2013年高考理科數(shù)學(xué)全國卷試題與答案(含大綱卷,全國卷1,2)word解析版

1、2021年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(大綱全國卷)一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1(2021大綱全國，理1)設(shè)集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，那么M中元素的個(gè)數(shù)為()A3 B4 C5 D62(2021大綱全國，理2)()A8 B8 C8i D8i3(2021大綱全國，理3)向量m(1,1)，n(2,2)，假設(shè)(mn)(mn)，那么()A4 B3 C2 D14(2021大綱全國，理4)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,0)，那么函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)?)A(1,1) B C(1,0) D5(2

2、021大綱全國，理5)函數(shù)f(x)(x0)的反函數(shù)f1(x)()A(x0) B(x0) C2x1(xR) D2x1(x0)6(2021大綱全國，理6)數(shù)列an滿足3an1an0，a2，那么an的前10項(xiàng)和等于()A6(1310) B(1310) C3(1310) D3(1310)7(2021大綱全國，理7)(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D1688(2021大綱全國，理8)橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是()A B C D9(2021大綱全國，理9)假設(shè)函數(shù)f(x)x2

3、ax在是增函數(shù)，那么a的取值范圍是()A1,0 B1，) C0,3 D3，)10(2021大綱全國，理10)正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，那么CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A B C D11(2021大綱全國，理11)拋物線C：y28x與點(diǎn)M(2,2)，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)假設(shè)，那么k()A B C D212(2021大綱全國，理12)函數(shù)f(x)cos xsin 2x，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()Ayf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(，0)中心對稱 Byf(x)的圖像關(guān)于直線對稱Cf(x)的最大值為 Df(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)二、填空題：本大題

4、共4小題，每題5分13(2021大綱全國，理13)是第三象限角，sin ，那么cot _.14(2021大綱全國，理14)6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數(shù)字作答)15(2021大綱全國，理15)記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.假設(shè)直線ya(x1)與D有公共點(diǎn)，那么a的取值范圍是_16(2021大綱全國，理16)圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK，且圓O與圓K所在的平面所成的一個(gè)二面角為60°，那么球O的外表積等于_三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(2021大綱全國，理17)(本小題總分值10分)等差數(shù)列an的

5、前n項(xiàng)和為Sn.S3，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式18(2021大綱全國，理18)(本小題總分值12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)假設(shè)sin Asin C，求C.19(2021大綱全國，理19)(本小題總分值12分)如圖，四棱錐PABCD中，ABCBAD90°，BC2AD，PAB和PAD都是等邊三角形 (1)證明：PBCD；(2)求二面角APDC的大小20(2021大綱全國，理20)(本小題總分值12分)甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判

6、設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望21(2021大綱全國，理21)(本小題總分值12分)雙曲線C：(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.(1)求a，b；(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列22(2021大綱全國，理22)(本小題總分值12分)函數(shù)f(x).(1)假設(shè)x0時(shí)，f(x)0，求的最小值；(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)，證明：a2nanln

7、2.2021年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工類(全國新課標(biāo)卷I)第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1(2021課標(biāo)全國，理1)集合Ax|x22x0，Bx|x，那么()AAB BABR CBA DAB2(2021課標(biāo)全國，理2)假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(34i)z|43i|，那么z的虛部為()A4 B C4 D3(2021課標(biāo)全國，理3)為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取局部學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理

8、的抽樣方法是()A簡單隨機(jī)抽樣 B按性別分層抽樣 C按學(xué)段分層抽樣 D系統(tǒng)抽樣4(2021課標(biāo)全國，理4)雙曲線C：(a0，b0)的離心率為，那么C的漸近線方程為()Ay By Cy Dy±x5(2021課標(biāo)全國，理5)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的t1,3，那么輸出的s屬于()A3,4 B5,2 C4,3 D2,56(2021課標(biāo)全國，理6)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，那么球的體積為()Acm3 Bcm3Ccm3 Dcm37(2021課標(biāo)全國，理7)設(shè)等差

9、數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)Sm12，Sm0，Sm13，那么m()A3 B4 C5 D68(2021課標(biāo)全國，理8)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為()A168 B88 C1616 D8169(2021課標(biāo)全國，理9)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.假設(shè)13a7b，那么m()A5 B6 C7 D810(2021課標(biāo)全國，理10)橢圓E：(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)假設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，那么E的方程為()A B C D11(2021課標(biāo)全國，理11)函數(shù)f(x)假設(shè)|

10、f(x)|ax，那么a的取值范圍是()A(，0 B(，1 C2,1 D2,012(2021課標(biāo)全國，理12)設(shè)AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，AnBnCn的面積為Sn，n1,2,3，.假設(shè)b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，那么()ASn為遞減數(shù)列 BSn為遞增數(shù)列CS2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列 DS2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答二、填空題：本大題共4小題，每題5分13(2021課標(biāo)全國，理13)兩個(gè)單位向量a，b

11、的夾角為60°，cta(1t)b.假設(shè)b·c0，那么t_.14(2021課標(biāo)全國，理14)假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，那么an的通項(xiàng)公式是an_.15(2021課標(biāo)全國，理15)設(shè)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，那么cos _.16(2021課標(biāo)全國，理16)假設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)(x2axb)的圖像關(guān)于直線x2對稱，那么f(x)的最大值為_三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(2021課標(biāo)全國，理17)(本小題總分值12分)如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90°.(1)假設(shè)P

12、B，求PA；(2)假設(shè)APB150°，求tanPBA.18(2021課標(biāo)全國，理18)(本小題總分值12分)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)假設(shè)平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值19(2021課標(biāo)全國，理19)(本小題總分值12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，假設(shè)都為優(yōu)質(zhì)品，那么這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，假設(shè)為優(yōu)質(zhì)品

13、，那么這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望20(2021課標(biāo)全國，理20)(本小題總分值12分)圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|.21

14、(2021課標(biāo)全國，理21)(本小題總分值12分)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)假設(shè)曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)假設(shè)x2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答注意：只能做所選定的題目如果多做，那么按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑22(2021課標(biāo)全國，理22)(本小題總分值10分)選修41：幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE

15、交圓于點(diǎn)D.(1)證明：DBDC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC，延長CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑23(2021課標(biāo)全國，理23)(本小題總分值10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02)24(2021課標(biāo)全國，理24)(本小題總分值10分)選修45：不等式選講：函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的

16、取值范圍2021年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國新課標(biāo)卷II)第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1(2021課標(biāo)全國，理1)集合Mx|(x1)24，xR，N1,0,1,2,3，那么MN()A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,32(2021課標(biāo)全國，理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，那么z()A1i B1I C1i D1i3(2021課標(biāo)全國，理3)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.S3a210a1，a59，那么a1()A B C D4(2021課標(biāo)全國，理4)m，n為異面直線，m平面

17、，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，那么()A且l B且lC與相交，且交線垂直于l D與相交，且交線平行于l5(2021課標(biāo)全國，理5)(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，那么a()A4 B3 C2 D16(2021課標(biāo)全國，理6)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N10，那么輸出的S()A BC D7(2021課標(biāo)全國，理7)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為()8(2021課標(biāo)全國，理8)設(shè)alog36，blog510，cl

18、og714，那么()Acba Bbca Cacb Dabc9(2021課標(biāo)全國，理9)a0，x，y滿足約束條件假設(shè)z2xy的最小值為1，那么a()A B C1 D210(2021課標(biāo)全國，理10)函數(shù)f(x)x3ax2bxc，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖像是中心對稱圖形C假設(shè)x0是f(x)的極小值點(diǎn)，那么f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D假設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，那么f(x0)011(2021課標(biāo)全國，理11)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5，假設(shè)以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，那么C的方程為()Ay24x或y28x B

19、y22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x12(2021課標(biāo)全國，理12)點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a0)將ABC分割為面積相等的兩局部，那么b的取值范圍是()A(0,1) B C D第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部，第13題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分13(2021課標(biāo)全國，理13)正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，那么_.14(2021課標(biāo)全國，理14)從n個(gè)正整數(shù)1,2，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，假設(shè)取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，那

20、么n_.15(2021課標(biāo)全國，理15)設(shè)為第二象限角，假設(shè)，那么sin cos _.16(2021課標(biāo)全國，理16)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S100，S1525，那么nSn的最小值為_三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17(2021課標(biāo)全國，理17)(本小題總分值12分)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abcos Ccsin B.(1)求B；(2)假設(shè)b2，求ABC面積的最大值18(2021課標(biāo)全國，理18)(本小題總分值12分)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面

21、角DA1CE的正弦值19(2021課標(biāo)全國，理19)(本小題總分值12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如下圖經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以X(單位：t,100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中

22、點(diǎn)值的概率(例如：假設(shè)需求量X100,110)，那么取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望20(2021課標(biāo)全國，理20)(本小題總分值12分)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：(ab0)右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點(diǎn)，假設(shè)四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值21(2021課標(biāo)全國，理21)(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.請考生在第22、23、2

23、4題中任選擇一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請寫清題號22(2021課標(biāo)全國，理22)(本小題總分值10分)選修41：幾何證明選講如圖，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AEDC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)假設(shè)DBBEEA，求過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值23(2021課標(biāo)全國，理23)(本小題總分值10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程動點(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求

24、M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)24(2021課標(biāo)全國，理24)(本小題總分值10分)選修45：不等式選講設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2). 2021年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(大綱全國卷)一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1答案：B解析：由題意知xab，aA，bB，那么x的可能取值為5,6,7,8.因此集合M共有4個(gè)元素應(yīng)選B.2答案：A解析：.應(yīng)選A.3答案：B解析：由(mn)(mn)|m|2|n|20(1)21(2)

25、2403.應(yīng)選B.4 答案：B解析：由題意知12x10，那么1x.應(yīng)選B.5答案：A解析：由題意知2yx(y0)，因此f1(x)(x0)應(yīng)選A.6答案：C解析：3an1an0，an1.數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列a2，a14.S103(1310)應(yīng)選C.7答案：D解析：因?yàn)?1x)8的展開式中x2的系數(shù)為，(1y)4的展開式中y2的系數(shù)為，所以x2y2的系數(shù)為.應(yīng)選D.8 答案：B解析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，那么，于是.故.2，1，.應(yīng)選B.9答案：D解析：由條件知f(x)2xa0在上恒成立，即在上恒成立函數(shù)在上為減函數(shù)，.a3.應(yīng)選D.10 答案：A解析：如以下圖，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O

26、，連結(jié)C1O，過C作CHC1O于點(diǎn)H.CH平面C1BD，HDC為CD與平面BDC1所成的角設(shè)AA12AB2，那么，.由等面積法，得C1O·CHOC·CC1，即，.sinHDC.應(yīng)選A.11答案：D解析：由題意知拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，那么直線AB的方程為yk(x2)，將其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，x1x24.由，(x12，y12)·(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由解得k2.應(yīng)選D.12答案：C解

27、析：由題意知f(x)2cos2x·sin x2(1sin2x)sin x.令tsin x，t1,1，那么g(t)2(1t2)t2t2t3.令g(t)26t20，得.當(dāng)t±1時(shí)，函數(shù)值為0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為.g(t)max，即f(x)的最大值為.應(yīng)選C.二、填空題：本大題共4小題，每題5分13答案：解析：由題意知cos .故cot .14答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有種，再將甲、乙插入這4人形成的5個(gè)間隔中，有種排法，因此甲、乙不相鄰的不同排法有(種)15答案：解析：作出題中不等式組表示的可行域如圖中陰影局部所示直線ya(x1)過定點(diǎn)C(1,0)

28、，由圖并結(jié)合題意可知，kAC4，要使直線ya(x1)與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，那么a4.16答案：16解析：如以下圖，設(shè)MN為兩圓的公共弦，E為MN的中點(diǎn)，那么OEMN，KEMN，結(jié)合題意可知OEK60°.又MNR，OMN為正三角形OE.又OKEK，OE·sin 60°.R2.S4R216.三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17解：設(shè)an的公差為d.由S3得3a2，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比數(shù)列得S1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)假設(shè)a20，那么d22d2，所以d0，此時(shí)Sn0

29、，不合題意；假設(shè)a23，那么(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通項(xiàng)公式為an3或an2n1.18解：(1)因?yàn)?abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120°.(2)由(1)知AC60°，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C，故AC30°或AC30°，因此C15°或C45°.19(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，那么ABED為正方形過P作PO平面ABC

30、D，垂足為O.連結(jié)OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PAPBPD，所以O(shè)AOBOD，即點(diǎn)O為正方形ABED對角線的交點(diǎn)，故OEBD，從而PBOE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)ECD.因此PBCD.(2)解法一：由(1)知CDPB，CDPO，PBPOP，故CD平面PBD.又PD平面PBD，所以CDPD.取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，那么FGCD，F(xiàn)GPD.連結(jié)AF，由APD為等邊三角形可得AFPD.所以AFG為二面角APDC的平面角連結(jié)AG，EG，那么EGPB.又PBAE，所以EGAE.設(shè)AB2，那么AE，EG1，故AG3.在AFG中，F(xiàn)G，AG3，

31、所以cosAFG.因此二面角APDC的大小為.解法二：由(1)知，OE，OB，OP兩兩垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)|2，那么A(，0,0)，D(0，0)，C(，0)，P(0,0，)(，)，(0，)(，0，)，(，0)設(shè)平面PCD的法向量為n1(x，y，z)，那么n1·(x，y，z)·(，)0，n1·(x，y，z)·(0，)0，可得2xyz0，yz0.取y1，得x0，z1，故n1(0，1,1)設(shè)平面PAD的法向量為n2(m，p，q)，那么n2·(m，p，q)·(，0，)0，n2·

32、;(m，p，q)·(，0)0，可得mq0，mp0.取m1，得p1，q1，故n2(1,1，1)于是cosn1，n2.由于n1，n2等于二面角APDC的平面角，所以二面角APDC的大小為.20解：(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝，A2表示事件“第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)，A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判那么AA1·A2.P(A)P(A1·A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值為0,1,2.記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲，B3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果

33、為乙負(fù)那么P(X0)P(B1·B2·A3)P(B1)P(B2)·P(A3)，P(X2)P(·B3)P()P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)，EX0·P(X0)1·P(X1)2·P(X2).21(1)解：由題設(shè)知3，即9，故b28a2.所以C的方程為8x2y28a2.將y2代入上式，求得.由題設(shè)知，解得a21.所以a1，b.(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方程為8x2y28.由題意可設(shè)l的方程為yk(x3)，代入并化簡得(k28)x26k2x9k280.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)

34、，那么x11，x21，x1x2，x1·x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，從而x1·x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|·|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|·|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列22(1)解：由f(0)0，f(x)，f(0)0.假設(shè)，那么當(dāng)0x2(12)時(shí)，f(x)0，所以f(x)0.假設(shè)，那么當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，所以當(dāng)x0時(shí)，f

35、(x)0.綜上，的最小值是.(2)證明：令.由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，即取，那么.于是ln 2nln nln 2.所以.2021年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工類(全國卷I新課標(biāo))第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1答案：B解析：x(x2)0，x0或x2.集合A與B可用圖象表示為：由圖象可以看出ABR，應(yīng)選B.2 答案：D解析：(34i)z|43i|，.故z的虛部為，選D.3答案：C解析：因?yàn)閷W(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣4答案：C解析：，.a24b2，.漸近線方程為.5答案：A解析：假設(shè)t

36、1,1)，那么執(zhí)行s3t，故s3,3)假設(shè)t1,3，那么執(zhí)行s4tt2，其對稱軸為t2.故當(dāng)t2時(shí)，s取得最大值4.當(dāng)t1或3時(shí)，s取得最小值3，那么s3,4綜上可知，輸出的s3,4應(yīng)選A.6答案：A解析：設(shè)球半徑為R，由題可知R，R2，正方體棱長一半可構(gòu)成直角三角形，即OBA為直角三角形，如圖BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的體積為(cm3)，應(yīng)選A.7答案：C解析：Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm10(2)2，am1Sm1Sm303.dam1am321.Smma1×10，.又am1a1m×13，.m5.應(yīng)選C.8答案：A解析

37、：由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個(gè)長方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑r2，長為4，在長方體中，長為4，寬為2，高為2，所以幾何體的體積為r2×4×4×2×2816.應(yīng)選A.9答案：B解析：由題意可知，a，b，又13a7b，即.解得m6.應(yīng)選B.10 答案：D解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在橢圓上，得，即，AB的中點(diǎn)為(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.橢圓E的方程為.應(yīng)選D.11答案：D解析：由y|f(x)|的圖象知：當(dāng)x0時(shí)，yax只有a0時(shí)，才能滿足|f(x)|ax，可排除B，C.當(dāng)

38、x0時(shí)，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax得x22xax.當(dāng)x0時(shí)，不等式為00成立當(dāng)x0時(shí)，不等式等價(jià)于x2a.x22，a2.綜上可知：a2,012答案：B第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答二、填空題：本大題共4小題，每題5分13答案：2解析：cta(1t)b，b·cta·b(1t)|b|2.又|a|b|1，且a與b夾角為60°，bc，0t|a|b|cos 60°(1t)，01t.t2.14答案：(2)n1解析：，當(dāng)n2時(shí)，.，

39、得，即2.a1S1，a11.an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an(2)n1.15答案：解析：f(x)sin x2cos x，令cos ，sin ，那么f(x)sin(x)，當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，sin(x)有最大值1，f(x)有最大值，即2k(kZ)，所以cos sin .16答案：16解析：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x2對稱，f(x)滿足f(0)f(4)，f(1)f(3)，即解得f(x)x48x314x28x15.由f(x)4x324x228x80，得x12，x22，x32.易知，f(x)在(，2)上為增函數(shù)，在(2，2)上為減函數(shù)，在(2，2)上為增函數(shù)，在(2，)上為減函數(shù)f(2)1

40、(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.f(2)1(2)2(2)28×(2)153(41615)9.f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.故f(x)的最大值為16.三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17解：(1)由得PBC60°，所以PBA30°.在PBA中，由余弦定理得PA2.故PA.(2)設(shè)PBA，由得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化簡得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.18(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B.因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB.由于ABAA1，BAA1

41、60°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB.因?yàn)镺COA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)解：由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題設(shè)知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)那么(1,0，)，(1，0)，(0，)設(shè)n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，那么即可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值

42、為.19解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X400)，P(X500)，P(X800).所以X的分布列為X400500800PEX506.25.20解：由得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)

43、，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為(x2)(2)對于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，其方程為(x2)2y24.假設(shè)l的傾斜角為90°，那么l與y軸重合，可得|AB|.假設(shè)l的傾斜角不為90°，由r1R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，那么，可求得Q(4,0)，所以

44、可設(shè)l：yk(x4)由l與圓M相切得，解得k.當(dāng)k時(shí)，將代入，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|.當(dāng)時(shí)，由圖形的對稱性可知|AB|.綜上，|AB|或|AB|.21解：(1)由得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設(shè)函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，那么F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設(shè)可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.假設(shè)1ke2，那么

45、2x10.從而當(dāng)x(2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)x(x1，)時(shí)，F(xiàn)(x)0.即F(x)在(2，x1)單調(diào)遞減，在(x1，)單調(diào)遞增故F(x)在2，)的最小值為F(x1)而F(x1)2x124x12x1(x12)0.故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立假設(shè)ke2，那么F(x)2e2(x2)(exe2)從而當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)單調(diào)遞增而F(2)0，故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立假設(shè)ke2，那么F(2)2ke222e2(ke2)0.從而當(dāng)x2時(shí)，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e2請考生在第(22)、(23)、(24)三題

46、中任選一題做答注意：只能做所選定的題目如果多做，那么按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑22(1)證明：連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因?yàn)镈BBE，所以DE為直徑，DCE90°，由勾股定理可得DBDC.(2)解：由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂線，所以BG.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，那么BOG60°.從而ABEBCECBE30°，所以CFBF，故RtBCF外接圓的半徑等于.23解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160.(2)C2