數(shù)學(xué)建模 微分方程之減肥問題

1、摘要：在研究實(shí)際問題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)， 這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，在研究能量與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系時(shí)，得到直接關(guān)系，就得求微分方程。本文利用了微分方程模型求解實(shí)際問題，根據(jù)基本規(guī)律寫出了平衡關(guān)系式，再利用一定的轉(zhuǎn)換條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單明了的式子，求解出結(jié)果，對(duì)于第一問，利用微分方程反解出時(shí)間t（天），從而得到每個(gè)人達(dá)到自己理想目標(biāo)的天數(shù)，同理，對(duì)于第二和第三問 ，利用以上方法，加上運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，也可得出確切的時(shí)間，和所要保持體重所消耗的能量?！娟P(guān)鍵字】：微分方程 轉(zhuǎn)化 能量轉(zhuǎn)換系數(shù)1. 問題重述現(xiàn)有五個(gè)人，身高、體

2、重和BMI指數(shù)分別入下表一所示，體重長(zhǎng)期不變，試為他們按照以下方式制定減肥計(jì)劃，使其體重減至自己的理想目標(biāo)，并維持下去：表一人數(shù)12345身高1.71.681.641.721.71體重100112113114124BMI34.633.535.234.835.6理想目標(biāo)7580808590題目要求如下：（1）在基本不運(yùn)動(dòng)的情況下安排計(jì)劃，每天吸收的熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)；（2）若是加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，重新安排計(jì)劃，經(jīng)過調(diào)差資料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每kg體重的消耗的熱量入下表二所示：表二運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳（50m/min）熱量消耗/k7.03.04.42.57.9（3）給出達(dá)

3、到目標(biāo)后維持體重的方案。2. 問題的背景與分析隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平在不斷提高，飲食營(yíng)養(yǎng)攝入量的改善和變化、生活方式的改變，使得肥胖成了社會(huì)關(guān)注的一個(gè)問題，為此，聯(lián)合國(guó)世界衛(wèi)生組織曾頒布人體體重指數(shù)（簡(jiǎn)記BMI）：體重（單位：kg）除以身高（單位：m）的平方，規(guī)定BMI在18.5至25為正常,大于25為超重,超過30則為肥胖,據(jù)悉我國(guó)有關(guān)機(jī)構(gòu)針對(duì)東方人的特點(diǎn),擬將上述規(guī)定中的25改為24.,30改為29。無論從健康的角度,是從審美的角度,人們?cè)絹碓街匾暅p肥,大量的減肥機(jī)構(gòu)和商品出現(xiàn).不少自感肥胖的人加入了減肥的行列,盲目的減肥,使得人們感到不理想,如何對(duì)待減肥問題,不妨通過組建模

4、型,從數(shù)學(xué)的角度,對(duì)有關(guān)的規(guī)律作一些探討和分析。根據(jù)背景知識(shí)，我們知道任何人通過飲食攝取的能量不能低于用于維持人體正常生理功能所需要的能量，因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)一定存在一個(gè)下限，當(dāng)時(shí)表明能量的攝入過低并致使維持他本人正常的生理功能的所需，這是減肥所得到的結(jié)果不能認(rèn)為是有效的，它將危機(jī)人的身體健康，是危險(xiǎn)的，稱為減肥的臨界指標(biāo)，另外，人們認(rèn)為減肥所采取的各種體力運(yùn)動(dòng)對(duì)能量的消耗也有一個(gè)所能承受的范圍，記為0R,為三個(gè)區(qū)域A,B,C這表明減肥的效果是由控制飲食和增加消耗綜合作用,相互協(xié)調(diào)的結(jié)果。A區(qū)域表明能量的攝取量高于體重時(shí)的攝入量A，這是體重不會(huì)從減少，稱之為非減肥區(qū)，C區(qū)為危

5、險(xiǎn)區(qū)，B區(qū)為有效減肥區(qū)，可以看到單一的減肥措施達(dá)不到減肥效果。3. 模型的假設(shè)與符號(hào)說明3.1模型假設(shè)：（1）人體的脂肪是能量的主要儲(chǔ)存和提供方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)成年人來說體重主要由四部分組成，包括骨骼、肌肉、水和脂肪。骨骼，肌肉和水大體上可以認(rèn)為是不變的，所以不妨以人體的脂肪的重量作為體重的標(biāo)志，已知脂肪的轉(zhuǎn)化率為100%，每千克的脂肪可以轉(zhuǎn)化為8000kcal的能量（kcal為非際單位制單位）。（2）忽略個(gè)體間的差異（年齡、性別、健康狀況等）對(duì)減肥的影響，人體的體重僅僅看成時(shí)間t的函數(shù)w（t）（3）由于體重的增加或減少都是一個(gè)漸變的過程，所以w（t）是連續(xù)而且是光滑的

6、；（4）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少成正比于體重；（5）正常代謝引起的減少正比于體重，每人每千克體重消耗熱量一般為28.7545.71kcal，且因人而異（6）人體每天攝入量是一定的，為了安全和健康，每天吸收熱量不要小于1429kcal3.2符號(hào)說明：D；脂肪的能量轉(zhuǎn)化系數(shù)W（t）：人體的體重關(guān)于時(shí)間的t的函數(shù)。r：每千克體重每小時(shí)運(yùn)動(dòng)所消耗的能量（kcal/kg）/hb：每千克體重每小時(shí)所消耗的能量（kcal/kg）/h：每天攝入的能量W1： 五個(gè)人理想的體重目標(biāo)向量A ：五個(gè)人每天分別攝入的能量W：五個(gè)人減肥前的體重B：每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗4問題分析如果以1天為時(shí)間的計(jì)量單位，于是每

7、天基礎(chǔ)代謝的能量消耗量應(yīng)為B=24b（kcal/d）,由于人的某種運(yùn)動(dòng)一般不會(huì)是全天候的,不妨假設(shè)每天運(yùn)動(dòng)h小時(shí),則每天由于運(yùn)動(dòng)所消耗的能量應(yīng)為R=rh(kcal/d),在時(shí)間段(t,t+)內(nèi)能量的變化基本規(guī)律為:取,可得 (1)其中a=A/D,d=(B+R)/D,t=0(模型開始考察時(shí)刻),即減肥問題的數(shù)學(xué)模型模型求解有 (2)利用此方法可求解出每個(gè)人要達(dá)到自己的理想體重的天數(shù)。5模型的建立（1）首先確定此人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗B，因?yàn)闆]有運(yùn)動(dòng)，所以有R=0，根據(jù)式（2）式，得從而得到每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗。 從假設(shè)（5）可知，這些人普遍屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人，加上

8、吃得比較多，有沒有運(yùn)動(dòng)，所以會(huì)長(zhǎng)胖，進(jìn)一步，由W(t)(五人的理想體重)，W（五人減肥前的體重），D=8000kcal/kg（脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)）根據(jù)式（2）式有將A（五個(gè)人每天分別攝入的能量）的值代入上式時(shí)，就會(huì)得出五個(gè)人要達(dá)到自己的理想體重時(shí)的天數(shù)，如下表所示表三人12345天數(shù)194372313266298（2）為加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，結(jié)合調(diào)查資料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每kg體重消耗的熱量表：運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳（50m/min）熱量消耗/k7.03.04.42.57.9由假設(shè)（4）可知，表中熱量消耗為r，取h=1h，R=rh=r，根據(jù)式（2）式有將A（五個(gè)人每天分別攝入的能

9、量）的值代入時(shí)，取不同的r，得到一組數(shù)據(jù)，在運(yùn)動(dòng)的情況下，我們選取的是一個(gè)小時(shí)，得到了每個(gè)人在不同運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度下，要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表所示：表四運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳時(shí)間/天122155141160116187261229274176173232207243164148198177206140163220196230154（3）要使體重穩(wěn)定在一個(gè)定值，則有根據(jù)自己的不同理想目標(biāo)和B（每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗），在不同小時(shí)下的能量消耗表：（1） 在h=1的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表：表五運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)2667.002367.800

10、2472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.0002217.5002676.5002644.8002284.8002410.8002239.8002725.800（2） 在h=2的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表：表六運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)3198.002592.8002802.8002517.7003327.8002936.4002296.4002520.400221

11、6.4003080.4003055.6002415.6002639.6002335.6003199.6003195.0002515.0002753.0002430.0003348.0003274.8002554.8002806.8002464.8003436.8006模型的分析與討論（1） 從上幾個(gè)表可知，普遍觀察得出結(jié)論，游泳是減肥的最佳方法，無論是在長(zhǎng)時(shí)間還是短時(shí)間內(nèi)，從結(jié)果來看，游泳消耗的能量是最多的，也是達(dá)到快速減肥的最佳方法，也可從下圖可知，圖一表示每個(gè)人的能量消耗圖，都是離散的，并且都是遞增的，表明了游泳時(shí)能量消耗最快的，選此方法減肥是最合理有效的。圖一（2）在式（2）中假設(shè)a=0

12、，即假設(shè)停止進(jìn)食，無任何能量攝入。于是有 或 這表明在t時(shí)刻保存的體重占初始體重的百分率由給出，稱為（0，t）時(shí)間內(nèi)的體重保存率，特別當(dāng)t=1時(shí)，給出了單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，它表明在（0，t）時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，它表明在（0，t）內(nèi)體重減少的百分率，可見這種情況下體重的變化完全是體內(nèi)脂肪的消耗而產(chǎn)生的，如此繼續(xù)下去，由，即體重（脂肪）將消耗殆盡，可知不進(jìn)食的節(jié)食減肥方法是危險(xiǎn)的。（3）a/d是模型中的一個(gè)重要的參數(shù)，由于a=A/D表示由于能量的攝入而增加的體重，而d=（B+R）/D表示由于能量的消耗而失掉的體重,于是a/d就表示攝取能量而獲得的補(bǔ)充量,綜合以上的分析可知,t時(shí)刻的體重由兩部分

13、構(gòu)成,一部分是初始體重中由于能量消耗而被保存下來的部分.另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充部分,這一解釋從直觀上理解也是合理的.(4)由式(1.1)即,體重從遞減,這是減肥產(chǎn)生效果,另外由式(1.2)可以看到時(shí),也就是說式(1.1)的解漸進(jìn)穩(wěn)定于,它給出了減肥過程的最終結(jié)果,因此不妨稱為減肥效果指標(biāo),由，因?yàn)锽是基礎(chǔ)代謝的能量消耗，它不能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人可以認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)（非常數(shù)，即通過調(diào)整新城代謝的方法來減肥），于是就有如下結(jié)論：減肥的效果主要是由兩個(gè)因素控制的，包括由于進(jìn)食而攝入的能量以及由于運(yùn)動(dòng)消耗的能量，從而減肥的兩個(gè)重要措施就是控制飲食和增加運(yùn)動(dòng)量，這

14、恰是人們對(duì)減肥的認(rèn)識(shí)。人體體重的變化時(shí)有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化，這個(gè)模型雖然只是揭示了飲食和鍛煉這兩個(gè)主要因素與減肥的關(guān)系，但它們對(duì)人們走出盲區(qū)減肥的誤區(qū)，從事減肥活動(dòng)有一定的參考價(jià)值。7參考文獻(xiàn)1 王敏生 王庚, 現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法, 北京,科學(xué)出版社 20062 羅萬成，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例精選，成都，西南交通大學(xué)出版社，2007年。3 戴朝壽等，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程，北京，高等教育出版社，2007年。4 江世宏，MATLAB語言與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京，科學(xué)出版社，2007年。5胡良劍 孫曉君 matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), 北京, 高等教育出版社, 附錄：Matlab程序 %（1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下

15、clearR=0;D=8000;%能量轉(zhuǎn)換系數(shù)A0=1429; %每天吸收熱量的下限W1=75 80 80 85 90; %理想的體重目標(biāo)A=2857 2543 2734 2689 2776;%每人每天攝入的能量W=100 112 113 114 124;%每人的體重n=length(W);B=A./W %每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗a=A./D %系數(shù)d=(B+R)./D %系數(shù)for i=1:n t(i)=-(D/B(i)*log(W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0); %減肥所需要的時(shí)間endt%（2）在做適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)的情況下h=1;r=7.0 3.0 4.4

16、 2.5 7.9;R=h.*r;n1=length(R);D=8000;%能量轉(zhuǎn)換系數(shù)A0=1429; %每天吸收熱量的下限W1=75 80 80 85 90; %理想的體重目標(biāo)A=2857 2543 2734 2689 2776;%每人每天攝入的能量W=100 112 113 114 124;%每人的體重n=length(W);B=A./W; %每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗for j=1:n1 for i=1:n t(i,j)=-(D./(B(i)+R(j)*log(W1(i).*(B(i)+R(j)-A0)./(W(i).*(B(i)+R(j)-A0);%減肥所需要的時(shí)間 ende

17、nd t %每行所代表的是每個(gè)人所對(duì)應(yīng)的不同運(yùn)動(dòng)所需的天數(shù)%（3）在體重穩(wěn)定的情況下h=1 2;r=7.0 3.0 4.4 2.5 7.9;R=h*r;m,n=size(R);D=8000;%能量轉(zhuǎn)換系數(shù)A0=1429; %每天吸收熱量的下限W1=75 80 80 85 90; %理想的體重目標(biāo)A=2857 2543 2734 2689 2776;%每人每天攝入的能量W=100 112 113 114 124;%每人的體重n1=length(W);B=A./W; %每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗for j=1:n for i=1:n1 A1(i,j)=W1(i).*(B(i)+R(1,j); % 在體重穩(wěn)定的情況下 A2(i,j)=W1(i).*(B(i)+R(2,j); endendA1 %在h=1的時(shí)間下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量A2 %在h=2的時(shí)間下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量%圖形程序x=7.0 3.0 4.4 2.5 7.9;y=2667.002367.8002472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.000