線性代數模擬試題4套

1、模擬試題一一、判斷題：（正確：V,錯誤：X）（每小題2分，共10分）1、若A,B為n階方陣，則|AB|AB（）2、可逆方陣A的轉置矩陣AT必可逆.（）3、n元非齊次線性方程組Axb有解的充分必要條件R（A）n.,（）4、A為正交矩陣的充分必要條件ATA119、設A012,則當t時，A的行向量組線性無關00t510、方陣A的特征值為，方陣BA24A3E,則B的特征值為三、計算：（每小題8分，共16分）（）5、設A是n階方陣，且|A|0,則矩陣A中必有一列向量是其余列向量的線性組合.（）二、填空題：（每空2分，共20分）1、A,B為3階方陣，如果|A|3,|B|2,那么|2AB1|.2、行列式中元

2、素a。的余子式和代數余子式Mj,Aj的關系是.3、在5階行列式中，項a13a32a24a41a55所帶的正負號是.4、已知A201,B65貝UAB252.5、若A52,則A121101086、設矩陣011013是4元非齊次線性方程組Axb的增廣矩陣，則Axb的通解為7、RABRARB.-*.一.*8、若A是A的伴隨矩陣，則AA1、已知4階行列式D1121011142262121，求2A11A21A313A41.2、設矩陣A和B滿足ABA2B,其中A10,求矩陣B.1四、（10分）求齊次線性方程組x1x13x12x1*2*2x22x2*32x32x34x3X4X45x42x40000的基礎解系和

3、它的通解.五、（10分）設三元非齊次線性方程組Ax110(11)(2b的增廣矩陣為2(1)，2)(1)(1)討論當取何值時，Ax解.b無解,有唯一解和有無窮多解，并在無窮多解時求出通六、（10分）判斷向量組A:a132111223746422的線性相關性,61如果線性相關，求一個最大無關組,七、綜合計算：（本題14分）并用它表示其余向量已知二次型f(x1,x2,x3)x22x22x：4x1x3(D(2)(3)(4)求二次型所對應的矩陣A,并寫出二次型的矩陣表示；求A的特征值與全部特征向量；求正交變換XPY化二次型為標準形，并寫出標準形;判斷該二次型的正定性。八、證明題：（每小題5分，共10分）

4、1、已知向重a1，a2,a3線性無關，證明b2a13a2,b2a24a3,b35a3a1線性無關.2、某礦產公司所屬的三個采礦廠ai,a2,a3,在2011年所生產的四種礦石bi,b2,b3,b4,b5的數量(單位：噸)及各種礦石的單位價格(萬元/噸)如下表：石產量b1b2b3b4b5a110020305020a28020207030a33060106050各礦石單價23654(1)做矩陣A35表示2011年工廠ai產礦石bj的數量(i1,2,3;j1,2,3,4,5)；(2)通過矩陣運算計算三個工廠在2011年的生產總值.模擬試題二判斷題(正確的打，不正確的打)(每小題2分，共10分)()1

5、、設A,B為n階方陣，則|AB|A|B|;()2、可逆矩陣A總可以只經若干次初等行變換化為單位矩陣E；()3、設矩陣A的秩為r,則A中所有r1階子式必不是零；()4、若x1,x2是非齊次線性方程組Axb的解，則x12也是該方程組的解.()5、n階對稱矩陣一定有n個線性無關的特征向量。二、填空題(每小題2分，共16分)1、排歹U7623451的逆序數是;12342、設四階行列式D4，則A142A243A344A444123其中Aj為元素aj的代數余子式;一143、設A、B均為5階矩陣，A-,B2,則BA124、3(1)2(2)5(3)，其中1(2,5,1,3):2(10,1,5,10)TT3(4

6、,1,1,1)，貝U5、已知向量組A:時，b可由A線性表示，且表示法唯一;11236、設齊次線性方程組AX0的系數矩陣通過初等行變換化為0102,則0000此線性方程組的基礎解系所含解向量的個數為;7、設向量(1,2,1)T,=2,2T正交，則；8、設3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為三、計算題(每小題8分，共16分)1、設矩陣A,B,求矩陣AB和BA2、已知矩陣A求矩陣方程AX四、計算題(每小題o8分,16分)25x34x1X24x1X38x2X3,12241、設矩陣A=242133求：（1）矩陣A秩；2、求非齊次線性方程組系和此方程組的通解。六、（12

7、分）設矩陣A（2）判斷該二次型是否正定二次型，說明理由。五、計算題（每小題10分，共20分）1 022 66023334（2）矩陣A的列向量組的一個最大線性無關組。.x1x2x3x422x13x2x3x41所對應的齊次線性方程組的基礎解x12x32x45131011002（1）求矩陣A的特征值和全部的特征向量；（2）求可逆矩陣P,使得P1AP（其中是對角矩陣），并寫出對角矩陣。七、（5分）證明題設方陣A滿足A1、已知向量組100(1)k取何值時，該向量組線性相關；(2)k取何值時，該向量組線性無關，說明理由。2、已知二次型f(x1,X2,X3)2x25x2(1)寫出此二次型對應的矩陣A;AEO

8、,證明：A可逆并求它的逆矩陣。八、（5分）應用題假設我們已知下列涉及不同商店水果的價格，不同人員需要水果的數量以及不同城鎮(zhèn)不同人員的數目的矩陣：冏店1冏店2蘋果橘子梨蘋果0.100.15橘子0.150.20梨0.100.10人員15103人員2455設第一個矩陣為A,第二個矩陣為B,而第城鎮(zhèn)11000500城鎮(zhèn)220001000三個矩陣為Co人員1人員2（1）求出一個矩陣，它能給出在每個商店每個人購買水果的費用是多少？（2）求出一個矩陣，它能確定在每個城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？模擬試題三、判斷題：（正確：V,錯誤：X）（每小題2分，共10分）1、A,B為n階方陣則|AB|IBA2、設A為mn

9、(mn)矩陣，則Axb有無窮多解3、向量組人1是向量組A的一部分，向量組A1線性無關，則向量組A一定線性相關；(4、設1,2是方陣A的特征值，則12也是方陣A的特征值。(5、4個3維向量一定線性相關。(二、填空題：(每空2分，共20分)1、已知A為3階方陣，且A2,則2A;2、八階仃列式中某項a15a21a36a42a53a64帶有的符號為3、設A為n階方陣，滿足a2AE,則A1;4、設1，2是n元非齊次線性方程組Axb的兩個解，且A的秩R(A)n1,則Axb的通解x;5、設非齊次線性方程組的增廣矩陣為102-11B=01-300，則k時方程組無解，000(1-k)k1k2當k時方程組有無窮解

10、，此時該方程組對應的齊次線性方程組的基礎解系中有個向量。6、二次型f2x24xy6y24z24xz的秩為(請選正定、負定、不定之一)7、方陣A的特征值為，方陣BA22A3E,則B的特征值為三、計算：(每小題8分，共1、已知4階行列式D112116分）011112012121,求2A11A21A312A412、已知A111121,試判斷A是否可逆。若可逆，求A1,若不可逆，求A的113伴隨矩陣A*四、計算：(每小題10分，共20分)2x1x2x3x401、求齊次線性方程組x1x24x12x22x3x402x32x40的基礎解系和它的通解2、已知線性方程組2x12x24x33x40xyz02x3y

11、3z2有解，求a,并求全部解;2xyza五、(10分)判斷向量組11020110，4211的線性相關性，并求它的一個最大無關組，并用最大無關組表示該組中其它向量六、綜合計算：(本題14分)二次型f(x1,x2,x3)x2x2x32x1x2(1)求二次型所對應的矩陣A,并寫出二次型的矩陣表示(2)求A的特征值與全部特征向量；(3)求正交矩陣P,使P1AP為對角形矩陣。(4)求正交變換XPY化二次型為標準形(5)寫出標準形七、證明題：(每小題5分，共10分)1、設是非齊次線性方程組Axb的一個解，1,2,3是對應的齊次線性方程組Ax0的一個基礎解系，證明：0,1,2,3線性無關；2、某石油公司所屬

12、的三個煉油廠a1，a2,a3，在2010年所生產的四種油品b1，b2,b3,b4的數量(單位：噸)及各種油品的單位價格(元/噸)如下表：工廠b1b2b3b4a15234a27315a36213各油品單價100150130110(1)做矩陣A34表示2010年工廠ai產油品bj的數量(i1,2,3;j1,2,3,4)(2)計算三個工廠在2010年的生產總值。模擬試題四一、判斷題：(正確：V,錯誤：X)(每小題2分，共10分)1、設A,B均為n階方陣，則若A或B可逆,則AB必可逆.()2、已知A,B是n階方陣，k為整數，則(AB)kAkBk.()3、已知向量組1,2,3,4的秩為3,則1,2,3,

13、4中至少有三個向量線性無關.()4、一個向量組的最大無關組與這個向量組本身等價.()5、設1,2是矩陣A的兩個不同的特征值，P1,P2是對應的特征向量，則P1與P2正交.()二、填空題：(每空2分，共20分)1、4階行列式det(aj)中含a13,a21的帶正號的項為.2、A,B為3階方陣，如果A2,B3,那么3AB1.3、m個n維向量構成的向量組a1,a2,am線性相關的充分必要條件是矩陣A(a1,a2,am)的秩R(A)于向量個數m.4、若n元非齊次線性方程組AmnXb有解且R(A)r,則當時，方程組有無窮多解.5、行列式D中元素a215的代數余子式A21一，26、已知A77、已知4階行列

14、式D1111111111111111，則A21A22A23A24的值為中Aij為D的第i行第j列元素的代數余子式.8、矩陣A對應的二次型是9、矩陣A20的列向量組的秩為210、已知三、計算:2是A特征值，且A可逆，則（每小題8分，共16分）是A1的特征值.10011、已知矩陣A001,B0010000，求(1)A2;3(2)A20122BT12、設矩陣A和B滿足關系式AB3,求矩陣B.5四、（10分）求齊次線性方程組X1X2X34x43x5X1X23x32x4X52x1X23x35x45x3x1X25X36x47x5500的一個基礎解系和它00A2B,其中A的通解.10116、(10分)設有5

15、個向量a112，a23d，a3112，a422，猾31210420140求此向量組中的一個最大線性無關組，并用它表示其余的向量.六、(10分)設非齊次線性方程組AXb的增廣矩陣為1021101300B=,0001k1k2000(1k)k1k討論它的解的情況，何時無解，何時有無窮多個解，并說明理由；有無窮多個解時求出該方程組的通解.七、(本題14分)設二次型一、一丁人,22c2，cf(X1,X2,X3)XAXX1X26x34x1X26x1X36x2X3,(1)求二次型的矩陣A;(2)求矩陣A的特征值及全部特征向量；(3)判斷矩陣A是否可以對角化；(4)判斷它是否為正定二次型.八、綜合題：(每小題5分，共10分)1、證明