第三章時(shí)間序列分析法

1、第三章時(shí)間序列分析方法博克斯詹尼斯預(yù)測(cè)法n概述n分析時(shí)間序列特性的方法工具n時(shí)間序列特性分析n模型及其改進(jìn)n隨機(jī)時(shí)序模型的建立n時(shí)序模型預(yù)測(cè)n預(yù)測(cè)實(shí)例第一節(jié)概述博克斯詹尼斯法，常常稱方法，實(shí)際是一大族模型的總稱，可以分為三種基本的模式：自回歸(Autoregressive)模型，簡(jiǎn)稱模型；移動(dòng)平均(MovingAverage)模型，簡(jiǎn)稱模型；自回歸移動(dòng)平均(AutoregressiveMovingAverage)模型，簡(jiǎn)稱ARMA模型。博克斯詹尼斯法，目前在國(guó)外被譽(yù)稱為時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法中最復(fù)雜最高級(jí)的模型。這種方法實(shí)際上在20世紀(jì)30年代由尤爾(G.U.Yule)和瓦爾德(H.Wold)研究過(guò)

2、。尤爾(G.U.Yule)于1926年第一次提出自回歸模型（AR），維爾克（Walker）于1934年把它加以推廣。后來(lái)，1937年斯盧茨基（Slutzky）第一次使用了移動(dòng)平均模型（MA），1938年瓦爾德(H.Wold)的著作對(duì)AR、MA、ARMA模型的參數(shù)進(jìn)行了分析和估計(jì)，并應(yīng)用到時(shí)間序列的季節(jié)分析上，為混合自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)方法奠定了理論基礎(chǔ)，并把ARMA模型看成為一種最有實(shí)用價(jià)值的預(yù)測(cè)方法，但是由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，研究沒(méi)有進(jìn)展。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用，美國(guó)威斯康辛大學(xué)的博克斯（G.E.P.Box）和英國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家詹尼斯法(G.m.Jenkins)又開(kāi)始了這一研究，1970年二

3、位學(xué)者將各種模型有機(jī)地組合在一起，使之成為一種綜合的預(yù)測(cè)方法，研究成果發(fā)表后，這種時(shí)序分析和預(yù)測(cè)方法受到了人們的重視和實(shí)際應(yīng)用，并因此得以用這二位學(xué)者的名字命名。一、方法的基本思想n1、博克斯詹尼斯法的應(yīng)用條件、博克斯詹尼斯法的應(yīng)用條件n運(yùn)用博克斯詹尼斯法的前提條件是，用來(lái)建立模型的時(shí)間序列應(yīng)該是一個(gè)零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。即模型只適用于對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列的描述。平穩(wěn)時(shí)間序列屬于一種特殊的隨機(jī)過(guò)程。（1）隨機(jī)過(guò)程）隨機(jī)過(guò)程依賴于時(shí)間的隨機(jī)變量族構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程。其中，一般而言，指標(biāo)集取連續(xù)變化范圍，對(duì)于每個(gè)固定的時(shí)刻，是一個(gè)普通的隨機(jī)變量，對(duì)于的隨機(jī)變量全體，就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。簡(jiǎn)單理解，隨機(jī)過(guò)程就是一

4、族隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量。當(dāng)-2，-1，0，1，2，時(shí)，是離散值的隨機(jī)函數(shù)，通常稱為隨機(jī)時(shí)序。由于指標(biāo)集常表示時(shí)間，所以此類隨機(jī)時(shí)序也稱為時(shí)間序列。),(TttxTt)(txTttT)(txt（2）平穩(wěn)時(shí)間序列）平穩(wěn)時(shí)間序列平穩(wěn)時(shí)間序列，簡(jiǎn)單地說(shuō)，平穩(wěn)性就是一個(gè)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，其統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化。統(tǒng)計(jì)特性是用概率分布來(lái)描述的。如果時(shí)間序列的任意有窮維分布具有如下的性質(zhì)：tx),(),(21,21,2121ntttntttxxxFxxxFrnrrn其中，是任意整數(shù)，稱為完全平穩(wěn)時(shí)序。ntttrn,21tx完全平穩(wěn)序列的概率結(jié)構(gòu)對(duì)時(shí)間原點(diǎn)的平移保持不變，即()和()具有完全相同的聯(lián)合概率分

5、布。平穩(wěn)序列又有兩種情況，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)。nttxx ,1rnrttxx1（3）嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)）嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)即完全平穩(wěn)，該條件是非?？量痰?，因?yàn)?，任意有窮維分布族決定了隨機(jī)序列的全部統(tǒng)計(jì)特性。但同時(shí)，對(duì)于隨機(jī)序列而言，任意有窮維分布族決定了隨機(jī)序列的全部統(tǒng)計(jì)特性，也不便于分析和使用，因此希望給出不象完全平穩(wěn)那樣強(qiáng)的平穩(wěn)條件。如果減弱條件，不再要求()和()的分布完全相同，只要求二者分布的主要參數(shù)特征相同，譬如，只要求直到某階的矩函數(shù)相同，這就引出實(shí)際應(yīng)用中通常使用的階平穩(wěn)性的概念。nttxx ,1rnrttxx1m2、博克斯詹尼斯法的基本思想、博克斯詹尼斯法的基本思想用博克斯詹尼斯法的

6、基本思想則是：除極個(gè)別的情況外，幾乎所有的時(shí)間序列中按照時(shí)間順序排列的觀察值之間具有依賴關(guān)系或自相關(guān)性，這種自相關(guān)性體現(xiàn)了變量發(fā)展的延續(xù)性，所以，一旦時(shí)間序列的這種自相關(guān)性被各種方式用定量的方法描述出來(lái)，就可以根據(jù)時(shí)間序列的過(guò)去值預(yù)測(cè)其將來(lái)值。為此，根據(jù)隨時(shí)間變化而又互相關(guān)聯(lián)的數(shù)字序列，用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型加以近似描述。并通過(guò)對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)模型的分析研究，認(rèn)識(shí)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)內(nèi)在結(jié)構(gòu)和復(fù)雜特性，從而達(dá)到最小方差意義下的最佳預(yù)測(cè)。二、方法的基本模型 1、一般形式、一般形式 根據(jù)多元回歸分析預(yù)方法我們知道，如果預(yù)測(cè)對(duì)象的影響因素有多個(gè)，并且各個(gè)影響因素之間相互獨(dú)立，可以建立的多元線性回歸模型為：三、方法的基本分析

7、程序第二節(jié)分析時(shí)間序列特性的方法工具n自相關(guān)n自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布n偏自相關(guān)n相關(guān)分析圖運(yùn)用博克斯詹尼斯法建立模型，首先需要熟悉模型的種類以及每一種模型的特性，同時(shí)也必須要掌握所分析的時(shí)間序列的特性，通過(guò)時(shí)間序列的特性與模型特性的比較，才可以選擇比較適當(dāng)?shù)哪Ｐ?。這里先介紹分析時(shí)間序列特性的方法。分析時(shí)間序列特性最有效的工具就是自相關(guān)分析。一、自相關(guān)nttnktkttkYYYYYYr121根據(jù)公式有，1016 .11101tiYY二、自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布三、偏自相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算公式：，kk11krkk11, 111, 11kjjjkkjjkjkkrrr, 3 , 2kjkkkkjkjk, 1,

8、1, 3 , 2k1, 2 , 1kj四、相關(guān)分析圖為了方便對(duì)時(shí)間序列的特性進(jìn)行分析，以及進(jìn)行時(shí)間序列模型進(jìn)行識(shí)別，常常將時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)，偏自相關(guān)系數(shù)繪制成圖，并標(biāo)出一定的置信區(qū)間，被稱為相關(guān)分析圖。利用SPSS軟件計(jì)算自相關(guān)系數(shù)、偏相關(guān)系數(shù)以及繪制相關(guān)分析圖的主要步驟如下：1、錄入數(shù)據(jù)。這里以某省國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值指數(shù)為例。2、點(diǎn)擊工具“Graphs”“Timeseries”“Autocorrelations”，得如下對(duì)話框，3、在“variables”中輸入“gdpi”，滯后期數(shù)在“Options”中輸入，并對(duì)顯示結(jié)果項(xiàng)以及數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換項(xiàng)作出選擇。滯后期的選擇，點(diǎn)擊“Options”，輸入16

9、，點(diǎn)擊“Continue”。4、“ok”得結(jié)果如下：自相關(guān)系數(shù)及自相關(guān)圖圖中左邊為相關(guān)系數(shù)，右邊為相關(guān)系數(shù)圖。偏自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)圖圖中左邊為相關(guān)系數(shù)，右邊為相關(guān)系數(shù)圖。由自相關(guān)系數(shù)圖可以看出，有兩個(gè)自相關(guān)系數(shù)落在了隨機(jī)區(qū)間外，所以該序列為非純隨機(jī)序列。第三節(jié)時(shí)間序列特性分析n隨機(jī)性的測(cè)定n平穩(wěn)性的測(cè)定n時(shí)間序列的季節(jié)性博克斯詹尼斯法建立模型，要根據(jù)所分析的時(shí)間序列的特性與模型特性的比較，才可以選擇比較適當(dāng)?shù)哪Ｐ?。這里我們利用時(shí)間序列特性分析工具，具體來(lái)分析時(shí)間序列特性。時(shí)間序列的特性是指時(shí)間序列的隨機(jī)性、平穩(wěn)性、季節(jié)性。根據(jù)時(shí)間序列特性配合相應(yīng)的模型一、隨機(jī)性的測(cè)定n隨機(jī)性的涵義。時(shí)間序列

10、的隨機(jī)性就是指時(shí)間序列各項(xiàng)之間沒(méi)有任何相關(guān)關(guān)系的特性。測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性的目的在于判定該時(shí)間序列的是否為純隨機(jī)序列，即由一列隨機(jī)數(shù)字構(gòu)成的時(shí)間序列。直到目前，純隨機(jī)序列是無(wú)法建立模型的。n測(cè)定工具與原則。時(shí)間序列分析中測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性主要運(yùn)用的是自相關(guān)系數(shù)及自相關(guān)分析圖。測(cè)定的原則是，如果時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)基本都落入隨機(jī)區(qū)間內(nèi)，則該時(shí)序?yàn)榧冸S機(jī)序列；有較多自相關(guān)系數(shù)落入隨機(jī)區(qū)間外，時(shí)序就是非純隨機(jī)序列。如下圖就是一個(gè)純隨機(jī)序列的自相關(guān)系數(shù)圖，而第二節(jié)中的自相關(guān)系數(shù)圖則表明的為非純隨機(jī)序列。3、時(shí)間序列的隨機(jī)性在方法中的應(yīng)用。測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性在方法中主要是在建模后鑒定殘差序列（原始序

11、列與預(yù)測(cè)模型之間的誤差序列）的隨機(jī)性，以便鑒定所建立的模型是否適合于預(yù)測(cè)。二、平穩(wěn)性的測(cè)定而下圖，則為非平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)圖3、時(shí)間序列平穩(wěn)性在方法中的應(yīng)用。在方法中，只有平穩(wěn)時(shí)間序列才能直接建立模型，因此判定時(shí)間序列的平穩(wěn)性是應(yīng)用方法的第一步。4、對(duì)時(shí)間序列非平穩(wěn)性的消除?，F(xiàn)實(shí)生活中，真正平穩(wěn)的時(shí)間序列是不多的，而非平穩(wěn)性的時(shí)間序列又不可以直接建立模型，為此需要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，在方法中，改進(jìn)后的模型是可以適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列的，但是卻要求該時(shí)間序列能夠通過(guò)處理達(dá)到平穩(wěn)化。這種處理就是對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分。差分可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列非平穩(wěn)性的消除。非平穩(wěn)性能夠消除的時(shí)間序列稱為齊次非平穩(wěn)時(shí)間序列

12、。對(duì)上述非平穩(wěn)的序列進(jìn)行一階差分由于自相關(guān)系數(shù)在=1后，基本都落入的隨機(jī)區(qū)間，所以，經(jīng)過(guò)一階差分后，序列變換為平穩(wěn)序列。k三、時(shí)間序列的季節(jié)性三、時(shí)間序列的季節(jié)性n季節(jié)性的涵義。時(shí)間序列的季節(jié)性是指在某一個(gè)固定時(shí)間間隔上（如根據(jù)季節(jié)間隔），重復(fù)出現(xiàn)的某種特性。n季節(jié)性的測(cè)定工具與原則。對(duì)于時(shí)間序列季節(jié)性的測(cè)定原則是，如果一個(gè)月度或季度的時(shí)間序列無(wú)明顯趨勢(shì)性，它的自相關(guān)系數(shù)在時(shí)滯=12,24,36,48時(shí)與0有顯著不同，則時(shí)間序列存在著季節(jié)性，相反，若與0無(wú)顯著不同，則說(shuō)明時(shí)間序列不存在季節(jié)性。如果時(shí)間序列存在著明顯的趨勢(shì)變化，則先進(jìn)行差分從原始序列中剔除長(zhǎng)期趨勢(shì)后，再利用上述原則測(cè)定時(shí)間序列的

13、季節(jié)性。n例如顯然，在=1，12，24處自相關(guān)系數(shù)顯然都存在著不顯著為0，說(shuō)明序列存在季節(jié)性。k第四節(jié)模型及其改進(jìn)n序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)n（p，q）模型的改進(jìn)在上一節(jié)，我們討論了時(shí)間序列的特性，在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步探討博克斯詹尼斯法中，各種模型的特征，以便通過(guò)數(shù)據(jù)、模型特征兩方面的比較，進(jìn)行模型的識(shí)別。一、ARMA序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)qkqkrqqkqkkk0112222111MA（1）序列自相關(guān)函數(shù)圖MA（2）序列自相關(guān)函數(shù)圖MA（q）序列偏自相關(guān)函數(shù)圖（p）序列自相關(guān)函數(shù)圖（1）序列偏自相關(guān)函數(shù)圖（2）序列偏自相關(guān)函數(shù)圖（p）序列自相關(guān)函數(shù)的拖尾性，以及偏自相關(guān)函數(shù)截尾性，在

14、博克斯詹尼斯法中也非常的重要，可以用于模型的識(shí)別，以及利用樣本偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性識(shí)別自回歸過(guò)程的階數(shù)。ARMA（1，1）序列自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)圖二、（p，q）模型的改進(jìn)n（p,d,q）模型n（p,d,q）（，）模型第五節(jié)隨機(jī)時(shí)序模型的建立一、模型識(shí)別一、模型識(shí)別參數(shù)估計(jì)n參數(shù)的初步估計(jì)n初步估計(jì)就是要設(shè)法找到參數(shù)的初始估計(jì)值。一般是利用序列的樣本自相關(guān)函數(shù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行初步估計(jì)或確定初始值（這種方法又簡(jiǎn)稱為矩估計(jì)法）。n參數(shù)的精確估計(jì)tptptttteYYYY2211kttktptptkttkttkttYeYYYYYYYY2211兩邊取均值)()()()()(2211kttktptptktt

15、kttkttYeEYYEYYEYYEYYEpkptkkk2211pkptkkkrrrr2211ptppppptpptrrrrrrrrr22112211211211這是著名的Yule-Walker方程，系數(shù)矩陣為自相關(guān)系數(shù)矩陣組成。于是有pppppprrrrrrrrr21121211121111 （3）ARMA模型參數(shù)的初步估計(jì)模型參數(shù)的初步估計(jì)ARMR參數(shù)的初步估計(jì)要比前述兩種模型參數(shù)的初步估計(jì)更為復(fù)雜。為此，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，建立ARMR時(shí)，不再進(jìn)行初步估計(jì)，而是直接選擇某一組初始值，直接進(jìn)行精確估計(jì)。 2、模型參數(shù)的精確估計(jì)、模型參數(shù)的精確估計(jì)模型參數(shù)的精確估計(jì)是在初步估計(jì)的基礎(chǔ)上，依據(jù)一定的

16、估計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行的參數(shù)估計(jì)。ARMA模型參數(shù)估計(jì)最常用的準(zhǔn)則是最小二乘法準(zhǔn)則和極大似然估計(jì)準(zhǔn)則。其中，又以應(yīng)用最小二乘法的準(zhǔn)則居多。對(duì)于AR模型，應(yīng)用最小二乘法準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)的精確估計(jì)時(shí)，類似于多元線性回歸模型參數(shù)估計(jì)的最小二乘法，主要采用的是線性最小二乘法估計(jì)方法。對(duì)于MA模型以及ARMA模型，應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)則有所不同，只能采用非線性最小二乘法估計(jì)，其計(jì)算步驟是，從被估計(jì)參數(shù)的一組初始值出發(fā)，使參數(shù)依某種規(guī)律沿著殘差平方和減少的方向變化，得到平方和較小的點(diǎn)，再以此為新的出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行下一步的迭代，這種迭代一直進(jìn)行到滿足預(yù)先給定的精度下，平方和不能再下降為止。在運(yùn)用非線性最小二乘法估計(jì)準(zhǔn)則時(shí)，依據(jù)不同的函數(shù)類型，有不同的迭代方法，主要有：最速下降法，高斯牛頓法和阻尼最小二乘法。 3、運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)的主要方法、運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)的主要方法(1)運(yùn)用SPSS軟件進(jìn)行ARMA模型參數(shù)的估計(jì)首先：錄入數(shù)據(jù)。其次：點(diǎn)擊StatisticsTimeSe