高考數(shù)學平面向量

1、高三一輪復習講座五 -平面向量主講教師：王思儉 （蘇州中學）二、復習要求1、 向量的概念； 2、向量的線性運算：即向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積等的定義，運算律；3、向量運算的運用三、學習指導 1、向量是數(shù)形結合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。向量運算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實數(shù)與向量乘積的幾何意義共線；定比分點基本圖形起點相同的三個向量終點共線等。2、 向量的三種線性運算及運算的三種形式。向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)

2、量積都稱為向量的線性運算，前兩者的結果是向量，兩個向量數(shù)量積的結果是數(shù)量。每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內容列表如下：運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=實數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積·=|cos<,>記=(x1,y1), =(x2,y2)則·=x1x2+y1y23、 運算律加法：+=+，(+)+=+(+)實數(shù)與向量的乘積：(+)=+；(+)=+，()=() 兩個向量的數(shù)量積：·

3、=·；()·=·()=(·)，(+)·=·+·說明：根據向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質可以簡化向量的運算，例如(±)2=4、 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任一向量，有且只有一對數(shù)數(shù)1，2，滿足=1+2，稱1+2為，的線性組合。根據平面向量基本定理，任一向量與有序數(shù)對(1,2)一一對應，稱(1,2)為在基底，下的坐標，當取，為單位正交基底，時定義(1，2)為向量的平面直角坐標。向量坐標與點坐標的

4、關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)（2）兩個向量平行的充要條件符號語言：若，則=坐標語言為：設=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實數(shù)是唯一存在的，當與同向時，>0；當與異向時，<0。|=，的大小由及的大小確定。因此，當，確定時，的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中的幾何意義。 （3）兩個向量垂直的充要條件符號語言：·=0坐標語

5、言：設=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0（4）線段定比分點公式如圖，設則定比分點向量式：定比分點坐標式：設P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）則特例：當=1時，就得到中點公式：，實際上，對于起點相同，終點共線三個向量，（O與P1P2不共線），總有=u+v，u+v=1，即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量，且系數(shù)和為1。 （5）平移公式： 點平移公式，如果點P（x，y）按=（h，k）平移至P（x，y），則分別稱（x，y），（x，y）為舊、新坐標，為平移法則在點P新、舊坐標及平移法則三組坐標中，已知兩組坐標，一定可以求第三組坐標圖形平移：設曲線

6、C：y=f(x)按=（h，k）平移，則平移后曲線C對應的解析式為y-k=f(x-h)當h，k中有一個為零時，就是前面已經研究過的左右及上下移利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質 （6）正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosAb2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc定理變形：cosA=，cosB=，cosC=正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本，理解用向量法推導正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的數(shù)學概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角

7、坐標系的引入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點。四、典型例題例1、如圖，為單位向量，與夾角為1200，與的夾角為450，|=5，用，表示。分析：以，為鄰邊，為對角線構造平行四邊形把向量在，方向上進行分解，如圖，設=，=，>0，>0則=+ |=|=1=|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得：說明：用若干個向量的線性組合表示一個向量，是向量中的基本而又重要的問題，通常通過構造平行四邊形來處理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。分析：用解方程組思想設D（x，y），則=（x-2，y+1）=（-6，-3），

8、·=0 -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0=(x-3，y-2)，-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標。 分析：用解方程組思想法一：設=（x，y），則·=x-y，·=x+y<，>=<，>即又|=x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：從分析形的特征著手 |=|=2·=0AOB為等腰直角三角形，如圖 |=，AOC=BOC C為AB中點 C（）說明：數(shù)形結合是學好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質可以簡化

9、計算。例4、在OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使|=13，|=14，設線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量。分析： B、P、M共線 記=s同理，記=,不共線 由得解之得：說明：從點共線轉化為向量共線，進而引入參數(shù)（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質得到關于s，t的方程。例5、已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點（1） 利用向量知識判定點P在什么位置時，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點共圓。分析：利用坐標系可以確定點P位置如圖，建立平面直角坐標系則C（2，0），

10、D（2，3），E（1，0）設P（0，y）=（1，3），=（-1，y）·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 點P為靠近點A的AB三等分處（3） 當PED=450時，由（1）知P（0，2）=（2，1），=（-1，2）·=0DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四點共圓說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：建立平面直角坐標系；設點的坐標；求出有關向量的坐標；利用向量的運算計算結果；得到結論。同步練習（一） 選擇題1、 平面內三點A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若，則x的值為：A、 -5 B、-1 C、1 D、5 2、平面上A（-2，1），B（

11、1，4），D（4，-3），C點滿足，連DC并延長至E，使|=|，則點E坐標為：A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）2、 點（2，-1）沿向量平移到（-2，1），則點（-2，1）沿平移到：3、 A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）4、 ABC中，2cosB·sinC=sinA，則此三角形是：A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等邊三角形 D、以上均有可能5、 設， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：(·)-(·)=0|-|<|-|(·)-(·)不與垂直(3+2)

12、3;(3-2)=9|2-4|2中，真命題是：A、 B、 C、 D、6、ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，則C度數(shù)是：A、600 B、450或1350 C、1200 D、3007、OAB中，=，=，=，若=，tR，則點P在A、AOB平分線所在直線上 B、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上 D、AB邊的中線上8、正方形PQRS對角線交點為M，坐標原點O不在正方形內部，且=（0，3），=（4，0），則=A、（） B、（） C、（7，4） D、（）（二） 填空題 9、已知，|是平面上一個基底，若=+，=-2-，若，共線，則=_。10、已知|=，|=1，·=-9，則與的夾角是_。11、設，是兩個單位向量，它們夾角為600，則(2-)·(-3+2)=_。12、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移，得到函數(shù)_的圖象。（三） 解答題13、設=（3，1），=（-1，2），試求滿足+=的的坐標，其中O