數(shù)學學習中的聯(lián)結及導向

1、數(shù)學學習中的聯(lián)結及導向    【摘要】學習是一種聯(lián)結。認為聯(lián)結是從嘗試錯誤刺激反應的發(fā)展到有意義的學習。通過對兩種理論在實踐中進行分析，其特質是先進與落后的區(qū)別。數(shù)學學習實際上是尋求“中間變量”，構建數(shù)學認知結構的過程。而目前教學中還眾多停留在嘗試錯誤的低級層次上，與培養(yǎng)發(fā)展型的高素質人才不相容。以數(shù)學知識結構為基礎，以學生原有不同的的數(shù)學認知結構為出發(fā)點，以學生發(fā)展為目標達到構建學生的認知結構，作為促進學生有意義的聯(lián)結的三大導向策略。 【關鍵詞】數(shù)學學習 聯(lián)結 認知結構 導向策略 一、引 言 全日制義務教育新數(shù)學課程標準明確指出：“有效的數(shù)學學習活動不

2、能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生“在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗?！边@實際上從一個角度要求數(shù)學教師，要重視學生的認知學習。但在實際教學中，還未重視認知結構的研究運用。尤其到了復習階段，連續(xù)不斷的向學生發(fā)放復習試卷和機械地向學生布置復習題給予強化，以達到反應結果?；蛘咴谄綍r教學中，讓學生死記一些結論，不注重“有意義的學習”。學生的學習似乎還停留在“sr”階段。這種簡單的操作方法在短時間內能使考試成績上去，但代價是學生沉重的學習負擔，并造成學生思維僵化，不利于培養(yǎng)“發(fā)展型”人才，與素質教育背道而馳。如學生對于絕對值概念，

3、只知道a是a絕對值，而不明白它的真正內涵。沒有通過學生生活中已建立起來的認知概念與數(shù)學內容的新認知結構進行聯(lián)結。結果是造成對絕對值概念理解的是似而非。本文就數(shù)學學習的聯(lián)結問題及導向策略上作一些探索。 二、關于聯(lián)結理論 數(shù)學學習是什么過程？“人類的學習總是以一定的經驗和知識為前提，是在聯(lián)想的基礎上，更好地理解和掌握新知的。” 數(shù)學學習也不例外，這里的聯(lián)想即為知識的聯(lián)結過程。 關于聯(lián)結，理論上的研究，目前有兩大派別。一是以美國心理學家桑代克為代表的聯(lián)結主義的行為學習理論。二是以美國心理學家布魯納和奧蘇伯爾為代表的認知學派學習理論。桑代克的主要觀點是，學習就是作嘗試錯誤。如果把當今的學習刺激設為s，

4、學習反應設為r，學習就是sr的聯(lián)結過程。它是在動物實驗的基礎上提出的，是一種盲目的嘗試。通過不斷嘗試，出現(xiàn)錯誤，不斷矯正，從中學會知識和技能。 而認知學派認為，學習就是知覺的重新組合，這種知覺經驗變化過程不是簡單的“sr”過程，而是突然的“頓悟”，強調“情景的整體關系”。而以美國心理學家托而曼為代表的觀點進一步認為，在 s與r之間應該有一個“中間變量”，即認知和目的，學習是期待，就是對環(huán)境的認知。因而，學習過程是一個sor的過程。布魯納和奧蘇伯爾還把它進行了發(fā)展為現(xiàn)代認知理論，認為“學習就是類目即及其編碼系統(tǒng)的形成?！彼粌H批評sr直接、機械的聯(lián)結，而且提出學習存在一個認識過程，是認知結構的重

5、新組合。強調原有的認知結構的作用，也強調學習材料本身的內在聯(lián)系。把內在聯(lián)系的材料和學生原有的認知結構聯(lián)結起來，新舊知識發(fā)生作用，新材料在學生的頭腦中達成“內化”，學會了對“sor”中的“o”的捕捉，成為真正的意義的聯(lián)結，或者說學生對新材料有了深刻地理解和超越。 顯然，在不同的時代，上述理論對數(shù)學教育都有積極的貢獻。但時至今日，在數(shù)學教育中，我們不能不重視，數(shù)學學習重要的應該是認知學習，它是一個建立學生心理內部學習機制的過程。這里要明白三點：學生學習數(shù)學，一要利用學生原有的認知結構，二要重視學生一定年齡階段的心理發(fā)展水平，三要充分考慮不直接參與的情感、意志、興趣等問題。 三、數(shù)學學習的兩種聯(lián)結思

6、想剖析 下面結合教學實踐，說明“sr”與認知結構連結之間的各自意義。 例：如圖，已知在o內接abc中，d是ab上一點，ad=ac，e是ac的延長線上一點，ae=ab，連結de交o于p，延長ed交o于q.求證：ap=aq. 按“sr”的行為主義聯(lián)結理論，可以讓學生直接操作。這時，學生可能不去仔細審題。由圖形“先入為主”，不斷嘗試，不斷碰壁，然后再回頭去審題。在點、線、角、三角形、圓的離散圖形中不斷產生錯誤。偶而碰上解題思路，才得到問題的解決。之后，再不去認識、總結。下次在碰上此題，又重新錯誤嘗試。顯然，這樣的問題解決法，造成精力的極大浪費，所學知識也難以鞏固。平時，我們老師經常說：“此題我讓學生

7、解過，還做不出！”原因在于“sr”聯(lián)結不是“有意義的學習”，沒有找出新舊知識之間的內在聯(lián)結，沒有建立學生的新的認知結構。 而利用認知結構理論思考，首先是認真審題，進入“上位學習”，對自己提問： 1、見過這個問題嗎？見過與其類似的問題嗎？用到那些基礎知識？（圖類似？還是條件類似？還是結論類似？） 2、見過與之有關的問題嗎？（能利用它的某些部分嗎？能利用它的條件嗎？能利用它的結論嗎？引進什么輔助條件，以便利用？） 以此，把原建立的認知結構中的全等三角形、圓周角性質、等腰三角形的判定等舊知加以調運。在此基礎上，使學生進入“下位學習” 然后，盯住目標始終盯住要證的結論ap=aq。就是要明確方向，哪怕中

8、間狀態(tài)不斷變化，但始終與目標比較，及時調整自己的思路，建立“認知地圖”，以不迷失方向。其基本框架如下： 有什么方法能夠達到目標？（1、達到的目標的前提是什么？2、能實現(xiàn)其中的某個前提嗎？3、實現(xiàn)這個前提還應該怎么辦？） 如上題，我們不妨采用逆向分析進行探索。這是認知策略的其中一條有效途徑： ap=aq（目標） aqp=apq（前提） 以下為實現(xiàn)前提需找中間量， 即aqp=中間量=apq.這時, 逆向分析無法進行,此時一般就是添輔助線的時候,轉化圓周角aqp,連結bp,即有 aqp=abp. 因此,只要證明abp=apq. 由于abp=abc+pbc,apq=e+pac, 而pbc=pac,所以

9、,只要證abc=e,即證abcaed. (以下略) 這樣，學生在原有的認知結構思維水平基礎上發(fā)展他的聯(lián)想思維，使新舊知識加以聯(lián)結，找到證題方法，達到解決問題，建立起新的認知結構。 因此，我們在教學中，一定要把精力化在建立學生認知結構的工夫上，善始善終加以引導。少用或不用“sr”這種“嘗試錯誤”的機械方法，多用科學成功的嘗試，引導學生認真尋求“中間變量”，努力使學生的新舊知識加以聯(lián)結，促進學生的數(shù)學素養(yǎng)不斷提高。四、數(shù)學學習聯(lián)結的教學策略 事實上就學習者對數(shù)學問題的解決，無論是數(shù)學概念的形成、數(shù)學技能的掌握，還是數(shù)學能力的培養(yǎng)，都是學習者由未知到已知的聯(lián)結過程，即“sr”的聯(lián)結過程，重要的是尋求

10、“中間變量o”，從而構建數(shù)學認知結構。所謂數(shù)學認知結構，就是學生通過自己主動的認識而在頭腦里建立起來的數(shù)學知識結構?？梢赃@樣說，數(shù)學學習的聯(lián)結過程，就是數(shù)學認知建構的過程，學會自覺主動的尋求“中間變量”。最終達到解決問題的目的的過程。那么，在這一過程中數(shù)學學習究竟有那些規(guī)律可循？說具體一點有那些主要途徑，這里談一些粗淺的認識。 策略之一：以數(shù)學知識結構為基礎，構建學生的數(shù)學認知結構 學習過程就其本質而言是一種認識活動。因此，數(shù)學教學的根本任務是發(fā)展學生的數(shù)學認知結構，首先應明確：數(shù)學認知結構是由數(shù)學知識結構轉化而來的；要建立學生的數(shù)學認知結構，首先必須以數(shù)學知識結構為基礎，進行開發(fā)、利用，從而

11、轉化為學生的數(shù)學的認知結構。著重把握以下三個方面： （1）加強數(shù)學知識的整體聯(lián)系。數(shù)學是一個有機整體，各知識相互聯(lián)系，教學中教師對數(shù)學知識的組織應能促進學生從前后聯(lián)系上下照應的角度對數(shù)學知識進行整體性構建從而在頭腦中形成經緯交織的知識網絡，這是一種“情景的整體關系”。對于一個具體的數(shù)學問題，應該感知有效的信息。如在本文第二部分的例題分析中提出的第1、第2個問題，就是尋求有效信息，找其聯(lián)結點；對于“準類”的一塊知識，要注意縱向聯(lián)結。如函數(shù)，初一年級學習一次式、一元一次方程、二元一次方程組時，就要向學生滲透函數(shù)思想，初二學習正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)，要回首前面知識與函數(shù)的聯(lián)系，并在學習一元

12、二次方程時，自然與二次函數(shù)聯(lián)結作準備。到了初三，初中數(shù)學的“四個二次”（二次式、二次方程、二次不等式、二次函數(shù)）有機地綜合聯(lián)結；對于一章知識，要讓學生逐步自己小結，構成知識網絡，輸入大腦，形成數(shù)學認知結構。 （2）注意揭示數(shù)學思維過程。數(shù)學被稱為“思維的體操”，但是數(shù)學的思維價值和智力價值是潛在的，決不是自然形成的，也不是靠教師下達指令能創(chuàng)造出來的，課堂教學中，教師應精心創(chuàng)設問題情景，引導啟發(fā)學生積極思維，其間應注意兩個環(huán)節(jié)：制造認知沖突充分揭示學生的思維過程，即使新的需要與學生原有的數(shù)學水平之間產生認知沖突。傳統(tǒng)的教學在教師分析討論解題時，往往思路理想化、技巧化、脫離學生的認知規(guī)律，忽視了學

13、生的思維活動，導致學生一聽就懂，一做即錯。學生無法達到真正的連結。為此，在引導學生學習中，為了使學生聯(lián)結中，必須充分估計知識方面的缺陷和學的思維心理障礙，揭示他們的思維過程，從反面和側面引起學生的注意和思考，使他們在跌到處爬起來，在認知沖突中加強聯(lián)結。稚化自身思維充分揭示教師的思維過程。即教師啟發(fā)引導要與學生的思維同步，切不可超前引路，越俎代皰。如果教師在教學中，對于各類問題，均能“一想即出，一做就對”，尤其是幾何證明題，輔助線新手拈來，或者把自己的解題過程直接拋給學生，使學生產生思維惰性，遇到新的問題情景，往往束手無策。只有通過教師的多種方式的啟發(fā)，稚化自身，象學生學習新知識的過程一樣展開教

14、學，把自己認識問題的思維過程充分展示，接近學生的認知勢態(tài)，學生才能真正體會、感受到數(shù)學知識所包含的深刻的思維和豐富的智慧。開發(fā)解題內涵充分揭示數(shù)學發(fā)展的思維過程。在引導學生學習中，除了學生、教師的思維活動外，還存在著數(shù)學家的思維活動，即數(shù)學的發(fā)展思維過程。這種過程與經過邏輯組織的理論體系是不同的。如果將課本內容照搬到課堂上學生就無法領略到數(shù)學家精湛的思維過程。學生要吸取更多的營養(yǎng)，必須經自身的探索去重新發(fā)現(xiàn)。這就需要教師幫助學生開發(fā)數(shù)學問題的內涵，努力使學生的整理性思維方式變?yōu)樘剿餍运季S方式，有效地使學生從數(shù)學知識結構出發(fā)，構建新的認知結構。 （3）有機滲透數(shù)學思想方法。所謂數(shù)學思想方法就是數(shù)

15、學活動的基本觀點，它包括數(shù)學思想和數(shù)學方法。數(shù)學思想是教學思維的“軟件”，是數(shù)學知識發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和提升，是對數(shù)學規(guī)律更一般的認識，它蘊藏在數(shù)學知識之中，需要教師引導學生去挖掘。而挖掘的過程就是數(shù)學認知結構形成的過程，也就是數(shù)學學習的最佳連結過程。數(shù)學方法是數(shù)學思維的“硬件”，它們是數(shù)學知識不可分割的兩部分。如字母代數(shù)思想、集合映射思想、方程思想、因果思想、遞推思想、極限思想、參數(shù)思想、變換思想、分類思想等。數(shù)學方法包括一般的科學方法觀察與實驗、類比與聯(lián)想、分析與綜合、歸納與演繹、一般與特殊，還有具有數(shù)學學科特點的具體方法配方法、換元法、屬性結合法、待定系數(shù)法等等æ。這就

16、要求在數(shù)學知識教學的同時，必須注重數(shù)學思想，數(shù)學方法的有機滲透，讓學生學會對問題或現(xiàn)象進行分析、歸納、綜合、概括和抽象等。只有這樣，才能有助于學生一個活的數(shù)學知識結構的形成?，F(xiàn)舉一例： 例：如圖，在線段ab上有三個點c1，c2，c3，問圖中有多少條線段？若線段ab上有99個點，則有多少條線段？ a c1 c2 c3 b 探索分析：如果一條一條數(shù)，這是一種思想方法；如果ab上有99個點就得另辟溪徑；假如一開始要你對后一種比較復雜的情況作出回答，就必須回到簡單情況去考慮，這就是一般到特殊、簡單到復雜的數(shù)學方法，也就是“以退求進”的變換思想； 當有1個點c1時，有線段ac1，ab， c1a，共有2+

17、1=3條； 當有2個點c1c2時，有線段ac1，ac2，ab，c1c2，c1b，c2b，共有3+2+1=6條； 當有3個點c1c2c3時，有線段ac1，ac2，ac3，ab，c1c2，c1c3，c1b，c2c3，c2b，c3b共有4+3+2+1=10條； 當有99個點時，共有線段100+99+98+3+2+1=5050條. 這里用到了重要的歸納思想。 策略之二：以學生的層次性出發(fā)，引導學生構建新的數(shù)學認知結構 一方面，認知結構總是在學生頭腦中進行建構的。學生學習活動的主動性，自覺性是建構認知結構的精神力量；另一方面，認知結構總是不斷發(fā)生變化的，原有認知結構是構建新認知結構的基礎，新認知結構是原

18、認知結構的發(fā)展與完善。因此教師應積極探索在課堂教學中根據(jù)學生實際按層次引導他們去構建數(shù)學認知結構。 （1）對整體水平較高的班級集體，由于學生有較豐富的知識積累，具有較強的形成“思維鏈”的能力，因而可采用快（教學節(jié)奏）、多（問題系列）、變（習題豐富多變）等思路進行教學，啟發(fā)學生的思維向縱深發(fā)展，培養(yǎng)學生思維的敏捷性和獨創(chuàng)性。促進以高效快速建構。（2）對學生基礎和發(fā)展水平中等的班級集體，教師應以課本為本，按教材本身的內在邏輯有序地組織教學，理清知識體系，形成知識網絡，注意方法指導，培養(yǎng)學生自學能力和應用知識解決實際問題的能力。（3）對整體水平較低的班級集體，重在考慮以下策略：采用“小步子”方式循序

19、漸進，經?！盎仡^觀望”，調整教學進度和內容的難易度以符合學生認知結構；盡可能多地利用多種手段（例如：形象生動的語言或多種教學媒體的輔助）激發(fā)學生學習興趣，啟發(fā)學生思維；對學生因新舊知識銜接不良難以遷移時，及時制定有針對性的復習對策，通過提問、書面作業(yè)、補充輔導等幫助學生過渡，以取得整體水平的提高?，F(xiàn)舉一例課堂實錄片段，特別適用數(shù)學整體水平較低的的學生： 例：課題無理數(shù)。學生學了有理數(shù)后，不能有效地容納無理數(shù)概念，即學生用“同化”的過程形成新概念，只能通過“順應”的過程達到無理數(shù)概念的形成。對于基礎較差的班級學生，若直接用“無盡不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)”死灌，感到抽象，學生難以理解。我們不妨用形象生動

20、的教學情景，從感知著手：教師上課進教室，手拿一個骰子。上課開始，教師問學生：“這是一件什么東西？” 學生感到詫異：“老師怎么把賭具拿到教師里來，這不是搓麻將用的嗎！”引起學生一片好奇心。接著教師把一位同學請到講臺前進行拋骰子，教師作好記錄，黑板上跳出一串數(shù)： 2.25361554261，這時，教師問學生：“無盡的投下去，結果出現(xiàn)的數(shù)能循環(huán)出現(xiàn)嗎？” 由于這是學生直接感知到的，又貼近實際，學生很自然地得出了無理數(shù)的概念。這是一種巧妙的聯(lián)結，是行之有效的策略。 總之，從數(shù)學知識結構本身不同層次學生來說，創(chuàng)設聯(lián)結的“最近發(fā)展區(qū)”，引導他們樂于構建新的認知結構這一導向策略，體現(xiàn)了因材施教，因人施教的原

21、則。 策略之三：以學生發(fā)展為目標，使學生自主地構建新的數(shù)學認知結構 根據(jù)數(shù)學認知結構來構思教學策略較好地解決了知識與能力的關系，但是，教學的根本問題乃是人的問題。面向二十一世紀的中學數(shù)學教師應該看到：學生的學習主要不只是為適應當前的環(huán)境，而是為適應今后發(fā)展的需要。從當前看，學生的學習容易成為一個被動的接受過程；從未來看，他們的學習又有待于發(fā)展到完全獨立而主動的自學階段，因些，數(shù)學課堂教學的重點是要培養(yǎng)起獨立積極學習的態(tài)度和自我教育，自我發(fā)展的自主的、能動的、創(chuàng)造性的能力。數(shù)學認知結構的建立，最后歸根到底，不是依賴教師去建構，更不是簡單的聯(lián)結，而是要求學生離開教師后，能自己主動地建構。因此以“人

22、的發(fā)展”為主題，進行中學數(shù)學課堂教學策略的探討和構思是一種趨勢。 “人的發(fā)展”是課堂教學的出發(fā)點和歸宿，而課堂教學如何促進人的發(fā)展呢？必須以培養(yǎng)學生獨立學習的能力為突破口，獨立學習的實質是強調學生的獨立思考。傳統(tǒng)的教學模式是先教后學，即課堂教學在先，學生復習作業(yè)在后。然而獨立學習將這種天經地義的教學關系（或順序）顛倒過來，先學后教，即學生首先必須獨立學習，然后再進行課堂教學。在課堂教學中應著重解決學生在獨立學習中遇到的問題。中央教科所盧仲衡先生倡導的數(shù)學自學法、北京師范大學裴娣娜教授的自主發(fā)展性教學、上海華東師范大學葉瀾教授的“自主教學”、江蘇特級教師邱學華先生的嘗試教學法、江蘇洋思中學的“先練后學”教學模式等等，不失為使學生自覺構建新的認知結構的有效連結途徑。因此，此時的課堂教學是在獨立學習的基礎上進行，其教學策略則應側重在以下幾個方面：通過檢查閱讀筆記和作業(yè)本以及課堂小測驗或提問來了解學生獨立學習的情況；反映和解決學生獨立學習中