基于Gardner位定時同步算法

1、-1.1 位同步算法在軟件無線電接收機中，要正確的恢復(fù)出發(fā)送端所攜帶的信號，接收端必須知道每個碼元的起止時刻，以便在每個碼元的中間時刻進展周期性的采樣判決恢復(fù)出二進制信號43。信號在傳播過程中的延時一般是未知的，而且由于傳輸過程中噪聲、多徑效應(yīng)等影響，造成接收到的信號與本地時鐘信號不同步，這就需要位同步算法，恢復(fù)出與接收碼元同頻同相的時鐘信號。正確的同步時鐘是接收端正確判斷的根底，也是影響系統(tǒng)誤碼率的重要因素；沒有準確的位同步算法，就不可能進展可靠的數(shù)據(jù)傳輸，位同步性能的好壞直接影響整個通信系統(tǒng)的性能44。實現(xiàn)位同步算法的種類很多，按照處理方式的不同可分為模擬方式、半數(shù)字方式和全數(shù)字方式如圖3

2、-10所示。a)b)c)圖3-10位同步算法模型Fig.3-10Bit Synchronous Algorithm Model圖3-10(a)模型為全模擬位同步實現(xiàn)技術(shù)，通過在模擬域計算出輸入信號的位同步定時控制信號去控制本地時鐘，對信號進展同步采樣。圖3-10(b)模型為半模擬同步模型，該模型的主要思想是通過將采樣后的信號經(jīng)過一系列的數(shù)字化處理，提取出輸入信號與本地時鐘的偏差值，通過這個偏差來改變本地時鐘的相位到達位同步。(a)(b)兩種方式都需要適時改變本地時鐘的相位，不利于高速數(shù)字信號的實現(xiàn)且集成化程度較低。圖3-10(c)為全數(shù)字方式的位同步是目前比較常用方法，全數(shù)字方式的位同步算法十

3、分適用于軟件無線電的實現(xiàn)。該方法通過一個固定的本地時鐘對輸入的模擬信號進展采樣，將采樣后的信號經(jīng)過全數(shù)字化的處理實現(xiàn)同步；采用此種方法，實現(xiàn)簡單，且便于數(shù)字化實現(xiàn)，對本地時鐘的要求大大降低。本次設(shè)計主要分析了基于插方式的Gardner定時恢復(fù)算法。1.1.1 Gardner定時恢復(fù)算法原理Gardner定時恢復(fù)算法是基于插的位同步方式，全數(shù)字方式的位同步算法模型中，固定的本地采樣時鐘不能保證能在信號的極值點處實現(xiàn)采樣，所以需要通過改變重采樣時鐘或輸入信號來實現(xiàn)極值處采樣45-46。Gardner定時恢復(fù)算法就是通過改變輸入信號的方式實現(xiàn)，利用插濾波器恢復(fù)出信號的最大值再進展重采樣，算法原理如圖

4、3-11所示。圖3-11Gardner定時恢復(fù)算法原理Fig.3-11Gardner Timing Recovery Theory輸入信號為離散信號*(mTs)，采樣率為Ts，符號周期為T，重采樣時鐘為Ti，這里的重采樣時鐘周期Ti=n*T(n為一小整數(shù))。Gardner定時恢復(fù)算法的根本思想就是，輸入信號*(mTs)經(jīng)過一個D/A器件和一個模擬濾波器h(t)，將數(shù)字信號恢復(fù)為模擬信號y(t)進展重采樣，得到同步的輸出信號y(kTi)。插值濾波器模型中包含了虛擬的D/A變換和模擬濾波器，但是只要具備下面三個條件，則插完全可以通過數(shù)字方式實現(xiàn)。 輸入采樣序列*(mTs) 插濾波器脈沖響應(yīng)h(t)

5、 輸入采樣時間Ts和輸出采樣時間Ti也就是說，圖中的D/A以及模擬濾波器都可以通過設(shè)計數(shù)字插濾波器的方式實現(xiàn)。這里Ts和Ti為固定的兩個變量，Ts/Ti不一定為整數(shù)，為表示出它們之間的變換過程，通過換算得到Ti和Ts的關(guān)系如公式(3-4)所示 (3-4)mk為比值的整數(shù)局部，可看做一個根本指針，表示了本地重采樣時鐘Ti對采樣率為Ts的輸入信號的整數(shù)倍重采樣時刻，而uk為比值的分數(shù)局部，指示了濾波器對輸入信號的插值時刻。一種典型的Gardner定時恢復(fù)算法構(gòu)造框圖如圖3-12所示。圖3-12Gardner定時恢復(fù)算法模型Fig.3-12Gardner Timing Recovery Model符

6、號速率為T的模擬輸入信號*(t)經(jīng)過本地固定時鐘周期Ts采樣后變?yōu)殡x散信號*(mTs)Ts與T滿足奈奎斯特根本采樣定律。經(jīng)過插值濾波器得出的值送入定時誤差檢測器得出輸入信號與本地時鐘的相位誤差(n)，再通過一個環(huán)路濾波器濾除其中的噪聲及高頻成分，將得到的值e(n)送入數(shù)控振蕩器計算出整數(shù)采樣時刻mk和插值濾波器插值點位置uk從而得到定時輸出y(kTi)。從圖3-12中可以看出一個完整的定時恢復(fù)算法主要由定時誤差檢測器、環(huán)路濾波器、數(shù)控振蕩器和插值濾波器組成。其中環(huán)路濾波器與前一章中載波同步算法的環(huán)路濾波器設(shè)計方法一樣。這里主要介紹其他模塊的設(shè)計方法。1.1.2 定時誤差檢測器定時誤差檢測器采用

7、一種非數(shù)據(jù)輔助的誤差檢測算法(Gardner定時誤差檢測算法)，插后的信號每個符號需要兩個重采樣點，一個點對應(yīng)信號的最正確采樣點；另一個為最正確采樣點中間時刻的插值。定時誤差計算公式為： (3-5)式中，(n)為定時誤差檢測值；y(n)為信號的采樣值；n為第n個符號，輸出信號的周期為Ti。由(3-5)式可以看出，Gardner算法只需要每個符號周期的兩個采樣值，因此取Ti=T/2即可滿足算法要求。定時誤差檢測算法示意圖如圖3-13所示。圖3-13定時誤差檢測Fig.3-13Timing Error Detecter該算法具有明顯的物理含義。在沒有定時誤差時，如果有符號轉(zhuǎn)換，則平均的中間采樣點應(yīng)

8、該為零。反之，中間采樣點的值不為零，其大小取決于定時誤差的大小，或者說中間采樣點的值表示了定時誤差的大小，但它不能表示定時誤差的方向超前或滯后。為了表示定時誤差的方向，算法考慮中間采樣點兩邊判決點的差值。如果有符號轉(zhuǎn)換，則該差值的符號就表示了定時誤差的方向。這樣兩者的乘積就完全確定了定時誤差的大小和方向。如果沒有符號轉(zhuǎn)換，則兩邊采樣點的差為零，此時不能獲取定時信息。圖3-13(a)中表示了當本地采樣時鐘與插值濾波器輸出值同步時，定時誤差檢測器的采樣值；同步時，兩個極值采樣點均為最大值，中間采樣點的值為0，這時環(huán)路濾波器的輸出值為0表示本地時鐘已經(jīng)與信號同步。(b)圖中，表示本地時鐘超前的情況，

9、本地時鐘超前，則在中間采樣點的值為正，表示本地時鐘比信號超前，需要插濾波器向后插值。(c)圖中，表示本地時鐘比信號滯后，滯后的結(jié)果是中間時刻采樣點的值為負，需要插濾波器向前進展插值處理。1.1.3 NCO模塊設(shè)計對于數(shù)控振蕩器NCO的設(shè)計，由于NCO只是用于計算插值點的有效位置，也就不需要采用在ROM表中預(yù)存輸出波形的采樣值?？梢愿鶕?jù)輸入信號來實時產(chǎn)生輸出信號脈沖和差值點。NCO計算原理如以下圖所示圖3-14NCO原理圖Fig.3-14NCO Schematic DiagramNCO用于對以Ts為采樣時鐘的輸入信號進展抽樣。因而NCO的工作時鐘與輸入信號的工作時鐘一致也為Ts，而生成的重采樣周

10、期應(yīng)該與輸入信號的符號率同步為Ti。每次NCO存放器溢出一次則表示要執(zhí)行一次重采樣操作。每次NCO存放器過零點的時刻(mk+1)Ts便是插濾波器進展一次運算的時刻總是位于插估計點位置的后一個Ts整點采樣時刻。NCO存放器深度為1，假設(shè)當前樣點mkTs時刻NCO存放器的值為(mk)，環(huán)路濾波器輸出的控制字為W(mk)，表示每次遞減的步進為W(mk)，用差分公式可表示為當(mk)<W(mk)時，就表示下一個符號周期即將到來，NCO也將產(chǎn)生一次過零點，存放器的值模1后的值設(shè)為下一個符號周期NCO的初始值。從圖3-14經(jīng)過幾何分析不難得出：從而得到分數(shù)倍插值位置uk為：通過準確的除法運算，就可以

11、實時的得到分數(shù)間隔值uk，這樣，插濾波器的控制參數(shù)也就通過NCO完全提取出來。1.1.4 插值濾波器設(shè)計Gardner定時恢復(fù)算法中的插值濾波器主要作用就是通過輸入信號*(mTs)與采樣點mk與分數(shù)插值點uk來實時生成與本地時鐘相位一樣的信號。插值濾波器輸入信號*(mTs)與輸出信號y(kTi)的關(guān)系可表示為： (3-6)式中，I1、I2決定插值濾波器的抽頭系數(shù)，hI為插值濾波器的沖激響應(yīng)。mk、uk由數(shù)控振蕩器(NCO)提供，mk決定插器的整數(shù)倍插值位置，它以重采樣時鐘觸發(fā)方式表達。uk控制小數(shù)倍插值位置直接送給插值濾波器,控制插值點的位置。輸出的定時恢復(fù)信號的性能主要與插值濾波器的設(shè)計方式

12、有很大的關(guān)系，下面就來具體分析插值濾波器的實現(xiàn)方法。插值濾波器的實質(zhì)是對信號經(jīng)過低通濾波器后再重采樣的過程?？紤]理想插值情況，根據(jù)Shannon定理，采用理想插值可以由帶限的輸入信號*(t)的抽樣值*(mTs)準確得到*(t)在任意時刻的值，即 (3-7)其中 (3-8)它的頻域表達式為 (3-9)因而，插后的序列*(kTi)可表示為： (3-10)由于理想的插濾波器是非因果系統(tǒng)，它需要無窮多個信號樣值點，物理上具有不可實現(xiàn)性。因而，將理想插值濾波器的脈沖響應(yīng)進展截斷，并根據(jù)最優(yōu)化準則逼近最正確性能。插濾波器可以通過不同的截斷函數(shù)得出無窮多種插函數(shù)，但都必須遵守線性相位的條件，即參與插值的采樣

13、點數(shù)為偶數(shù)。常用的插濾波器包括：兩點線性插濾波器、立方插濾波器、分段拋物線插濾波器。這里主要討論立方插值濾波器的原理和實現(xiàn)構(gòu)造立方插值濾波器是多項式的插值濾波器的一種，它是基于4點樣值的拉格朗日函數(shù) (3-11)這里，這里N=4，則N1=N/2=2，N2=N/2-1=-1從而得出立方插值濾波器的時域表達式為：(3-12)歸一化令t=(i+u)Ts,則可得h(t)的系數(shù)Ci(u)為： (3-13)對多項式濾波器的實現(xiàn)構(gòu)造，可采用Farrow構(gòu)造實現(xiàn)47。該構(gòu)造不必實時計算抽頭系數(shù)，只需要根據(jù)當前時偏u，經(jīng)過如公式(3-13)的少量計算，就可以得到插濾波器的系數(shù)實現(xiàn)插。表3-2給出了立方插值濾波器

14、的系數(shù)表。圖3-15立方插值濾波器Farrow構(gòu)造實現(xiàn)框圖Fig.3-15Cubic Interpolation Filter Farrow Realize Structure表3-2立方插值濾波器Farrow構(gòu)造實現(xiàn)系數(shù)Tab.4-1Cubic Interpolation Filter Farrow Realize Structure Coefficientil0123-20-1/601/6-1011/2-1/201-1/2-11/210-1/3-1/2-1/6通過表3-2可以看出，F(xiàn)arrow構(gòu)造的插值濾波器實現(xiàn)，每計算一個插值只需要傳送一個變量，即插估計點值u，并通過簡單的計算直接求出插

15、點的值，而不需要計算中間濾波器的系數(shù)(系數(shù)為固定值)。圖3-15給出了立方插值濾波器的Farrow構(gòu)造實現(xiàn)框圖。1.1.5 Simulink算法仿真及性能分析經(jīng)過以上分析，在matlab中構(gòu)建了一個BPSK信號的定時恢復(fù)模型，符號速率為2MHz，固定采樣時鐘為20MHz，插值濾波器采用線性插值算法，系統(tǒng)中參加的信噪比為30dB，0.0001的環(huán)路濾波器等效噪聲帶寬。得到Gardner定時恢復(fù)算法的Simulink仿真圖如圖3-16所示。圖3-16Gardner定時恢復(fù)算法Simulink仿真模型Fig.3-16Gardner Timing Recovery Simulink Simulatio

16、n Model圖中In2為信號輸入，經(jīng)過插值濾波器模塊后，用原始的NCO生成的本地時鐘進展采樣和定時誤差提取，再將誤差值通過LF環(huán)路濾波器模塊后，計算出小數(shù)插值點uk的值反響回去控制插值濾波的小數(shù)插值點，改變輸出信號的相位從而使經(jīng)過插值濾波器后的輸入信號的相位與本地時鐘的相位相一致，到達同步的目的。圖3-17同步前信號的星座圖 圖3-18同步后信號的星座圖Fig.3-17Planisphere Before Synchronization Fig.3-18Planisphere After Synchronization圖3-19定時恢復(fù)算法仿真結(jié)果Fig.3-19Timing Recover

17、y Simulation Result以一個BPSK信號為信號源，圖3-17中顯示了信號在未同步時信號的星座圖，從圖中可以看出未同步經(jīng)過采樣后的星座圖左右來回擺動。而經(jīng)過位同步后的星座圖如圖3-18所示，圖中采樣出的兩個點為兩個穩(wěn)定在±0.6的兩個點，這表示經(jīng)過同步后的采樣信號已經(jīng)能夠在極大極小值處實現(xiàn)采樣。位同步采樣信號波形如圖3-19所示，圖中第一個波形為NCO生成的同步時鐘，第二個波形為需要同步的BPSK信號，從第三個波形中可以看出，同步時鐘對信號的采樣值均能在極值點處實現(xiàn)采樣，再經(jīng)過一個簡單的判決處理即可恢復(fù)出原始的二進制信號。下面觀察Gardner定時恢復(fù)算法中插值濾波器插

18、值位置uk的變化情況，它直接反響了整個系統(tǒng)的同步情況。由于uk為Ti/Ts的小數(shù)局部，而Ts/Ti有多種情況當Ti與Ts的比值為整數(shù)時，小數(shù)偏差uk收斂為穩(wěn)定的常數(shù)，如圖3-20(a)所示。當Ti與Ts的比值不成比例，且為一有理數(shù)時，小數(shù)偏差uk是周期性變化的，如圖3-20(b)所示。當Ti與Ts的比值不成比例，卻為一無理數(shù)時，小數(shù)偏差uk為非周期性變換的波形，如圖3-20(c)所示。a) b) c)圖3-20uk輸出波形Fig.3-20uk Output Waveform位同步算法的性能評價標準與載波同步的性能評價標準根本一樣，分為相位誤差、同步建立時間、同步保持時間以及同步帶寬。這里的相位

19、誤差主要是指由于輸入信號的相位與本地時鐘的相位不同，所以需要調(diào)整本地時鐘的相位來到達與輸入信號相位相一致的目的，從而實現(xiàn)同步。不同的位同步算法的相位誤差誤差各不一樣。1.1.6 減小定時抖動的方法Gardner定時恢算法在實現(xiàn)位同步后，小數(shù)插值點uk將穩(wěn)定于一個固定的波形上。實際的信號在加性高斯白噪聲信道AWGN中傳輸，受信道噪聲的影響，uk將沿著固定波形上下隨機變化，這個變化一般被稱為定時恢復(fù)環(huán)路的定時抖動。假設(shè)單靠環(huán)路濾波器濾除帶外噪聲來減少定時抖動，要求環(huán)路濾波器的等效噪聲帶寬減小，使環(huán)路的捕獲時間將相應(yīng)的增加48-51。如何在不改變環(huán)路濾波器等效噪聲的情況下，減小定時抖動是本文所要討論

20、的主要問題。定時抖動主要是因為輸入信號中疊加有噪聲，如果能在環(huán)路過乘以一個很小的環(huán)路系數(shù)(小于1)，其他參數(shù)不變，只改變環(huán)路中的噪聲系數(shù)，則就可以減小定時抖動。從而，在一樣的環(huán)路濾波器等效噪聲帶寬的條件下，減小了環(huán)路的定時抖動。在定時恢復(fù)環(huán)路中，通過NCO中輸入頻率控制字的倒數(shù)與當前相位累加器的值(mk)計算出小數(shù)插值點uk的輸出計算式 (3-14)存在噪聲的情況下=+no,其中oTi/Ts表示存儲于NCO部的頻率控制字初始值的倒數(shù)，為經(jīng)環(huán)路濾波器后的誤差輸出值，no為NCO的輸入噪聲，實現(xiàn)定時恢復(fù)后=0，則=+no將帶入(3-14)式有 (3-15)式中，o(mk)是無噪聲情況下uk的值no

21、(mk)為噪聲項，也即引起定時抖動的原因。如果能在不改變o(mk)的情況下，改變o(mk)的大小，就可以減小uk的定時抖動。然而假設(shè)減小(mk)的值，則也會o(mk)相應(yīng)的改變，這將影響定時恢復(fù)，所以只有減小no的值才能在不影響定時恢復(fù)的條件下減小定時抖動,如何在固定的輸入信噪比條件下減小NCO的輸入噪聲是較小定時抖動的關(guān)鍵。根據(jù)數(shù)控振蕩器NCO中的小數(shù)間隔uk與NCO相位累加器的幾何關(guān)系 (3-16)式中，(mk+1)示下一個時刻NCO相位累加器的值，將公式(3-15)帶入公式(3-16)并化簡可推導(dǎo)出NCO相位累加器值的計算式 (3-17)由式(3-17)可以看出，NCO相位累加器的值是一

22、個通過迭代算法計算出來的，根據(jù)迭代算法傳遞函數(shù)的計算方法可以得出第mk時刻相位累加值，即當前通過過零點產(chǎn)生uk時刻相位累加器的值為 (3-18)(0)為相位累加器初始時刻的值，由公式(3-18)可知，無噪聲的情況下，(mk)的值只與初始時刻相位累加器的值與累加的次數(shù)有關(guān)。再將公式(3-18)帶入公式(3-15)可以得出uk (3-19)通過對公式(3-19)進展分析可知，uk輸出值的大小與NCO中相位累加器的初始值(0)、頻率控制字的倒數(shù)o、迭代次數(shù)mk以及輸入噪聲大小有關(guān)。當輸入信號的符號速率T與本地時鐘周期Ts確定后，o為定值，(0)是NCO初始化的值也為定值。因而，要減小輸出uk的定時抖

23、動，可以想到通過減小輸入NCO中噪聲no的幅值來實現(xiàn)。根據(jù)Gardner定時恢復(fù)算法的原理框圖知道，Gardner定時誤差檢測后的信號經(jīng)過環(huán)路濾波器輸入NCO調(diào)整mk、uk的值，實現(xiàn)定時恢復(fù)。無噪聲條件下的符號同步后的定時誤差檢測器輸出為0，環(huán)路濾波器輸出也相應(yīng)為0；存在噪聲時，環(huán)路濾波器的輸出則為噪聲信號，也即是引起定時抖動的來源。如果我們能在環(huán)路濾波器輸出后，NCO輸入前參加一個小于1的環(huán)路系數(shù)。則，將環(huán)路濾波器的輸出與之相乘，輸入NCO中的噪聲將會成倍的減小。從而到達減小定時抖動的目的。首先分析環(huán)路系數(shù)對uk的方差即定時抖動大小和實現(xiàn)定時恢復(fù)所需要的點數(shù)的影響。如圖3-21所示，由圖中可

24、以看出uk的定時抖動隨著環(huán)路系數(shù)的增加而逐漸增大，但系統(tǒng)定時恢復(fù)點數(shù)卻隨著系數(shù)的增大逐漸減小。綜合定時抖動與定時恢復(fù)兩個方面可以得出當環(huán)路系數(shù)在0.10.3之間時，定時抖動與定時恢復(fù)點數(shù)都能取到一個相應(yīng)較小的值。圖3-21環(huán)路系數(shù)與uk方差和定時恢復(fù)點數(shù)關(guān)系圖Fig.3-21The Relationship Between Loop Coefficient and uk Variance因而，環(huán)路系數(shù)的選擇并不是越小越好，由于在定時恢復(fù)階段，環(huán)路濾波器輸出的誤差信號也與之相乘，將會影響NCO中mk、uk的調(diào)整速度，影響整個定時恢復(fù)的速度。之后的仿真分析中選擇添加0.1的環(huán)路系數(shù)。圖3-22、圖3-23比較了沒有添加環(huán)路系數(shù)和添加0.1的環(huán)路系數(shù)后環(huán)路濾波器的輸出和uk的輸出波形的收斂情況。圖3-22未添加系數(shù)時uk輸出波形 圖3-23添加0.1系數(shù)時uk輸出波形Fig.3-22 ukOutput Wave Without