量子力學導論期末考試試題內(nèi)含答案

1、量子力學試題(1)(2005)姓名 學號 得分 一. 簡答題（每小題5分，共40分）1. 一粒子的波函數(shù)為，寫出粒子位于間的幾率。2. 粒子在一維勢阱 中運動，波函數(shù)為，寫出的躍變條件。3. 量子力學中，體系的任意態(tài)可用一組力學量完全集的共同本征態(tài)展開：，寫出展開式系數(shù)的表達式。4. 給出如下對易關(guān)系： 5. 何謂幾率流密度？寫出幾率流密度的表達式。6. 一維運動中，哈密頓量，求7. 一質(zhì)量為的粒子在一維無限深方勢阱中運動，寫出其狀態(tài)波函數(shù)和能級表達式。8. 已知厄米算符、互相反對易：；是算符的本征態(tài)：，本征值。求在態(tài)中，算符的平均值。二. 計算和證明題1. 設(shè)粒子限制在長、寬、高分別為的箱內(nèi)

2、運動，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。2. 考慮如下一維波函數(shù)： ， 其中為已知常數(shù)。利用薛定諤方程求位勢和能量。對于它們，該波函數(shù)為一本征函數(shù)（已知當）。3.一質(zhì)量為的粒子沿正方向以能量向處 的勢階運動。當時，該勢為；當時，該勢為 。問在處粒子被反射的的幾率多大？（15分） 0 4.設(shè)粒子處于狀態(tài)下，1)證明在的本征態(tài)下，。（提示：利用， 求平均。）2)求和(附加題)5. 設(shè)是的整函數(shù)，證明整函數(shù)是指可以展開成。量子力學試題(1)(2005)姓名 學號 得分 一、 簡答題（每小題5分，共40分）1. 一粒子的波函數(shù)為，寫出粒子位于間的幾率。解： 。2. 粒子在一維勢阱 中運動，波函數(shù)為，

3、寫出的躍變條件。解： 。3. 量子力學中，體系的任意態(tài)可用一組力學量完全集的共同本征態(tài)展開：，寫出展開式系數(shù)的表達式。解： 。4. 給出如下對易關(guān)系： 解： 5. 何謂幾率流密度？寫出幾率流密度的表達式。解：單位時間內(nèi)通過與粒子前進方向垂直的單位面積的幾率稱為幾率流密度。 6. 一維運動中，哈密頓量，求 解：7. 一質(zhì)量為的粒子在一維無限深方勢阱中運動，寫出其狀態(tài)波函數(shù)和能級表達式。解： 8. 已知厄米算符、互相反對易：；是算符的本征態(tài)：，本征值。求在態(tài)中，算符的平均值。解： ， 。但，從而有，即在態(tài)中，算符的平均值為零。二. 計算和證明題1.設(shè)粒子限制在長、寬、高分別為的箱內(nèi)運動，試用量子化

4、條件求粒子能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內(nèi)作自由運動。假設(shè)粒子與箱壁碰撞不引起內(nèi)部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向為軸方向，把粒子沿軸三個方向的運動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有即 （：一來一回為一個周期）,同理可得， , ,粒子能量 2. 考慮如下一維波函數(shù)： ， 其中為已知常數(shù)。利用薛定諤方程求位勢和能量。對于它們，該波函數(shù)為一本征函數(shù)（已知當）。解: 定態(tài)S.eq為 ， （2）對題給求導： （3） （4）從式（2）和（4）中消去，得 （5）當，所以 （6）代回式（5），解得 3一質(zhì)量為的粒子沿正方向以能量向處 的勢階運動。當時，該勢為；當時，該勢為 。問在處粒子被反射的的幾率多大？（15分） 0 解：S.eg為 其中 方程的解為：處，分別連續(xù)，給出解得 ，反射系數(shù) 。4.設(shè)粒子處于狀態(tài)下，1)證明在的本征態(tài)下，。（提示：利用， 求平均。）證：設(shè)是的本征態(tài)，本征值為，即，同理:利用. 有：。2)求和解：記本征態(tài)為，滿足本征方程，將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后