)

7、展了總結(jié)和分類。通常，收益率曲線的根本形態(tài)可以被分為四種：正常型，陡峭型，倒掛型，和平坦型。讓我們來(lái)看看這些形態(tài)的收益率曲線在美國(guó)出現(xiàn)的歷史時(shí)期和當(dāng)時(shí)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的關(guān)系。1、正常收益率曲線 圖7-1當(dāng)美國(guó)經(jīng)濟(jì)較為正常地增長(zhǎng)，低通貨膨脹，且資金面變化不大時(shí)，收益率曲線屬于正常，緩慢平滑向上。在沒(méi)有大的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的情況下，承擔(dān)較長(zhǎng)到期期限的投資人獲得較高的投資收益率，因此有這樣的曲線。 1984年12月是美國(guó)戰(zhàn)后最長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張期。GDP成長(zhǎng)在2%到5%之間。而隨后兩年的美國(guó)股市也在其后兩年有強(qiáng)勁增長(zhǎng)。這種曲線形狀往往在經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張和股市增長(zhǎng)的中期，市場(chǎng)普遍性的慎重樂(lè)觀。 2、陡峭型收益率曲線 圖7-2此種形

8、狀中三十年國(guó)債同三個(gè)月短期國(guó)債的利差超過(guò)3，短期和長(zhǎng)期利率有非常陡峭的增長(zhǎng)，這說(shuō)明長(zhǎng)期債券投資人認(rèn)為經(jīng)濟(jì)在將來(lái)將加速增長(zhǎng)。這種形狀一般出如今經(jīng)濟(jì)膨脹期的初期，緊跟在經(jīng)濟(jì)畏縮之后。此時(shí)前期經(jīng)濟(jì)呆滯而導(dǎo)致短期利率低程度的狀況仍然存在，但是一旦經(jīng)濟(jì)活動(dòng)對(duì)資本需求開(kāi)場(chǎng)形成后，利率將開(kāi)場(chǎng)升高。長(zhǎng)期債券投資人擔(dān)憂被鎖定在利率，立即會(huì)要求更高的長(zhǎng)期收益率回報(bào)。而短期資金的貸方會(huì)面對(duì)較小的利率風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)樗麄冎豁氃诮栀J到期后投資到更高的收益率品種上。 1992年四月，長(zhǎng)短期收益率相差5%，說(shuō)明投資人預(yù)期強(qiáng)勁的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，導(dǎo)致長(zhǎng)期債券收益率拔高。事實(shí)確實(shí)如此。GDP在1993增長(zhǎng)3%。而到了1994年十月，短期利率

9、已上升2%，使得長(zhǎng)短期的息差得以緩解，收益率曲線也趨于正常。 3、倒掛型收益率曲線 圖7-3倒掛型有點(diǎn)不可思議。為什么債券投資人愿意持有比更短到期日債券為低的長(zhǎng)期債券呢？其中的答案可以這樣解釋。長(zhǎng)期債券持有人假設(shè)認(rèn)為今后長(zhǎng)期利率程度比方今更低的話，那他會(huì)承受這種形狀。他們更愿意鎖定長(zhǎng)期債券的當(dāng)前收益率程度。這個(gè)形狀發(fā)生在1981年八月。這一年的早些時(shí)候，美聯(lián)儲(chǔ)主席在預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)放緩后，開(kāi)場(chǎng)調(diào)低聯(lián)邦資金利率，債券投資人意識(shí)到這是他們鎖定今后幾年10%收益率的最后時(shí)機(jī)，于是大量購(gòu)入長(zhǎng)期國(guó)債，從而壓低了收益率曲線的遠(yuǎn)端。 這個(gè)集體的市場(chǎng)智慧再次得到驗(yàn)證。GDP的增長(zhǎng)非常糟糕。隨著經(jīng)濟(jì)的倒退短期利率大幅下

10、降。三十年債券的收益率從14%降到7%，短期利率那么從15%開(kāi)場(chǎng)，逐步降到5-6%。而第二年的股市也損失沉重。雖然倒掛型出現(xiàn)情況較少，但也不可忽略。出現(xiàn)這種情況，經(jīng)濟(jì) 的衰退或經(jīng)濟(jì)危機(jī)也將接踵而至，而整個(gè)利息程度將跌至低位。 4、平坦型或駝背型收益率曲線 圖7-4要從正?；蚨盖瓦^(guò)渡到倒掛型，收益率曲線必須經(jīng)過(guò)一個(gè)平臺(tái)型區(qū)域，或許中間區(qū)域也帶有一點(diǎn)駝峰。但反之不盡然，即平坦型并不總轉(zhuǎn)化為倒掛型。市場(chǎng)總是有其不可預(yù)測(cè)性。但是一個(gè)平坦的收益率曲線經(jīng)常會(huì)伴隨經(jīng)濟(jì)滑坡，在經(jīng)歷過(guò)一段平坦曲線后，利率程度往往也會(huì)降低。 1989年就是這樣的情形。三十年債券的收益率小于三年的。這個(gè)現(xiàn)象持續(xù)了大約五個(gè)月。隨后曲

11、線扁平化，再后來(lái)才在1990 初變得較為正常。這并不是錯(cuò)誤報(bào)警、因?yàn)閺腉DP可以看出經(jīng)濟(jì)在六月份下滑，并在1991年陷入經(jīng)濟(jì)衰退。而股票市場(chǎng)也在1990年中期大幅跌落。短期與中期收益率下降了四個(gè)百分點(diǎn)。 收益率曲線形態(tài)變化的根本類型在四種根底的收益率曲線形態(tài)下，讓我們繼續(xù)來(lái)研究收益率曲線通常發(fā)生的形態(tài)變化。從歷史的數(shù)據(jù)和理論研究都可以發(fā)現(xiàn)，收益率曲線形態(tài)的變化明顯地受到宏觀經(jīng)濟(jì)因素的影響，而其中最主要的影響是我們熟悉的“經(jīng)濟(jì)周期導(dǎo)致的收益率曲線變化。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)，在經(jīng)濟(jì)形勢(shì)剛剛走出低谷的時(shí)期，企業(yè)盈利開(kāi)場(chǎng)增加，快速成長(zhǎng)的動(dòng)力要求更多的勞動(dòng)力和消費(fèi)資料，這將會(huì)加速物價(jià)和工資程度的上漲；另一方面，

12、對(duì)資本的需求將會(huì)增加，而資本的來(lái)源那么主要是國(guó)民儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)化為投資，膨脹的投資需求將導(dǎo)致利率程度的上升，所有的這些因素將使整個(gè)收益率曲線向上方挪動(dòng)。這一時(shí)刻，人們感受到的是“利率程度的上升。但我們需要注意的是，此時(shí)的利率上升并不一定表達(dá)為收益率曲線上每一點(diǎn)的同步同幅上升，即所謂的“平行挪動(dòng)。實(shí)際上，我們也可以將收益率曲線的形態(tài)變化劃分為幾個(gè)根本的類型，因?yàn)檫@種歸類相對(duì)直觀而簡(jiǎn)單，并且主要注重直接觀差圖形的變化而不涉及更復(fù)雜的數(shù)據(jù)和模型的研究，因此我們把這種分類方法成為樸素的收益率曲線變化分解。雖然這種歸類法相對(duì)簡(jiǎn)單，但我們?cè)诤竺娴膬?nèi)容中會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種樸素歸類方法的科學(xué)性在很大程度上會(huì)得到更先進(jìn)的研究

13、方法的證實(shí)。根本上，我們可以把收益率曲線的變化分為三種類型：平行挪動(dòng)，旋轉(zhuǎn)扭動(dòng)和蝴蝶形挪動(dòng)。請(qǐng)注意，這三種變化有時(shí)候不是單獨(dú)出現(xiàn)的，收益率曲線形態(tài)變化經(jīng)常同時(shí)包含兩種或三種變化類型。1、 平行挪動(dòng)圖7-5請(qǐng)讀者回憶本書(shū)曾經(jīng)介紹過(guò)的久期和凸度的概念，當(dāng)時(shí)我們指出，以久期和凸度分析方法只有在收益率曲線平行挪動(dòng)的條件下才是有效的。我們看到，圖7-5是平行挪動(dòng)的收益率曲線變化的一個(gè)例子。所謂平行挪動(dòng)，就是收益率曲線上每一點(diǎn)利率程度都在同一期間內(nèi)發(fā)生了完全一樣的變化。例如圖7-5所示，假設(shè)5年即期利率由1.88%上升至2.18%，那么20年即期利率那么由3.24%上升至3.54%，同樣也是上升了30個(gè)基

14、點(diǎn)。收益率曲線的平行挪動(dòng)是最常見(jiàn)的挪動(dòng)方式。當(dāng)然，“絕對(duì)平行的挪動(dòng)通常是不會(huì)出現(xiàn)的，但我們經(jīng)常可以看到“大致平行的收益率曲線挪動(dòng)方式。如圖7-6，中國(guó)交易所市場(chǎng)國(guó)債即期利率曲線在2002年初和年底的收益率曲線就幾乎是平行的注*：當(dāng)然，2002年內(nèi)的交易所市場(chǎng)收益率曲線還出現(xiàn)了其他形式的變化，在圖7-6種我們只考察年初和年底的變化狀況，不過(guò)長(zhǎng)期債的收益率下降幅度要稍大一些。這樣的觀察結(jié)果似乎提供給久期和凸度分析方法一些實(shí)證上的支持。有時(shí)候，債券研究人員往往會(huì)不自覺(jué)地假設(shè)收益率曲線只發(fā)生平行挪動(dòng)。假設(shè)把經(jīng)濟(jì)因素對(duì)收益率曲線的影響對(duì)待的比較簡(jiǎn)單和直接，我們也可以從直觀上承受這一觀點(diǎn)，即收益率曲線在大

15、多數(shù)情況下都是平行挪動(dòng)的。可是實(shí)際上，我們所講“平行挪動(dòng)是最常見(jiàn)的挪動(dòng)方式，是指大多數(shù)觀察到的收益率曲線形態(tài)變化都“包含平行挪動(dòng)，即通常各個(gè)期限的點(diǎn)利率的變動(dòng)方向是一樣的，但其個(gè)別的變動(dòng)幅度卻往往不完全一致。2、 旋轉(zhuǎn)扭動(dòng)圖7-7扭動(dòng)的收益率曲線也可以被視為“旋轉(zhuǎn)的收益率曲線。如圖7-7所示，收益率曲線的近端和遠(yuǎn)端的變化方向是相反的，即收益率曲線的斜率發(fā)生了變化，然而收益率曲線的彎曲程度幾乎沒(méi)有發(fā)生變化。當(dāng)然，這里的“方向相反指剔除了平行挪動(dòng)變化之后的“相反，收益率曲線斜率的變化當(dāng)然也可能發(fā)生近端和遠(yuǎn)端變化方向一致的情況下。我們可以把收益率曲線的扭動(dòng)歸為兩種類型：陡峭化和平坦化。導(dǎo)致收益率曲線

16、發(fā)生陡峭化或者平坦化的原因可以有許多種。如前所述，收益率曲線的形態(tài)扭動(dòng)大多數(shù)是受到宏觀經(jīng)濟(jì)因素的影響。與許多“滯后的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)不同的是，收益率曲線的扭動(dòng)往往和宏觀經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)的變化是同時(shí)發(fā)生的。當(dāng)經(jīng)濟(jì)剛剛走出低谷，特別是在通貨緊縮完畢的，物價(jià)程度開(kāi)場(chǎng)表現(xiàn)出微弱的上漲趨勢(shì)時(shí)，收益率曲線往往迅速發(fā)生明顯的陡峭化變化。這是因?yàn)殚L(zhǎng)期固息債券的持有者對(duì)遠(yuǎn)期利率程度上升出現(xiàn)了較為一致的預(yù)期，為了躲避利率風(fēng)險(xiǎn)，他們?cè)诘谝粫r(shí)間拋出手中的長(zhǎng)期品種，使收益率曲線的遠(yuǎn)端迅速上移。而短期品種面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小，因此拋盤也往往較少，這使得收益率曲線的近端向上挪動(dòng)的幅度也就較小，整個(gè)收益率曲線明顯呈現(xiàn)出陡峭化趨勢(shì)當(dāng)然，也會(huì)

17、伴隨著向上的平行挪動(dòng)。在很多情況下，收益率曲線的陡峭化也就意味著債券市場(chǎng)的長(zhǎng)期牛市完畢。有趣的是，實(shí)證研究發(fā)如今收益率曲線的平坦化變化卻往往略慢于實(shí)際的宏觀經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)。直覺(jué)的觀點(diǎn)告訴我們， 投資人在證券市場(chǎng)熊市的末期往往表現(xiàn)得猶豫不決，但在判斷牛市完畢時(shí)卻總是迅速地拋售風(fēng)險(xiǎn)品種，這也容許以有助于解釋上述現(xiàn)象。3、蝴蝶型扭動(dòng)圖7-8蝴蝶型扭動(dòng)的收益率曲線如圖7-8所示。在整條收益率曲線的中段并不發(fā)生很大的變化，而收益率曲線的近端和遠(yuǎn)端那么出現(xiàn)明顯的同方向大幅度變化。隨著時(shí)間的流逝我們觀察這種變化，會(huì)發(fā)現(xiàn)整條收益率曲線像蝴蝶扇動(dòng)著翅膀，因此我們稱收益率曲線的這種形態(tài)變化為蝴蝶型扭動(dòng)。蝴蝶型扭動(dòng)通常表

18、達(dá)為收益率曲線的彎曲程度的變化，而我們上面所介紹的平行挪動(dòng)和旋轉(zhuǎn)扭動(dòng)變化中，收益率曲線的彎曲程度是不變的。收益率曲線彎曲程度的變化往往并沒(méi)有很明確的經(jīng)濟(jì)解釋。由于成熟市場(chǎng)上的中期債券7-10年期品種一般數(shù)量最多，并且此段的收益率曲線程度是市場(chǎng)當(dāng)前利率程度的最集中反映，因此收益率曲線的中段通常是最穩(wěn)定的。而相對(duì)來(lái)說(shuō)，收益率曲線的近端和遠(yuǎn)端那么波動(dòng)性往往大于中段注*：在本書(shū)后面將要介紹的波動(dòng)性期限構(gòu)造和“波動(dòng)率微笑效應(yīng)的部分，我們還將從實(shí)證上來(lái)證實(shí)這一現(xiàn)象，因此，收益率曲線的蝴蝶型扭動(dòng)是經(jīng)?？梢员挥^察到的。不過(guò)，圖7-8中的收益率曲線僅僅描繪了一個(gè)不存在拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0的收益率曲線的蝴蝶型扭動(dòng)，對(duì)

19、于存在一個(gè)或更多拐點(diǎn)的收益率曲線來(lái)說(shuō)，蝴蝶型扭動(dòng)的款式可能就更為復(fù)雜。當(dāng)然，我們也可以把這樣的收益率曲線以其拐點(diǎn)位置劃分為幾小段，然后詳細(xì)分析每一段中的蝴蝶型扭動(dòng)情況根本上，“平行挪動(dòng)、“旋轉(zhuǎn)扭動(dòng)和“蝴蝶型扭動(dòng)可以概括所有可能的收益率曲線形態(tài)變化，這三種變化方式分別表現(xiàn)了收益率曲線絕對(duì)程度的變化、斜率的變化和彎曲程度的變化。研究人員可以對(duì)現(xiàn)實(shí)中收益率曲線在一段時(shí)間內(nèi)的變化進(jìn)展考察，并且從直觀上將其變化分解為以上三種形態(tài)變化的組合。7-2主成因分析法：原理與應(yīng)用我們?cè)谏弦还?jié)已經(jīng)詳細(xì)地介紹了“樸素的收益率曲線變化分解方法。將收益率曲線變化歸納為根本的三種形態(tài)，這樣的方法看似簡(jiǎn)單實(shí)用，但其理論根底似

20、乎頗值得疑心。在金融學(xué)的研究領(lǐng)域里，直覺(jué)得出的結(jié)果和理論推導(dǎo)相悖的事情時(shí)有發(fā)生。此外，我們也確實(shí)需要一種定量化的方法來(lái)幫助我們理解收益率曲線的變化成因。這就需要我們引入一種方法，可以對(duì)構(gòu)成收益率曲線的一組變量不同期限的點(diǎn)利率進(jìn)展整體性的研究。通常情況下，假設(shè)這些點(diǎn)利率都是不相關(guān)的，那么我們可以將它們作為單變量來(lái)逐個(gè)進(jìn)展處理。對(duì)它們的研究也可以借助一些成熟的時(shí)間序列分析方法。這樣的方法在學(xué)術(shù)研究中也許還是具有一定價(jià)值的，但現(xiàn)實(shí)中的收益率曲線顯然必須被作為一個(gè)整體來(lái)考慮，而點(diǎn)利率之間也顯然具有相關(guān)關(guān)系。這時(shí)候，假設(shè)我們?cè)噲D去用傳統(tǒng)方法來(lái)研究整條收益率曲線，那么必須在高維的向量空間中進(jìn)展數(shù)據(jù)處理，這

21、當(dāng)然是非常費(fèi)事的。為了抑制這些困難，很自然地，我們會(huì)考慮到用降低維數(shù)的方法，以初始數(shù)據(jù)中的多個(gè)點(diǎn)利率變量來(lái)構(gòu)造數(shù)目較少的一些新的、互相獨(dú)立的綜合變量，使這些綜合變量可以盡可能完好地反映初始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征。這就是主成因分析法Principal Components Analysis的根本思想。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，主成因分析法早已經(jīng)是一種成熟的分析方法，而金融學(xué)領(lǐng)域中對(duì)它的應(yīng)用還是近些年的事。盡管如此，主成因分析法的流行卻是非常迅速的。在固定收益工具的研究領(lǐng)域，收益率曲線的變動(dòng)因素也可以說(shuō)，其風(fēng)險(xiǎn)因子的構(gòu)成相比照較復(fù)雜，而以久期來(lái)度量債券組合風(fēng)險(xiǎn)的方法隱含了收益率曲線的平行挪動(dòng)假設(shè)，而我們已經(jīng)知道，收益率

22、曲線的形態(tài)變化是復(fù)雜的，平行挪動(dòng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能概括全部的可能情況。當(dāng)研究人員通過(guò)主成因分析法得出了經(jīng)濟(jì)意義顯著，更加全面卻相對(duì)容易處理的收益率曲線風(fēng)險(xiǎn)因子時(shí)，這類方法的流行也就是必然的事情了。主成因分析的根本原理我們已經(jīng)知道，收益率曲線的變動(dòng)可以考慮為n個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)利率的變化，例如1個(gè)月，3個(gè)月，6個(gè)月，1年，2年直至30年的30多個(gè)點(diǎn)利率我們計(jì)為S1 Sn。我們把這些點(diǎn)利率作為n個(gè)存在相關(guān)關(guān)系的變量來(lái)考慮。為了將復(fù)雜的問(wèn)題同時(shí)處理30多個(gè)變量轉(zhuǎn)化成為一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，我們希望以這n個(gè)相關(guān)變量的初始數(shù)據(jù)，來(lái)構(gòu)造一組新的m個(gè)mn獨(dú)立的綜合變量PC。對(duì)于一組參數(shù)p1，p2，pn，我們將綜合變量PC作為初始變量

23、S的一個(gè)線性組合，即 7-1其中，。對(duì)于自由參數(shù)向量p，我們要求其應(yīng)使綜合變量PC滿足以下條件：1、 綜合變量PC的方差最大；2、 在n維空間中的n個(gè)點(diǎn)S1 Sn到超平面PC的間隔 之和最小；3、 以式7-1的形式進(jìn)展多元線性回歸，參數(shù)向量p是這個(gè)多元線性回歸的最優(yōu)估計(jì)量；4、 綜合變量PC與變量S1 Sn的相關(guān)系數(shù)平方和最大?？梢宰C明，上述條件1 3是變量S1 Sn的方差-協(xié)方差矩陣求特征值問(wèn)題，而條件4是變量S1 Sn的相關(guān)系數(shù)矩陣求特征值問(wèn)題。我們知道，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，可以將其分解為 7-2其中，對(duì)角矩陣中的1，2，n 為實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值，而X為一個(gè)正交矩陣，其列向量為對(duì)應(yīng)于特征值i的

24、特征向量注*：對(duì)于N×N階實(shí)對(duì)稱矩陣來(lái)說(shuō)，其必然有N個(gè)實(shí)特征根但不一定都是不同的和N個(gè)正交的特征向量C1，C2，Cn。即對(duì)于任意的ij，有CiT Cj=0。但假設(shè)矩陣非對(duì)稱，那么上述結(jié)論不一定為真。也就是我們所需要的參數(shù)向量p1，p2，pn，由于特征向量間是互相正交即互相獨(dú)立的，而且我們知道，對(duì)于某一特征值i，我們據(jù)7-2,有 7-3實(shí)際上，我們解7-2所得到的特征向量矩陣正交矩陣X就是n個(gè)互相獨(dú)立的參數(shù)向量組成的矩陣，即 7-4 通常，我們構(gòu)造協(xié)方差矩陣時(shí)，根底數(shù)據(jù)選取的是初始變量S1 Sn的增量S1 Sn。因此，這里的綜合變量PC是變量S1 Sn的線性組合注*：在應(yīng)用主成因分析法

25、時(shí)，我們實(shí)際上是要考察整條收益率曲線的變化情況，因此對(duì)于收益率曲線上n個(gè)點(diǎn)利率來(lái)說(shuō)，我們選取其變化的增量作為初始數(shù)據(jù)。由于解7-2得出的是n組正交向量，也就是說(shuō)，滿足前面4個(gè)條件，且包含所有初始變量信息的新的綜合變量PC有n個(gè)，可以寫(xiě)作： 7-5也就是 7-6 其中，綜合變量PC1，PC2，PCn稱為協(xié)方差矩陣的n個(gè)主成份Principal Component。特別是，對(duì)應(yīng)最大的特征值1的特征向量P1，被稱為第一主成份First Principal Component，而次大的2對(duì)應(yīng)的特征向量P2。被稱為第二主成分。依次類推，我們可以得出n個(gè)主成分。注意一點(diǎn)，由于特征向量之間都是彼此互相正交的

26、，因此它們的線性組合，即n個(gè)主成份彼此間都是互相獨(dú)立的。而且我們知道，因?yàn)樘卣飨蛄烤仃嘪是一個(gè)正交矩陣，我們也可以將7-5寫(xiě)作 7-7式7-7和式7-5具有不同的經(jīng)濟(jì)意義，前者實(shí)際上將每一個(gè)點(diǎn)利率寫(xiě)作n個(gè)主成份的線性組合，因此。例如，第一主成份每變化1單位，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)利率S1變化p1,1單位，依次類推，我們可以得出每一主成份的變化對(duì)每一個(gè)點(diǎn)利率S變化的邊際影響。這個(gè)邊際影響pi,j被稱為每一主成份對(duì)應(yīng)于每一個(gè)變量Sj的因子載荷Factor Loading。還有一點(diǎn)，由特征向量的性質(zhì)我們可以知道，對(duì)于每一主成份來(lái)說(shuō)，它所對(duì)應(yīng)的全部因子載荷 7-8注*：也就是特征向量矩陣X的任意一行列元素的平方

27、和等于1特征值的經(jīng)濟(jì)意義在主成因分析法的應(yīng)用中，我們可以選取的研究對(duì)象通常有兩種選擇，即選取點(diǎn)利率增量S1 Sn點(diǎn)利率的時(shí)間序列數(shù)據(jù)差分后獲得的協(xié)方差矩陣或是相關(guān)系數(shù)矩陣。一般情況下，選取這兩種矩陣的計(jì)算結(jié)果是比較接近的，但假設(shè)我們選取的是點(diǎn)利率的協(xié)方差矩陣作為，那么條件4還不能保證被滿足。在有些應(yīng)用中，研究人員回將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，將變量S1 Sn的標(biāo)準(zhǔn)化為均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，這樣得出的協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)據(jù)是一樣的。但實(shí)際應(yīng)用中，我們并不建議采取這樣的做法。上述的這種方法在一些初始數(shù)據(jù)變量單位不一致的問(wèn)題中經(jīng)常被用到。但收益率曲線上的數(shù)據(jù)不存在單位的問(wèn)題，而且數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化那么需要對(duì)變

28、量S1 Sn的分布狀況進(jìn)展假設(shè)，這也是我們所不希望的。事實(shí)上，條件1、2、3就可以滿足主成因分析所需要的假設(shè)，因此通常我們選取的是點(diǎn)利率增量的協(xié)方差矩陣來(lái)進(jìn)展研究，而不考慮相關(guān)系數(shù)矩陣，或者將其放在一個(gè)稍次要的位置上。選取協(xié)方差矩陣的另一個(gè)好處在于，它賦予了特征值以明確的經(jīng)濟(jì)意義。由7-2我們已經(jīng)知道，矩陣可以被分解為，而X是正交矩陣，也就是說(shuō)有 7-9而對(duì)于X中的任一列，即的任一特征向量，我們記作,關(guān)于對(duì)角矩陣中相應(yīng)的特征值k，有 7-10而我們知道，主成份PCk是變量S1 Sn的線性組合，且參數(shù)對(duì)應(yīng)相應(yīng)的特征向量 7-11那么，主成份PCk的方差為 7-12而假設(shè)矩陣是變量S1 Sn的方差

29、-協(xié)方差矩陣，即 7-13我們由7-10，7-12和7-13,顯然有 7-14即特定的主成份的方差就是相應(yīng)的特征值。知道了主成份的方差，由一個(gè)重要的好處，就是我們可以由相應(yīng)的因子載荷，求出點(diǎn)利率變化對(duì)于主成份變動(dòng)的敏感度，這個(gè)敏感度是基于主成份的“多少標(biāo)準(zhǔn)差變動(dòng)，這樣，我們可以防止抽象地講“一個(gè)主成份變動(dòng)是多少，而是去考慮“一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的主成份變動(dòng)會(huì)帶來(lái)多少影響。而以主成因分析法來(lái)研究債券投資組合的風(fēng)險(xiǎn)狀況也需要借助以上的方法，關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，本書(shū)的第14章將會(huì)有詳細(xì)的介紹。主成份奉獻(xiàn)率我們知道，對(duì)于一個(gè)N×N階實(shí)對(duì)稱矩陣N個(gè)初始變量的協(xié)方差矩陣來(lái)說(shuō)，必然可以獲得N個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，

30、而每一個(gè)特征向量都可以組成一個(gè)主成份，也就是說(shuō)，N個(gè)相關(guān)的初始變量被解釋成了N個(gè)獨(dú)立的綜合變量。外表上看，似乎并沒(méi)有降低問(wèn)題的維數(shù)。實(shí)際上，每一個(gè)主成份對(duì)于初始變量的解釋才能或者說(shuō)影響力是不同的，我們事實(shí)上可以忽略掉解釋才能較弱的，也就是方差較小的主成份。由特征值的性質(zhì)可以知道，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值，也就是主成份的方差1，2，n 為，與變量量S1 Sn的方差之間有如下關(guān)系： 7-15即所有主成份的方差之和等于所有初始變量的方差之和。而式7-15的經(jīng)濟(jì)意義在于，主成份實(shí)際上包含了所有點(diǎn)利率變化的信息，而方差越大的主成份，包含的信息就越多，因此我們稱 7-16為第i個(gè)主成份的奉獻(xiàn)率或解釋才能，它反映

31、了第i個(gè)主成份包含了多少所有初始變量的信息。顯然有。通常，我們?cè)趯?duì)角矩陣中是將特征值從大至小沿對(duì)角線排列的，因此我們又稱為前K個(gè)主成份的累計(jì)奉獻(xiàn)率或累計(jì)解釋才能，它反映了最重要的前K個(gè)主成份對(duì)所有初始變量的信息的反映程度。通常情況下，前兩個(gè)或前三個(gè)主成份就可以反映絕大多數(shù)信息通常在95%以上。這樣，在實(shí)際應(yīng)用中我們只需要考慮最重要的2 3個(gè)主成份的變動(dòng)及其影響即可。此外，我們還可以進(jìn)一步考慮某一個(gè)主成份PCK與某一特定點(diǎn)利率變動(dòng)Si的相關(guān)系數(shù)。我們前面已經(jīng)介紹了因子載荷的意義。實(shí)際上，主成份與變量間的相關(guān)系數(shù)也是一種因子負(fù)荷量。我們假設(shè)選取相關(guān)系數(shù)矩陣或標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣作為主成份分析的根底，

32、因子負(fù)荷量記為，有 7-17上式中的pi,K為第K個(gè)特征值k，對(duì)應(yīng)的特征向量的第i個(gè)分量，也就是我們前面一小節(jié)中所說(shuō)的第K個(gè)主成份變動(dòng)一單位引起的Si的變動(dòng)量。7-3主成因分析法：實(shí)證研究與經(jīng)濟(jì)意義美國(guó)國(guó)債收益率曲線的主成因分析為了介紹主成因分析法在應(yīng)用領(lǐng)域中的實(shí)用效果，以及相關(guān)的一些結(jié)論，讓我們來(lái)看一個(gè)例子。如表7-1和表7-2所示，它們分別為美國(guó)國(guó)債即期利率曲線歷史變動(dòng)點(diǎn)利率周變動(dòng)量的方差-協(xié)方差矩陣的主成份、特征值主成份方差、主成份標(biāo)準(zhǔn)差和主成份解釋才能。請(qǐng)讀者注意一點(diǎn)：由于我們的原始數(shù)據(jù)直接以1基點(diǎn)1 Basis Point作為根本單位，因此，在計(jì)算特征值方差和主成份標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，為了表示

33、上的清楚，我們也將數(shù)據(jù)單位表示為1 BP。 表7-1美國(guó)收益率曲線主成份PC1PC2PC3PC4PC5PC6PC7PC83 Months0.28459-0.54194-0.64812-0.36873-0.23151-0.030560.0627030.104066 Months0.36283-0.409420.0619410.452120.462710.526030.0263530.0313481 YR0.3868-0.258690.206630.1895-0.04859-0.56447-0.36598-0.499933 YR0.39335-0.057260.40414-0.03054-0.03

34、045-0.366820.363830.640225 YR0.393640.157380.26814-0.2484-0.378080.371140.43775-0.4629810 YR0.36750.251580.13152-0.37213-0.024540.28805-0.703490.259620 YR0.320850.45616-0.431530.59682-0.36107-0.01757-0.014010.1252630 YR0.300130.41513-0.30769-0.25770.6746-0.219420.20575-0.17589表7-2美國(guó)收益率曲線主成份特征值、標(biāo)準(zhǔn)差和奉

35、獻(xiàn)率PC1PC2PC3PC4PC5PC6PC7PC8特征值 BPs1314.777.85912.6836.51435.28872.64432.35262.1623標(biāo)準(zhǔn)差 BPs36.268.823.562.552.301.631.531.47奉獻(xiàn)率92.31%5.47%0.89%0.46%0.37%0.19%0.17%0.15%首先，我們可以發(fā)現(xiàn)奉獻(xiàn)率最高，也就是方差最大的的第一和第二個(gè)主成份解釋了92.311% + 5.467% = 97.778%的收益率曲線變動(dòng)狀況，而假設(shè)再考慮上第三個(gè)主成份，那么前三個(gè)主成份就可以解釋98.669%的收益率曲線變動(dòng)。可以說(shuō)，這樣的解釋才能已經(jīng)足夠了，我們

36、可以忽略后面5個(gè)影響力微弱的主成份。我們繼續(xù)來(lái)考察主成份對(duì)特定點(diǎn)利率的邊際影響因子載荷，由p1,1 = 0.28459，我們可知，第一主成份每變動(dòng)一個(gè)單位，那么相應(yīng)地，3個(gè)月即期利率將變動(dòng)0.28459單位。但這樣的結(jié)果顯然讓人感到迷惑，因?yàn)槲覀儾⒉荒軠?zhǔn)確地度量抽象的“一單位到底是多少，而且我們也不知道主成份變化“一單位的概率。因此，有必要將主成份中詳細(xì)的因子載荷明確定義，以使我們的主成因分析具有明確的經(jīng)濟(jì)意義。事實(shí)上，我們由上一節(jié)的內(nèi)容已經(jīng)知道，某一點(diǎn)利率對(duì)相應(yīng)主成份的詳細(xì)得因子負(fù)荷量是主成份變動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差乘以相應(yīng)的邊際影響，由此，我們也可以得知點(diǎn)利率變動(dòng)的詳細(xì)數(shù)值。由于我們主成份的在我們上面的例子中，假設(shè)第一主成份發(fā)生1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的變動(dòng)，那么相應(yīng)地，3個(gè)月即期利率的變動(dòng)為10.319個(gè)基點(diǎn)0