數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)_以高等數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)為例

1、第 23卷 第 4期 文山學(xué)院學(xué)報(bào)Vo l 23 No 4數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)以高等數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)為例哈 玲 1, 楊愛民2(1 昆明學(xué)院 數(shù)學(xué)系 , 云南 昆明 650214; 2 文山學(xué)院 數(shù)理系 , 云南 文山 663000收稿日期 :2010-08-25作者簡介 :哈 玲 (1962- , 女 , 回 族 , 云南昆 明人 , 高 級(jí)講師 , 主 要從事 數(shù)學(xué)課 程與教學(xué) 論研究 ; 楊愛民 (1961-, 女 , 彝族 , 云南文山人 , 教授 , 碩士 , 主要從事數(shù)學(xué)分析教學(xué)與研究 。摘要 :隨著教育理念由行為主義到認(rèn)知主義的發(fā)展 , 數(shù)學(xué)能力的提高有待于對(duì)概念理解的強(qiáng)化

2、越來越成 為共識(shí) 。 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn) , 是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ) , 是數(shù)學(xué)思維的核心 。 基于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)概 念學(xué)習(xí)的關(guān)系 , 探討了高等數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論與實(shí)踐 , 以期促進(jìn)高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí) 。關(guān)鍵詞 :數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu) ; 數(shù)學(xué)概念 ; 高等數(shù)學(xué) ; 學(xué)習(xí)中圖分類號(hào) :O1-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 :A 文章編號(hào) :1674-9200(2010 04-0120-05 利用強(qiáng)化學(xué)生解題過程的方式提高學(xué)生的數(shù)學(xué) 成績是一個(gè)符合行為主義理論基本觀點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。 但是行為主義過多地強(qiáng)調(diào)可以被觀察到的或可以被 量化的外在行為的研究 , 而對(duì)研究對(duì)象的內(nèi)在變化 的研究并不充分。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是 需要學(xué)生主

3、動(dòng)領(lǐng) 悟、 整體把握與強(qiáng)化刺激共同發(fā)生 的心理和學(xué)習(xí)過 程。 因此 , 隨著教育理念由行為主義到認(rèn)知主義的發(fā)展 , 人們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)能力的提高有待于對(duì)概念理 解的強(qiáng)化。1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)于學(xué)習(xí)理論 , 存在著兩種基本觀點(diǎn) :一種是 以桑代克、巴甫洛夫、斯金納為代表的刺激 反 映聯(lián)結(jié)觀點(diǎn) ; 另一種是布魯納、奧蘇泊爾為代表的 認(rèn)知觀 點(diǎn)。認(rèn)知心理 學(xué)認(rèn)為 , 刺激 和反映的聯(lián) 結(jié) , 是以主體的某種 結(jié)構(gòu) ! 為中介的 , 這 種 結(jié)構(gòu) ! 對(duì)信息加工和改造起著積極的作用。認(rèn)知心理學(xué)把 這種主體中存在的結(jié)構(gòu)稱為認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生在數(shù)學(xué) 認(rèn)知活動(dòng)中 , 也同樣存在著某種結(jié)構(gòu) , 這種結(jié)構(gòu)稱 之為數(shù)

4、學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu) , 就是學(xué)生 頭腦里 的數(shù)學(xué)知識(shí) , 按照自己的理 解深度、廣 度 , 結(jié)合著自己的知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn) , 組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。 1 1數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)實(shí)踐表明 , 學(xué)生 的數(shù) 學(xué)認(rèn) 知 結(jié)構(gòu) 有其 固有 的 特點(diǎn)。(1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生心理 結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物。(2 數(shù)學(xué)認(rèn)知 結(jié)構(gòu)是 學(xué)生 頭腦 中已 有數(shù)學(xué) 知 識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的組織。它既可以是學(xué)生頭腦里所有數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的 組織 , 也可以是特殊數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的組織。前者指 的是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科 的全部知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的組織 特征 , 這些特征影響它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的一般學(xué)習(xí)。后者指

5、 的是某 一數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的組織特 征。也就是 說 , 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)既是專門化的概念 , 又是一個(gè)帶有普 遍性的概念 , 它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)認(rèn)知的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可以在各種抽象水平上來表征數(shù) 學(xué)知識(shí)。即數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)有層次的階梯。高 層次是由所有數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合而組成的認(rèn) 知結(jié)構(gòu)。(3 每一個(gè)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)各有特點(diǎn) , 個(gè)體認(rèn) 知結(jié)構(gòu)在內(nèi)容和組織方面的特征稱為認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量。 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有 3個(gè)變量 : 在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否 有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^點(diǎn)可以利用 ; #新的學(xué)習(xí) 材料和起固定作用的觀念之間的可辨別程度 ; 原 有起固定作用的觀念的固定性和清晰性。(4 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不是

6、一種消極的組織 , 而是 一種積極的組織 , 它在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中 , 乃至一般 的認(rèn)知活動(dòng)中發(fā)揮著作用。形成了一定的數(shù)學(xué)認(rèn)知 結(jié)構(gòu)后 , 一旦大腦接受到新的數(shù)學(xué)信息 , 人們就能120不自覺地 , 甚至是自覺地用相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新信 息進(jìn)行處理和加工。(5 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié) 構(gòu)是 一個(gè) 不斷 變化 的動(dòng)態(tài) 組 織。隨著數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的進(jìn)行 , 學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不 斷分化和重組 , 并逐漸變得更加精確和完善。正是 因?yàn)閿?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有這樣的特點(diǎn) , 所以通過數(shù)學(xué) 教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和發(fā)展。(6 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中形成和 發(fā)展起來的。(7 從功能上說 , 學(xué)生既能借助已有的認(rèn)知結(jié)

7、構(gòu)去掌握現(xiàn)有的知識(shí) , 又能借助原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng) 造性地去解決問題。 1 2數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的一個(gè)中心心 理成分 , 學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是通過同化和順 應(yīng)兩種方式去建構(gòu)的 , 同化和順應(yīng)是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知 的基本方式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中 , 同化是指學(xué)生利用原有數(shù)學(xué)認(rèn) 知結(jié)構(gòu)對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)改造 , 然后將改造 后的數(shù)學(xué)知識(shí)直接納入認(rèn)知結(jié)構(gòu) , 擴(kuò)大原有認(rèn)知結(jié) 構(gòu) , 使數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生量變的過程。從同化的意 義不難看出 , 同化學(xué)習(xí)的必要條件是所學(xué)習(xí)的新知 識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)觀念有實(shí)質(zhì)的、非人為 聯(lián)系 , 即原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有能夠同化新知識(shí)的適當(dāng) 觀念。

8、很明顯 , 同化主要適用于那些與舊知識(shí)有密 切聯(lián)系的新知識(shí)的學(xué)習(xí)。順應(yīng)是指某些新知識(shí)不能直接同化到學(xué)生原有 認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去 , 必須適當(dāng)調(diào)整或改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu) 使其適應(yīng)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。在此基礎(chǔ)上將新知識(shí)納入 改造后的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去 , 從而建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié) 構(gòu)的過程。簡言之 , 順應(yīng)就是改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)而 建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。如果說同化是促進(jìn)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)量變從而擴(kuò)大認(rèn) 知結(jié)構(gòu)內(nèi)容的 過程 , 那么順應(yīng)則是使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)變從而建立新 的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。順應(yīng)主要適用于那些與舊 知識(shí)沒有直接聯(lián)系的新知識(shí)的學(xué)習(xí)。心理學(xué)研究表 明 , 在學(xué)習(xí)中 , 學(xué)生用順應(yīng)的方式改造原有認(rèn)知結(jié) 構(gòu)接納新

9、知識(shí)主要是通過兩種途徑去實(shí)施的 :一是 調(diào)整 , 二是并列。所謂調(diào)整 , 就是改變?cè)姓J(rèn)知結(jié) 構(gòu)的組織形式 , 或賦予原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中某些觀念以 新的意義 , 使之與新知識(shí)相適應(yīng) , 并以此為固定點(diǎn) 接納新知識(shí)。所謂并列 , 就是賦予新知識(shí)和認(rèn)知結(jié) 構(gòu)中某些原有觀念以一定意義的外在聯(lián)系 , 并把新 知識(shí)與舊知識(shí)聯(lián)結(jié)成一定的結(jié)構(gòu)。綜上所述 , 同化和順應(yīng)是認(rèn)知過程中學(xué)生原有 的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用的兩種不同 形式 , 它們往往存在于同一學(xué)習(xí)過程中 , 只是各自 側(cè)重不同而已。如果說同化是改造新學(xué)習(xí)內(nèi)容使其 與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相吻合的話 , 那么 , 順應(yīng)則是改組 學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以適應(yīng)新

10、學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要。在 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中 , 同化和順應(yīng)總是相輔相成、互為補(bǔ)充 的。一方面在改造新學(xué)習(xí)內(nèi)容的同時(shí) , 學(xué)生也必須 適當(dāng)調(diào)整自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu) , 使新學(xué)習(xí)內(nèi)容與原 有認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加吻合 ; 另一方面學(xué)生在調(diào)整原有認(rèn) 知結(jié)構(gòu)的同時(shí) , 也總是要對(duì)新學(xué)習(xí)內(nèi)容作適當(dāng)改造 , 將其改造成更有利于接納的形式 , 從而保證原有認(rèn) 知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的相互適應(yīng)。 1 3認(rèn)知理論與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的模式根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論 , 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù) 學(xué)認(rèn)知過程 , 即新的學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié) 構(gòu)相互作用 , 形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。依據(jù) 學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化 , 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的一般模式見 圖 1。 圖

11、1 數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)過程的一般模式從圖 1可以看出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 過程包括三個(gè)階 段 :輸入階段、新舊知識(shí)相互作用階段和操作階段?；趯W(xué)習(xí)認(rèn)知理論 , 國內(nèi)在學(xué)界進(jìn)行了積極的 探索和實(shí)踐。 2001年貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與跨文化數(shù) 學(xué)教育研究所汪秉彝、呂傳漢兩位教授開展了中小 學(xué) 數(shù)學(xué)情境 與提出 問題 ! 教學(xué) , 其相 關(guān)成果 于 2004、 2007年分別刊載于數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)、貴州師范 大學(xué)學(xué)報(bào)上。1-2這種教學(xué)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題意識(shí)以促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)的形成 , 重視培養(yǎng)問題解決能力 以促進(jìn)創(chuàng)新能力的提高 , 在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng) 用意識(shí)和應(yīng)用 能力 , 這些教學(xué)理念和教學(xué)目的正

12、迎合了高等數(shù)學(xué)教學(xué)的 需要。 2009年褚海峰對(duì) 情境 問題 ! 教學(xué)模式進(jìn) 行修 改 與 補(bǔ) 充 , 將 其 推 廣 與 運(yùn) 用 到 高 等 數(shù) 學(xué) 教 學(xué)中。31212 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本形式2 1數(shù)學(xué)概念形成所謂數(shù)學(xué)概念形成 , 是指在教學(xué)條件下 , 從大 量的實(shí)際例子出發(fā) , 經(jīng)過比較、分類 , 從中找出一 類事物的本質(zhì)屬性 , 然后再通過具體的例子對(duì)所發(fā) 現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn) , 最后通過概括得到定義并用符 號(hào)表達(dá)出來。這種獲得數(shù)學(xué)概念的方式叫做數(shù)學(xué)概 念形成。數(shù)學(xué)概 念形成的過程 可以分為觀察實(shí) 例、 分析共同屬性、抽象本質(zhì)屬性、確認(rèn)本質(zhì)屬性、概 括定義、符號(hào)表示、具體運(yùn)用等階段。概念

13、的形成 揭示了概念如何通過個(gè)體思維活動(dòng) , 構(gòu)建成個(gè)體的 知識(shí)。例如導(dǎo)數(shù)的概念 , 就可利用數(shù)學(xué)概念形成的 方式進(jìn)行建構(gòu)。2 2 數(shù)學(xué)概念同化所謂數(shù)學(xué)概念同化 , 是指在課堂學(xué)習(xí)的條件下 , 利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn) , 以定義的方式 直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬性 , 從而使學(xué)生獲得新 概念。這種獲得數(shù)學(xué)概念的方式叫做數(shù)學(xué)概念同化。 用數(shù)學(xué)概念同化的方式進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時(shí) , 要求 學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備一定的概念 , 并能積極地進(jìn) 行認(rèn)知活動(dòng) , 將新概念的本質(zhì)屬性與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu) 中的適 當(dāng)概念 相聯(lián) 系 , 明 確新 概念 是原 有概念 的 限定 ! , 并能把它從原有概念中分離出來 ,

14、 把新概 念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念融合在一起 , 納入 認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)過程可以分為 揭示本質(zhì)屬性、討論特例、新舊概念聯(lián)系、實(shí)例辨 認(rèn)、具體運(yùn)用等階段。例如數(shù)列概念的建立 , 通常 采用概念同化的方式進(jìn)行。數(shù)學(xué)概念形成與數(shù)學(xué)概念同化是有區(qū)別的。數(shù) 學(xué)概念形成主要依靠的是對(duì)具體事物的抽象 , 而數(shù) 學(xué)概念同化則主要依靠的是學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系 ; 數(shù)學(xué)概念形成與人類自發(fā)形成概念的方式接近 , 而 數(shù)學(xué)概念同化則是具有一定心理水平的人自覺學(xué)習(xí) 概念的主要方式。高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中 , 數(shù)學(xué)概念同化 成為獲得數(shù)學(xué)概念的主要方式 , 但對(duì)較難理解的或 新學(xué)科開始時(shí)的一些數(shù)學(xué)概念 , 仍然

15、采用數(shù)學(xué)概念 形成的學(xué)習(xí)方式。由于數(shù)學(xué)的高度抽象性與概括性 , 教學(xué)實(shí)踐中往往依據(jù)學(xué)習(xí)者個(gè)體的認(rèn)知差異 , 把兩 者有機(jī)結(jié)合起來學(xué)習(xí) , 使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)較快 地理解概念所反映事物的本質(zhì)屬性。2 3數(shù)學(xué)概念的順應(yīng)如果認(rèn)識(shí)主體把已有圖式中的信息作用于環(huán)境 , 使主體主動(dòng)適應(yīng)環(huán)境 , 并根據(jù)環(huán)境調(diào)節(jié)原有的圖式 使之更加合理 , 就是順應(yīng)。順應(yīng)是對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu) 進(jìn)行改造或重組 , 形成一種與新概念相適應(yīng)的新的 結(jié)構(gòu) , 從而對(duì)新概念進(jìn)行同化的方式。如關(guān)于 矩 陣乘法 ! 的概念 , 在學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中 , 已有 了 矩陣加減法 ! 概念 , 而 矩陣加減法 ! 與 矩 陣乘法 ! 有相當(dāng)大的

16、距離 , 這時(shí)學(xué)生會(huì)從 矩陣乘 法 ! 概念的特點(diǎn)、性質(zhì)出發(fā) , 建立新圖式 , 使主觀 順應(yīng)客觀 , 從而掌握新概念 , 進(jìn)而弄清楚為什么要 這么定義 矩陣乘法 ! , 這樣做有什么作用等。 2 4數(shù)學(xué)概念的異化異化 ! 是皮亞杰 圖式理論的重要 概念。 異 化 ! 就是把外界的信息歸入已有的圖式 , 使圖式不 時(shí)擴(kuò)展。異化是與同化有區(qū)別而又有聯(lián)系的一種更 高水平理解概念的方式 , 強(qiáng)調(diào)在理解概念時(shí)認(rèn)知主 體主動(dòng)修正自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或?qū)Ω拍畹恼`進(jìn)行分 辨從而提高認(rèn)知水平或有創(chuàng)建 地理解概念的 方式 , 從而達(dá)到概念的鞏 固。一種概 念的擴(kuò)展過程 當(dāng)中 , 由于范圍擴(kuò)大了 , 新舊概念之間除了

17、共同之處又增 添了不同之處時(shí)往往用到數(shù)學(xué)概念的異化。如從實(shí) 數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)展 ; 從一元函數(shù)到多元函數(shù)、定積分 到重積分 , 在原來一元函數(shù)、定積分的基礎(chǔ)上增加 了新的概念和性質(zhì) , 從而改造了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 3 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)代研究進(jìn)展在現(xiàn)代哲學(xué)、心理學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論、數(shù)學(xué)研究 方法等最新領(lǐng)域研究成果基礎(chǔ)上 , 進(jìn)年來以高層次 數(shù)學(xué)思維為焦點(diǎn)對(duì)高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行了細(xì)致 地分析 , 提出了包括 概念意象與概念定義 ! 、 概 念網(wǎng)絡(luò) ! 與 概念域 ! 、 概念的過程與對(duì)象 ! 在內(nèi) 的一系列新觀點(diǎn)與新假設(shè) , 以及一些新的數(shù)學(xué)思想。 學(xué)界對(duì)高等數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的研究和認(rèn)識(shí)升華到一個(gè) 新的高度

18、 , 大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)研究的發(fā)展。 隨著教育理念由 行為主義向認(rèn) 知主義的轉(zhuǎn) 變 , 認(rèn)知論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論的基石 , 因此關(guān)于聯(lián)系 與網(wǎng)絡(luò)的觀點(diǎn)便被引入數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中。一方面 共同點(diǎn)是把人類的大腦看作含有 結(jié)點(diǎn)和連接的一 個(gè)巨大的網(wǎng)絡(luò) , 許多特殊的結(jié)點(diǎn)和連接群體是它的 組成部分 ! 即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論 4; 另一方面 , 又 從皮亞杰等人的主要觀點(diǎn)擴(kuò)展成為頗具代表性的現(xiàn) 代信息網(wǎng)絡(luò)理論。高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與初等數(shù)學(xué) 概念學(xué)習(xí)的主要區(qū) 別是激活網(wǎng)絡(luò) , 強(qiáng)化概念 理解 , 而不緊緊是記憶事實(shí) , 背誦概念。數(shù)學(xué)概念的理解 就是建立網(wǎng)絡(luò) , 如果它的智力表示成了表示網(wǎng)絡(luò) 的部分 , 說一

19、個(gè)數(shù)學(xué)的概念、方法或事實(shí)是徹底理 解了 , 是指和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)是由更強(qiáng)的或更多的聯(lián)系 聯(lián)結(jié)著。 ! 5自從在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論中引進(jìn)聯(lián)系和網(wǎng)絡(luò)以來 , 許多研究者關(guān)注到它們對(duì)概念學(xué)習(xí)的影響。其中最122具代表性的當(dāng)屬 V er gnaud 提出的概念域思想 , 一 個(gè)概念域 (conceptual field 是有待處理的一組問題 與情境 , 對(duì)這些問題與情境的處理需要概念、程序 以及不同的但有緊密相連的各 種表征形式 ! 6這種 思想與其它研究中提出的概念意象、概念定義完全 不同 , 它聚焦于概念間的內(nèi)在聯(lián)系。4 高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)實(shí)踐4 1把握數(shù)學(xué)概念的難點(diǎn)與新點(diǎn)高等數(shù)學(xué)中存在著傳統(tǒng)公認(rèn)的難點(diǎn)

20、, 如極限的 概念、微分的定義、泰勒定理等。從數(shù)學(xué)概念建構(gòu) 角度看 , 難點(diǎn)之難 , 是由于沒有找到最好、最適合 的表達(dá)方式。只要依據(jù)學(xué)習(xí)心理學(xué) , 通過創(chuàng)造性的 改造 , 比如通過數(shù)學(xué)概念的順應(yīng)方式尋求最佳的概 念表達(dá)方式和最便于掌握的方法 , 就可化解難點(diǎn)。 所謂 新點(diǎn) ! , 是指與學(xué)生已有的 知識(shí)和經(jīng)驗(yàn) 相去甚遠(yuǎn)的內(nèi)容 , 如連續(xù)的定義、多元函數(shù)、無窮 級(jí)數(shù)、梯度等。這些對(duì)于初次接觸高等數(shù)學(xué)的學(xué)生 來講 , 在知識(shí)內(nèi)容 上就是 新點(diǎn) ! 。如果對(duì) 新點(diǎn)處 理不當(dāng) , 易導(dǎo)致新知識(shí)與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的沖突 , 使 學(xué)生感到無所適從 , 影響學(xué)習(xí)效果。因此在學(xué)習(xí)新 概念時(shí) , 要充分考慮已有的

21、知識(shí)結(jié)構(gòu) , 充分發(fā)揮學(xué) 習(xí)過程中的正遷移作用 , 防止負(fù)遷移 , 做到新舊概 念的平穩(wěn)相接 , 順利過渡 , 減少可能出現(xiàn)的感知錯(cuò) 誤 , 以確保學(xué)習(xí)效果。4 2逆向思維 , 深刻理解概念當(dāng)直接認(rèn)識(shí)一事物比較困難時(shí) , 從事物的反面 入手來了解認(rèn)識(shí)事物 , 往往會(huì)對(duì)學(xué)生的思維產(chǎn)生很 強(qiáng)的沖擊 , 達(dá)到很好的學(xué)習(xí)效果。比如學(xué)習(xí)連續(xù)的 定義時(shí) , 可從連續(xù)的反面 不連續(xù) ! 入手 , 一步步 理解連續(xù)定義。第一步 , 給出函數(shù)在一點(diǎn)無定義而 間斷的例子 , 得出函數(shù)在一點(diǎn)有定義是函數(shù)在該點(diǎn) 連續(xù)的必要條件的結(jié)論 ; 第二步 , 給出函數(shù)在一點(diǎn) 有定義但極限不存在而間斷的例子 , 得出函數(shù)在一 點(diǎn)

22、極限存在是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 的必要條件的結(jié) 論。 這樣就把 連續(xù) ! 與 極限 ! 聯(lián)系在一起 , 深刻理 解函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義。通過對(duì)連續(xù)反面 不 連續(xù) ! 的討論 , 更清晰地看清了連續(xù)的本質(zhì) , 這種 學(xué)習(xí)達(dá)到了新舊概念的平穩(wěn)相接 , 順利過渡 , 促進(jìn) 學(xué)生認(rèn)知水平的提升。4 3創(chuàng)設(shè)情景 , 提出問題 , 形成概念數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)世界又反映現(xiàn)實(shí)世界 , 數(shù)學(xué)概 念的高度抽象只是在形式上與現(xiàn)實(shí)相對(duì)立 , 在內(nèi)容 上卻與現(xiàn)實(shí)的世界有著密切聯(lián)系 , 許多抽象的數(shù)學(xué) 概念、數(shù)學(xué)思想 , 可以在現(xiàn)實(shí)世界中找到它們的原 型。例如導(dǎo)數(shù)概念的原型是變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速 度、平面曲線的斜率 ; 微分概念

23、的原型是自由落體 由初始時(shí)刻到指定時(shí)刻所經(jīng)過路程的近似值 ; 定積 分概念的原型是曲邊梯形面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路 程 ; 函數(shù)最值的原型是用料最省、效率最高 ; 二重 積分的原型是曲頂柱體的體積 ; 級(jí)數(shù)的原型是無數(shù) 個(gè)離散量之和。雖然從數(shù)學(xué)的歷史來看 , 數(shù)學(xué)的產(chǎn) 生存在著兩個(gè)起點(diǎn) , 即以實(shí)際問題為起點(diǎn)和以理論 問題為起點(diǎn) , 但歸根結(jié)底 , 數(shù)學(xué)的最終起點(diǎn)還是現(xiàn) 實(shí)世界 , 它更多地來自人類的問題提出和問題解決 , 是人類力圖對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的最本質(zhì)的和最一般的反映。 正是數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景知識(shí) , 揭示了數(shù)學(xué)概念的 現(xiàn)實(shí)意義 , 為數(shù)學(xué)的應(yīng)用做好了鋪墊。4 4新舊聯(lián)系 , 利用類比 , 引入

24、概念所謂類比 , 就是借助于兩類不同本質(zhì)事物之間 的相似性 , 通過比較將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊 對(duì)象的知識(shí)推移到另一種新的特殊對(duì)象上去的推理 手段。當(dāng)兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)中某些對(duì)象間的關(guān)系存在一 致性或者某些對(duì)象間存在同構(gòu)關(guān)系 , 或者一對(duì)多的 同態(tài)關(guān)系時(shí) , 便可對(duì)這兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)進(jìn)行類比。極 限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)、微分方程均 有線性性質(zhì) (共性 , 而這個(gè)共性 可以升華到線性 算子的理 論上 ; 還有幾 類積分 的類同 性 (對(duì)象 不 同 , 但處理方式相同 , 從而體現(xiàn)元素法的重要性 、 多元與一元微積分 (點(diǎn)與 線或線與面的關(guān)系 , 各 類級(jí)數(shù)與廣義積分 (類似的收斂發(fā)散概念及類

25、似的 判別法 , 各類微分方程求解 (各種變換 等等都 具有很豐富的類比性 ; 又如 , 各種中值定理、微分 與積分的幾何類比、物理類比等。通過類比把新舊 知識(shí)聯(lián)系起來 , 有利于加深對(duì) 概念的理解和 記憶 , 加強(qiáng)掌握知識(shí)的系統(tǒng)性 , 使學(xué)生循序漸進(jìn)地將基本 知識(shí)學(xué)到手 , 實(shí)現(xiàn)知識(shí)的 正遷移 ! 。4 5建立良好的概念網(wǎng)絡(luò)體系數(shù)學(xué)概念的發(fā)展是體系化、網(wǎng)絡(luò)狀的發(fā)展。個(gè) 體的數(shù)學(xué)概念通過改變內(nèi)涵與外延獲得發(fā)展 , 發(fā)展 的新概念與原有概念形成概念體系 , 個(gè)別概念既反 映自身來自于其它概念的關(guān)系 , 也反映來自系統(tǒng)的 整體性質(zhì)。這種特殊與一般的對(duì)立統(tǒng)一 , 亦是數(shù)學(xué) 概念的思辯性之一 , 認(rèn)識(shí)

26、這種思辯性 , 才能把握住 概念的本質(zhì)。 7例如 , 積分學(xué)中的定積分、重積分、兩類曲線 積分、兩類曲面積分的概念之間的關(guān)系、異同就是 這方面典型的例子。首先 , 積分實(shí)質(zhì)上是空間幾何體上不均勻分布 的量的和 , 定義這種 和 ! 的思想就是把幾何體進(jìn) 行分割 , 分割后在每一局部以常量代變量近似求和 , 123然后讓分割無限加細(xì)加密 , 變化過程中使分出的每 小塊的度量都趨于 零 , 近似和 的極限就為精確 和。 用以下幾個(gè)詞可以簡單形象地概括積分的實(shí)質(zhì) :化 整為零 , 以常代變 , 積零為整 , 取極限。其次 , 又可以利用積分區(qū)域的變化使得積分從一維空間推廣進(jìn)入到二維、三維空間直至更高

27、維空 間 , 得到積分的分類。再利用格林公式、高斯公式、 斯托克斯公式等建立起了各種積分之間的關(guān)系 , 建 立起如圖 2所示的概念網(wǎng)絡(luò)體系 , 使得單個(gè)積分概 念不再是孤立的。8 圖 2 各種積分之間概念網(wǎng)絡(luò)體系參考文獻(xiàn) :1 楊孝 斌 , 汪 秉彝 中小 學(xué) 數(shù)學(xué)情 境與 提出 問題 ! 教學(xué)探析 J.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) , 2004, (4 :84-872 呂傳 漢 , 汪 秉彝 中小 學(xué) 數(shù)學(xué)情 境與 提出 問題 ! 教學(xué)的理論基礎(chǔ)及 實(shí)施 策略 J.貴 州師 范大 學(xué)學(xué) 報(bào) :自然 科學(xué)版 , 2007, (1:95-1003 褚海峰 情境 問題 ! 教學(xué)模 式在高等數(shù) 學(xué)教學(xué)中的推廣與運(yùn)用

28、 J.科教文匯 , 2009, (3:140-141 4 德 R o lf B ieh l e r 數(shù)學(xué)教學(xué)理論是一門科學(xué) M 唐瑞芬 , 等 譯 上海 :上海教育出版社 , 1998:162 5美 格勞斯 數(shù)學(xué)教與學(xué) 研究手冊(cè) M 陳昌 平 , 等 譯 上海 :上海教育出版社 , 1999:1366 美 理查德 萊什 數(shù)學(xué) 概念和 程序 的獲 得 M .孫昌 識(shí) , 等 譯 濟(jì)南 :山東教育出版社 , 1991:141 7 譚奕 數(shù)學(xué) 概念 教 學(xué) J.數(shù) 學(xué) 教育 學(xué)報(bào) , 1995, (3:70-728 劉玉璉 , 傅沛仁 , 等 數(shù)學(xué)分 析講義 M.北 京 :高等教育出版社 , 2003M at he matics Cognitive Struct ure and Its Concept Learni ng :Taki ng t he H igherM at he m atics Concept as a C