例題與探究(321直線的點斜式方程322直線的兩點式…

1、典題精講例1方程y-ax-=0表示的直線可能是圖3-2-1中的( )圖3-2-1思路解析:注意題設中的隱含條件:斜率為a、截距為中都含同一個字母a,且a0.抓住這一點,通過等價轉(zhuǎn)化將方程化為我們熟悉的一元一次函數(shù),再運用分類討論思想使問題獲得解決.將方程變形為y=ax+,則a為直線的斜率,為直線在y軸上的截距.因為a0,所以a>0或a<0.當a>0時,四個圖形都不可能是方程的直線;當a<0時,圖形B是方程的直線.答案:B綠色通道:根據(jù)直線的方程判斷直線的形狀,通常把直線轉(zhuǎn)化成斜截式的形式,利用斜率和截距的幾何意義作出判斷.變式訓練1兩條直線=1與=1的圖像是圖3-2-2

2、中的( )圖3-2-2思路解析:兩直線的方程分別化為y=x-n,y=-m,易知兩直線的斜率符號相同.答案:B例2經(jīng)過點A(-2,2)并且和兩坐標軸圍成的三角形面積是1的直線方程是( )A.x+2y-2=0或x+2y+2=0B.x+2y-2=0或2x+y+2=0C.2x+y-2=0或x+2y+2=0D.2x+y+2=0或x+2y-2=0思路分析:求直線方程以及與坐標軸圍成圖形面積有關的問題,常用直線的截距式方程.解:設直線在x軸、y軸上的截距分別是a、b,則有S=|a·b|=1.ab=±2.設直線的方程是=1.直線過點(-2,2),代入直線方程得=1,即b=.ab=±

3、;2,解得直線方程是=1或=1,即2x+y+2=0或x+2y-2=0.答案:D綠色通道:在直角坐標系中涉及圖形的面積時,要注意多與點的坐標相聯(lián)系,特別是將三角形的底邊放在坐標軸上,將高視為點的坐標的絕對值,與坐標軸上的點相關的直線方程是它的截距式,應當注意截距并非是非負的,它是直線和坐標軸交點的橫坐標或縱坐標.變式訓練2求過點A(3,4),且在坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程.解:(1)當直線l在坐標軸上截距互為相反數(shù)且不為0時,可設直線l的方程為=1.又l過點A(3,4),所以=1,解得a=-1.所以直線l的方程為=1,即x-y+1=0.(2)當直線l在坐標軸上截距互為相反數(shù)且為0時,直

4、線的方程為y=x,即4x-3y=0.例3一條直線l被兩條直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點恰好是坐標原點,求直線l的方程.思路分析:設直線l的方程為y=kx,與已知的兩直線的交點設為P1(x1,y1)、P2(x2,y2),把x1、x2用k表示,由x1+x2=0,解出k的值即可.解法一:當直線l的斜率k存在時,設l的方程為y=kx,且l與已知兩直線的交點分別為P1(x1,y1)、P2(x2,y2),則因為O是P1P2的中點,所以x1+x2=0,即=0,解得k=.當斜率k不存在時,直線l是y軸,它和兩條已知直線的交點分別是(0,-6)和(0,),顯然不滿足中點是原點的條件.所

5、以所求的直線方程為y=x.解法二:設過原點的直線l交已知兩直線分別于點P1、P2,且O為P1、P2的中點,所以P1與P2關于原點對稱.若設P1(x0,y0),則P2(-x0,-y0),所以+得x0+6y0=0.所以點P1(x0,y0)、P2(-x0,-y0)都滿足方程x+6y=0.因為過兩點的直線有且只有一條,且該直線過原點,所以所求直線l的方程即為y=x.綠色通道:與兩直線交點有關的直線方程問題,用一般式較其他形式方便,另外注意解析幾何中與交點有關的問題,常采用設點而不求點的方法,設而不求是解析幾何中常用的方法.變式訓練3直線l和兩條直線l1:x-3y+10=0及l(fā)2:2x+y-8=0都相交

6、,且這兩個交點所成的線段的中點是P(0,1),則直線l的方程是_.思路解析:設兩交點坐標為A(3y1-10,y1)、B(x2,-2x2+8),AB的中點是P(0,1),得解得y1=2,x2=4.A、B兩點坐標分別為A(-4,2)、B(4,0).過A、B兩點的直線方程是x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0例4求與直線3x+4y+1=0平行,且在兩坐標軸上截距之和為的直線l的方程.思路分析:由l與直線3x+4y+1=0平行聯(lián)想,可設直線l的方程為3x+4y+m=0.也可由兩截距之和為,設直線l的方程為=1.解法一:設直線l的方程為3x+4y+m=0,令x=0,得y軸上截距b=,令y=0,得x軸

7、上截距a=,所以+()=,解得m=-4.所以所求直線l的方程為3x+4y-4=0.解法二:設直線l的方程為=1,所以所以所求直線方程為3x+4y-4=0.綠色通道:(1)一般地,直線Ax+By+C=0中系數(shù)A、B確定直線的斜率,因此,與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0.這是常采用的解題技巧.(2)一般地,經(jīng)過點A(x0,y0),且與直線Ax+By+C=0平行的直線方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0.變式訓練4求直線2x+(3k-1)y+k-1=0在x軸、y軸上的截距.解:令y=0,則x=,于是直線在x軸上的截距為.令x=0,則(3k-1)y+k-1=0,于是直

8、線在y軸的截距為y=.當k=時,直線在y軸上的截距不存在;當k時,直線在y軸上的截距為.例5已知方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(mR)所表示的直線恒過定點,試求該定點的坐標.思路解析:可以從兩個角度考慮:(1)因為直線恒過定點,故該定點坐標與m的取值無關,于是我們可令m取一些特定值,進而求出兩不同直線的公共點.(2)將方程變形為m(x+y)+2x-3y+4=0.依題意,定點的坐標與m的取值無關,于是m的系數(shù)x+y必為0,進而2x-3y+4=0.解法一:令m=-2,則方程變?yōu)?5y+4=0,故y=.令m=3,則方程變?yōu)?x+4=0,故x=.依題意可知,直線恒過定點(,).解法二:將方程變

9、形為m(x+y)+2x-3y+4=0.依題意,定點的坐標與m的取值無關,于是此定點的坐標必然滿足x+y=0且2x-3y+4=0.解方程組定點的坐標為(,).綠色通道:求含參數(shù)的直線方程恒過定點時,可賦予參數(shù)兩個具體的值,通過解方程組求交點;也可整理成f1(x,y)+f2(x,y)=0的形式,再求交點.變式訓練5已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為P(2,3),求過兩點A(a1,b1)、B(a2,b2)的直線方程.解法一:因為P(2,3)是兩直線的交點,所以兩式相減得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即.故所求直線方程為y-b1=(x-a1).所以2x+3y-(

10、2a1+3b1)=0.又故過兩點A(a1,b1)、B(a2,b2)的直線方程為2x+3y+1=0.解法二:因為P(2,3)是兩直線的交點,所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.可見A(a1,b1)、B(a2,b2)都滿足方程2x+3y+1=0.故過兩點A(a1,b1)、B(a2,b2)的直線方程為2x+3y+1=0.問題探究問題1請想一想常見的對稱問題有那些？具體的處理方法如何？導思:對稱問題包括以下四類:點關于點的對稱;點關于直線的對稱;直線關于點的對稱;直線關于直線的對稱.也可歸結為中心對稱和軸對稱兩類,而這兩類問題最終都可歸結為點的對稱問題.若點P1與P2關于點M對稱,則點

11、M是P1,P2的中點.若已知其中任何兩個點的坐標,都可以根據(jù)中點坐標公式求出另外一個點的坐標.若點P1與P2關于直線l對稱,則直線l是線段P1P2的中垂線,它應同時滿足兩個條件,即P1、P2的中點在直線l上,且P1P2的連線與l垂直,也就是說,P1P2的中點坐標滿足直線l的方程,且P1P2連線的斜率與直線l的斜率互為倒數(shù).曲線是由點組成的,曲線關于點或直線的對稱實質(zhì)上就是點關于點或直線的對稱.探究:常見的對稱問題有點關于點、點關于直線的對稱問題以及曲線(含直線)關于點、曲線(含直線)關于直線的對稱問題.具體的處理方法如下:(1)點P(x0,y0)關于點M(a,b)的對稱點為P(2a-x0,2b

12、-y0);(2)點P(a,b)不在直線l:Ax+By+C=0上,P關于直線l的對稱點為P(x,y)的求法:因為PP中點M()在l上,PPl,所以由方程組可解出P(x0,y0).(3)幾種特殊對稱:點(a,b)關于x軸的對稱點為(a,-b);點(a,b)關于y軸的對稱點為(a,-b);點(a,b)關于y=x的對稱點為(b,a);點(a,b)關于y=-x的對稱點為(-b,-a);點(a,b)關于x+y=t的對稱點為(t-b,t-a);點(a,b)關于x-y=m的對稱點為(m+b,a-m).(4)“曲線關于點對稱”問題可用“點關于點對稱”的方法解決;“曲線關于直線對稱”問題可轉(zhuǎn)化為“點關于直線對稱”

13、問題來解決.問題2一般地,具有某種共同屬性的一類直線的集合,稱為直線系,它的方程叫做直線系方程.直線系方程中除含變量x、y以外,還可以根據(jù)具體條件取不同值的變量,稱為參變量,簡稱參數(shù).由于參數(shù)取向不同,就得到不同的直線系.你能試舉出一些直線系的例子嗎?導思:應用直線系解題,是指把待求的直線看成滿足某種條件的直線的集合中的元素,再利用其他條件確定參數(shù)的值,是整體思想的具體運用.利用直線系解題可簡化運算,提高解題效率.直線系y=kx+b中,若b為常數(shù),它表示過定點(0,b)的直線系;若k為常數(shù),它表示平行線系.平行線系關注的是斜率相等,垂直關注的是斜率互為負倒數(shù).設出相關的直線系方程后,要明確直線

14、系中參數(shù)是誰.對于過兩直線交點的直線系方程,求交點坐標時,可先把方程轉(zhuǎn)化成f1(x,y)+f2(x,y)=0的形式,再解方程組求交點;也可賦予參數(shù)兩個具體的值,將得到的兩個方程聯(lián)立方程組求交點坐標.探究:幾種常見的直線系:(1)過定點的直線系直線y=kx+b(其中k為參數(shù),b為常數(shù)),它表示過定點(0,b)的直線系,但不包括y軸(即x=0).經(jīng)過定點M(x0,y0)的直線系y-y0=k(x-x0)(k為參數(shù)),它表示經(jīng)過定點(x0,y0)的直線系,但不包括平行于y軸的那一條(即x=x0).(2)已知斜率的直線系y=kx+b(k為常數(shù),b為參數(shù)),它表示斜率為k的平行直線系.若已知直線l:Ax+By+C=0,與l平行的直線系為Ax+By+m=0(m為參數(shù),且mC).若已知直線l:Ax+By+C=0,與l垂直的直線系為Bx-Ay+n=0(n為參數(shù)).(3)經(jīng)過兩條直線交點的直線系經(jīng)