人教小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)疑難問(wèn)題解答

1、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)疑難問(wèn)題解答一、教材第20頁(yè)提到“0也是自然數(shù)，最小的自然數(shù)是0”，這與九年義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的說(shuō)法不一致。為什么要做出這樣的改動(dòng)？從歷史上看，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界對(duì)于自然數(shù)的定義一直存在著兩種觀點(diǎn)。一種觀點(diǎn)認(rèn)為0不是自然數(shù)。例如, 意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾于1889年提出了一組刻畫自然數(shù)特征的公理，包括以下五條：（1）1是自然數(shù)。（2）任一自然數(shù)都有唯一自然數(shù)為其后繼數(shù)。（3）沒有兩個(gè)相異的自然數(shù)有同一后繼數(shù)。（4）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。（5）如果1具有性質(zhì)P，且任何具有性質(zhì)P的自然數(shù)其后繼數(shù)也具有性質(zhì)P，則一切自然數(shù)都具有性質(zhì)P。從這組公理可以清楚地看到，皮亞諾把0劃歸

2、在自然數(shù)之外的。再如，上海辭書出版社出版的辭海（1999年版）把自然數(shù)解釋為：在人類歷史發(fā)展的最初階段，由于計(jì)量的需要，用以表示個(gè)數(shù)的數(shù)目。首先有數(shù)目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，統(tǒng)稱為“自然數(shù)”。建國(guó)以來(lái)，我國(guó)的中小學(xué)教材一直采用自然數(shù)的這種定義，用N=1，2，3，4，5，來(lái)表示自然數(shù)集，而用N*=0，1，2，3，4，5，表示擴(kuò)展的自然數(shù)集。還有一種觀點(diǎn)把0劃歸為自然數(shù)的范疇。例如，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有很大影響的法國(guó)布爾巴基學(xué)派的數(shù)學(xué)原本中，從集合論的角度，把0作為空集的基數(shù)，這樣，所有有限集合的基數(shù)就都可以用自然數(shù)來(lái)刻畫了。目前，國(guó)際上大多數(shù)國(guó)家也把0納入自然數(shù)集中。為了國(guó)際交流的方便

3、，國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局于1993年12月27日發(fā)布的中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（GB31003102-93）量和單位第311頁(yè)，就已經(jīng)規(guī)定自然數(shù)集N=0，1，2，3，。在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典2005年6月第5版中也把自然數(shù)定義成：零和大于零的整數(shù)，即0，1，2，3，4，5，。根據(jù)上述原因，教材研究編寫人員在對(duì)原九年義務(wù)教育教材進(jìn)行修訂和編寫課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材時(shí)，依據(jù)有關(guān)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)自然數(shù)的定義進(jìn)行了修改，規(guī)定0屬于自然數(shù)。二、對(duì)于億這樣比較大的計(jì)數(shù)單位，怎樣幫助學(xué)生建立相應(yīng)的數(shù)感？新課標(biāo)非常強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教材中也在相關(guān)的單元編入了大量幫助學(xué)生建立數(shù)感的素材。例如，在認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)、100以內(nèi)的數(shù)時(shí)，教材就

4、注意通過(guò)估一估、數(shù)一數(shù)等活動(dòng)幫助學(xué)生形成對(duì)十、百等數(shù)量大小的感覺。但是，對(duì)于一些比較大的計(jì)數(shù)單位（如萬(wàn)、億），如何建立相應(yīng)的數(shù)感？確實(shí)成為教師們教學(xué)中的困惑。首先要說(shuō)明一點(diǎn)，為了敘述方便，這兒所講的數(shù)感僅僅指對(duì)一個(gè)數(shù)量相對(duì)大小的感覺（事實(shí)上，數(shù)感有著更豐富的內(nèi)涵，指的是關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)、數(shù)量關(guān)系等方面的感悟）。 數(shù)感的培養(yǎng)不是一兩堂課就能達(dá)到目標(biāo)的。因此，在日常教學(xué)中，需要時(shí)時(shí)處處進(jìn)行這方面的滲透，不斷積累這方面的經(jīng)驗(yàn)。例如，為了幫助學(xué)生形成對(duì)100這個(gè)數(shù)的感覺，教師可以通過(guò)讓學(xué)生看百羊圖、數(shù)100?；ㄉ?shù)100根小棒、估計(jì)一堆水果的數(shù)量等活動(dòng)，

5、來(lái)建立相應(yīng)的數(shù)感。由上面的例子也可以看出，數(shù)感的培養(yǎng)不可能是一個(gè)抽象的過(guò)程?？辗旱刈寣W(xué)生說(shuō)一說(shuō)“1萬(wàn)有多大？1億有多大？”并沒有太大的意義，應(yīng)該借助大量的生活經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生感受某種具體事物某個(gè)數(shù)量的相對(duì)大小。即便是借助直觀的物體，學(xué)生也未必能建立起很好的數(shù)感。例如，我們可以讓學(xué)生觀察一個(gè)由1000（10×10×10）個(gè)小正方體組成的大正方體，感受1千有多大，也可以讓他們看十個(gè)這樣的正方體，感受1萬(wàn)有多大，但如果想通過(guò)同樣的方式來(lái)建立1億的數(shù)感，恐怕在操作層面上是難以實(shí)行的。要建立1億的數(shù)感，需要發(fā)揮學(xué)生的想像力，憑借生活經(jīng)驗(yàn)，形成一種大致的感覺就可以了，教學(xué)時(shí)要求不宜過(guò)高。

6、教材中提供了一些幫助學(xué)生建立數(shù)感的范例，教學(xué)時(shí)可以參考借鑒。例如，第12頁(yè)的第15題，讓學(xué)生通過(guò)一些數(shù)學(xué)策略和生活經(jīng)驗(yàn)判斷某個(gè)數(shù)據(jù)信息的合理性，就是一種很好的建立數(shù)感的方式。再如，第4頁(yè)的“你知道嗎”以及第33頁(yè)的“1億有多大”，都是借助一些具體活動(dòng)，通過(guò)計(jì)算，幫助學(xué)生感受1億的相對(duì)大小。但要感受1億，并不像較小的計(jì)數(shù)單位那樣，僅僅憑用眼看、用手摸等直觀活動(dòng)就能達(dá)到目的，還需要學(xué)生能更好地利用數(shù)學(xué)工具，同時(shí)，要具備很好的長(zhǎng)度觀念、質(zhì)量觀念、時(shí)間觀念，更需要學(xué)生有較強(qiáng)的想像能力，所有這些，都可以輔助學(xué)生較好地建立1億的數(shù)感。例如，1億名小學(xué)生手拉手可以繞地球赤道3圈半，學(xué)生雖然不可能對(duì)地球赤道的

7、長(zhǎng)度有親身體驗(yàn)，但可以利用想像和簡(jiǎn)單的科學(xué)知識(shí)，進(jìn)行粗略的感受。除了教材上提供的這些素材以外，教師還可以充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，讓學(xué)生自行選擇素材，設(shè)計(jì)各種活動(dòng)，感受豐富多樣的“1億”，如：一億名小學(xué)生站在一起，占地面積大約是多少；1億粒大米有多少；1億粒黃豆有多少；1億滴水有多少；等等三、教材中介紹了計(jì)算器的使用，但實(shí)際教學(xué)中一般不允許使用計(jì)算器，應(yīng)如何處理這一矛盾？隨著經(jīng)濟(jì)、科技的快速發(fā)展，計(jì)算器、計(jì)算機(jī)在生活中的使用越來(lái)越廣泛。對(duì)于社會(huì)生活中一些大數(shù)目、多步驟的復(fù)雜計(jì)算，紙筆運(yùn)算、珠算等顯然已經(jīng)不能完全滿足新的要求，需要有更先進(jìn)的計(jì)算工具來(lái)代替。因此，計(jì)算器乃至計(jì)算機(jī)的使用已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)

8、公民的一項(xiàng)基本技能要求，在小學(xué)階段要求學(xué)生學(xué)會(huì)使用計(jì)算器，是符合社會(huì)發(fā)展的要求的。新課標(biāo)在第二學(xué)段中明確要求學(xué)生：“能借助計(jì)算器進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，探索簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律?！备鶕?jù)社會(huì)的發(fā)展?fàn)顩r和課標(biāo)的精神，教科書中除了介紹計(jì)算器的基本使用方法以外，還編入了一些利用計(jì)算器探索數(shù)學(xué)規(guī)律的習(xí)題。與此同時(shí)，我們也應(yīng)看到，在小學(xué)階段，學(xué)生的主要任務(wù)是較好地掌握口算、筆算、估算技能。在此次小學(xué)數(shù)學(xué)課程和教材改革中，雖然刪去了大量的數(shù)目較大、步驟較多的計(jì)算內(nèi)容，計(jì)算要求也相應(yīng)降低，但是值得注意的是，基本的計(jì)算能力仍然要求學(xué)生熟練掌握，這一點(diǎn)不會(huì)因?yàn)榻滩闹幸胗?jì)算器而有所改變。學(xué)生對(duì)四則運(yùn)算的意

9、義、算理、算法的理解和掌握，仍然是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。因此，要求學(xué)生熟練掌握口算、筆算、估算技能與學(xué)習(xí)使用計(jì)算器不是對(duì)立的，而應(yīng)該和諧統(tǒng)一、互為促進(jìn)。 在計(jì)算教學(xué)中，首先要使學(xué)生學(xué)會(huì)判斷何時(shí)使用口算，何時(shí)使用筆算，何時(shí)使用估算就足夠了，何時(shí)又最好使用計(jì)算器。根據(jù)不同的情境、不同的要求，選擇合適的算法，是對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的基本要求。試想一下，學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算器以后，如果面對(duì)6×7這樣的簡(jiǎn)單計(jì)算也用計(jì)算器去計(jì)算，我們?cè)撊绾卧u(píng)價(jià)其計(jì)算能力呢？但如果碰到的是像3284×2367.7這樣的計(jì)算，又何必為難學(xué)生，非得要求他們用筆算呢？我們認(rèn)為除了學(xué)習(xí)基本的按鍵方法以外，學(xué)生可以在以

10、下情況使用計(jì)算器：計(jì)算涉及到的數(shù)目較大，計(jì)算涉及的步數(shù)較多，驗(yàn)算（要求筆算驗(yàn)算的除外），利用計(jì)算器探索和驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)然，計(jì)算器不是萬(wàn)能的。有時(shí)對(duì)于一些特殊的題目，如1998+1999+2000+2001+2002，運(yùn)用巧妙的簡(jiǎn)算方法，速度更快，準(zhǔn)確率更高。再如，有時(shí)由于按鍵失誤，反而引起錯(cuò)誤，此時(shí)利用口算、估算的技能，也可以幫助驗(yàn)證計(jì)算器計(jì)算的準(zhǔn)確性，如計(jì)算325×125，如果積的個(gè)位不是5，就可以判斷一定是按錯(cuò)鍵了。因此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，要避免兩種極端的做法。一是因?yàn)榻滩闹芯幦肓擞?jì)算器的內(nèi)容，一遇計(jì)算就使用計(jì)算器，使得學(xué)生的口算、筆算能力大幅滑坡。二是怕學(xué)生養(yǎng)成對(duì)計(jì)算器過(guò)分

11、依賴的壞習(xí)慣，索性就不教學(xué)生使用計(jì)算器，這種諱疾忌醫(yī)的做法也是沒有必要的。關(guān)鍵是在教學(xué)中根據(jù)具體情況靈活把握尺度，既要保證學(xué)生的基本計(jì)算能力得以牢固掌握，又要使學(xué)生掌握先進(jìn)的計(jì)算工具，在一個(gè)信息化的時(shí)代，這種技能的培養(yǎng)也是不可或缺的。四、教材第60頁(yè)的問(wèn)題解決中，運(yùn)用了乘法估算，并把兩種估算方法加以比較。估算方法有好壞之分嗎？應(yīng)怎樣展開估算教學(xué)？估算能力是學(xué)生計(jì)算能力中很重要的一個(gè)方面，新課改中加大了估算內(nèi)容的比重，這也是符合各國(guó)數(shù)學(xué)課改的潮流的。 估算的功能分為兩方面，一是數(shù)學(xué)上的功能，例如培養(yǎng)數(shù)感（如判斷24×12=2408計(jì)算結(jié)果的合理性），為精確計(jì)算作準(zhǔn)備（如要計(jì)算

12、492÷12時(shí)，往往先用480÷10或490÷10或500÷10來(lái)試商）。二是估算在生活中的應(yīng)用，當(dāng)無(wú)法精確計(jì)算或沒有必要精確計(jì)算時(shí)，有時(shí)用估算也能解決問(wèn)題。下面談的主要是第二種情況。在進(jìn)行估算教學(xué)時(shí)，可以從以下幾方面去思考，以供參考。一、估算意識(shí)與估算技能的培養(yǎng)同樣重要，前者的重要性有時(shí)甚至超過(guò)后者。過(guò)去的教學(xué)中，教師往往把更多的注意力放在“如何估算”上，例如，先用“四舍五入法”求出算式中的近似數(shù)，再對(duì)近似數(shù)進(jìn)行精確計(jì)算，這樣，估算就變成了一種僵化的固定的方法。對(duì)于“為什么要估算”，過(guò)去關(guān)注得比較少。實(shí)際上，學(xué)生能否根據(jù)不同的情境靈活選擇合適的算法，是

13、考查其解決問(wèn)題能力的重要方面。對(duì)面對(duì)一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清甚至殘缺的問(wèn)題情境時(shí)，有的學(xué)生束手無(wú)策，因?yàn)閿?shù)據(jù)不完整，無(wú)法精確計(jì)算，但有的學(xué)生卻能利用已有信息，靈活運(yùn)用估算策略，把問(wèn)題解決，這就反映出兩類學(xué)生不同層次的解決問(wèn)題水平。二、估算策略的靈活性問(wèn)題。上面已經(jīng)談到，過(guò)去教學(xué)估算，策略往往是唯一的、固定的，但實(shí)際生活中解決一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，常常是“條條大路通羅馬”，選擇何種估算策略，并沒有一定之規(guī)。例如，要解決這樣一個(gè)問(wèn)題：“燕鷗每天飛735千米，從北極到南極行程17000米，20天能飛到嗎？”可以把735看成750，也可以把735看成800，都能達(dá)到解決問(wèn)題的目的。三、估算策略的有效性問(wèn)題。抽象地討

14、論估算方法的優(yōu)劣似乎意義不大，因?yàn)榕袛鄡?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)本身就不好定。但對(duì)于一個(gè)具體的問(wèn)題情境而言，這種討論還是有必要的。要判斷某種估算策略是否合理，其標(biāo)準(zhǔn)就是利用該策略能否解決該問(wèn)題。就拿教材第60頁(yè)例5來(lái)說(shuō)，第一種解法是典型的“四舍五入”的估算方法，但在這兒卻對(duì)解決問(wèn)題無(wú)效，因?yàn)榘岩粋€(gè)因數(shù)估小了，另一個(gè)因數(shù)估大了，不能把最后的估算結(jié)果5000作為解決問(wèn)題的依據(jù)。第二種解法是把兩個(gè)因數(shù)都估大了，估算出要準(zhǔn)備5500元錢，一定能解決問(wèn)題。四、要明確一點(diǎn)，估算不是萬(wàn)能的。有時(shí)候，某種估算策略能在某一問(wèn)題情境中加以應(yīng)用，是因?yàn)闊o(wú)需利用精確計(jì)算就可解決該問(wèn)題。但有的時(shí)候，用若干估算策略仍然不能解決問(wèn)題，說(shuō)明

15、該問(wèn)題僅用估算是不夠的，必須進(jìn)行精確計(jì)算。例如，要解決這樣一個(gè)問(wèn)題：“89個(gè)同學(xué)去公園，門票9元一張，帶800元夠嗎？”如果把89估成90，90×9=810，如果把9估成10，89×10=890，如果把89估成80，80×9=720，這三種策略都不能很好地解決這個(gè)問(wèn)題。在這種時(shí)候，說(shuō)明用估算不足以解決問(wèn)題，要精確計(jì)算?？傊诮鉀Q某一具體問(wèn)題時(shí)，可能存在多種可用的估算策略，也可能用任何一種估算策略都不能解決問(wèn)題。估算策略是否可用，完全是視問(wèn)題情境（包括其中的數(shù)據(jù)）靈活而定，在某一情境中適用的策略，在另一情境中不一定適用。五、如何理解教材第114頁(yè)“做一做”第1題中

16、的優(yōu)化問(wèn)題？關(guān)于飯館做菜問(wèn)題，我們可以從兩方面來(lái)談優(yōu)化的問(wèn)題。一是讓顧客等待的時(shí)間問(wèn)題，二是飯館的客流問(wèn)題。我們可以用一個(gè)最簡(jiǎn)單的模型來(lái)描述教材上所描述的問(wèn)題。共有兩個(gè)廚師，三位顧客，每位顧客點(diǎn)兩個(gè)菜。假設(shè)做每個(gè)菜的時(shí)間是3分鐘，吃每個(gè)菜的時(shí)間是5分鐘。（當(dāng)然這只是假設(shè)，實(shí)際情形要復(fù)雜得多。）方案一：先做顧客1的兩個(gè)菜，再做顧客2的兩個(gè)菜，最后做顧客3的兩個(gè)菜。方案二：先做顧客1和2的第一個(gè)菜，再做顧客1的第二個(gè)菜和顧客3的第一個(gè)菜，最后做顧客2和3的第二個(gè)菜。那么可以算出兩種方案中每位顧客的等候時(shí)間和離開時(shí)間。方案1：  顧客1顧客2顧客3吃上第一個(gè)菜的時(shí)間第4分鐘第7分

17、鐘第10分鐘吃上第二個(gè)菜的時(shí)間第4分鐘第7分鐘第10分鐘離開飯館的時(shí)間第14分鐘第17分鐘第20分鐘 方案2：  顧客1顧客2顧客3吃上第一個(gè)菜的時(shí)間第4分鐘第4分鐘第7分鐘吃上第二個(gè)菜的時(shí)間第7分鐘第10分鐘第10分鐘離開飯館的時(shí)間第14分鐘第15分鐘第17分鐘由此可以看出，在這個(gè)最簡(jiǎn)單的模型里，如果把方案一的炒菜和上菜的順序改為方案二，第一是客人等候第一個(gè)菜上來(lái)的時(shí)間都減少了，就不會(huì)有那么多怨言。第二是大部分人離開的時(shí)間都會(huì)提前，這樣，作為飯館而言，客流就會(huì)比較快，就可以接待新的顧客進(jìn)來(lái)。 當(dāng)然，以上只是在假設(shè)炒菜為3分鐘和吃菜為5分鐘的情況，作為一個(gè)一般模型，還可以假設(shè)炒一個(gè)菜為x分鐘和吃一個(gè)菜為y分鐘，那情況就很復(fù)雜了。如果把整個(gè)飯館的客流問(wèn)題做成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，就更復(fù)雜了。當(dāng)然，我們不要求小學(xué)生解釋以上這些道理，但學(xué)生可以根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)加以解釋，如：如果一個(gè)人一個(gè)人地上菜，那最后一個(gè)人等候的時(shí)間太長(zhǎng)了，就會(huì)有意見了，時(shí)間都浪費(fèi)在等待上了。等等。六、如何理解第115頁(yè)例3碼頭問(wèn)題的實(shí)際意義？關(guān)于碼頭上貨問(wèn)題，主要是從碼頭調(diào)度的角度來(lái)考慮排隊(duì)問(wèn)題的意義，而不是從船老板的“感受”角度來(lái)考慮，因?yàn)槿魏我粭l船都希望自己是第一個(gè)卸貨。排隊(duì)論在公共汽車、機(jī)場(chǎng)等交通調(diào)度方面有很重要的意義。為了敘述方便，我們把8小時(shí)卸完的那條船叫