第7章-單純形優(yōu)化法

1、2021/3/261第七章第七章 單純形優(yōu)化法單純形優(yōu)化法2021/3/2627-1 概述 單純形法是一種優(yōu)化設(shè)計方法單純形法是一種優(yōu)化設(shè)計方法 和正交試驗相比的特點和正交試驗相比的特點:計算簡便計算簡便不受因素數(shù)的限制不受因素數(shù)的限制因素數(shù)的增加不會導致試驗次數(shù)大量增加因素數(shù)的增加不會導致試驗次數(shù)大量增加它屬于非線性動態(tài)調(diào)優(yōu)過程它屬于非線性動態(tài)調(diào)優(yōu)過程2021/3/263 發(fā)展簡史發(fā)展簡史1962年年,Spendley提出基本單純形法提出基本單純形法1965年年,Nelder等提出改進單純形法等提出改進單純形法之后之后,Routh提出加權(quán)形心法與控制加權(quán)形心法提出加權(quán)形心法與控制加權(quán)形心法2

2、021/3/2647-2 基本單純形基本單純形 一、雙因素基本單純形法一、雙因素基本單純形法如果我們有一個試驗設(shè)計如果我們有一個試驗設(shè)計,只選有兩個影響因素只選有兩個影響因素,即因素數(shù)為即因素數(shù)為2。分別取值。分別取值a1和和a2作為試驗的初點。作為試驗的初點。記為記為A(a1,a2)。對其余兩個點分別設(shè)為。對其余兩個點分別設(shè)為B和和C,再設(shè)再設(shè)三角形的邊長為三角形的邊長為a(步長步長)。那么。那么B、C點就可以計算點就可以計算出來出來2021/3/265 假設(shè)假設(shè)AB、 AC、BC間距均為間距均為 ,等邊三角形可以算出等邊三角形可以算出B點為點為: B=(a1+p, a2+q)根據(jù)對稱性可知

3、根據(jù)對稱性可知: C=(a1+q, a2+p)可以根據(jù)等邊三角形性質(zhì)解得可以根據(jù)等邊三角形性質(zhì)解得:312 2(91)312 2qapa2021/3/266a2+pa2+qa2a1+pa1+qa1因素2因素1ABCDEo2021/3/267 由由A、B、C三點構(gòu)成得單純形稱為初始單純形三點構(gòu)成得單純形稱為初始單純形 首先在首先在A、B、C三點下分別試驗三點下分別試驗,得出三個響應值得出三個響應值,比較其大比較其大小小,找出最壞響應值的點稱為壞點找出最壞響應值的點稱為壞點 此處設(shè)此處設(shè)A為壞點為壞點,去掉去掉A點并取點并取A的對稱點的對稱點D點作為新試驗點點作為新試驗點,比較比較B、C、D三點響

4、應值的好壞三點響應值的好壞 此處設(shè)此處設(shè)C為壞點為壞點,去點去點C點點,取其反點取其反點E,此時此時C、D、E三點又三點又構(gòu)成新的單純形構(gòu)成新的單純形 重復以上結(jié)果重復以上結(jié)果,最終達到優(yōu)化試驗的目的最終達到優(yōu)化試驗的目的2021/3/268 二、新試驗點的計算方法二、新試驗點的計算方法以初始單純形以初始單純形A、B、C為例為例,設(shè)設(shè)A為壞點為壞點,A應該應該去掉去掉,求其反射點求其反射點D,此時此時A(a1,a2)、B=(a1+p, a2+q)、C=(a1+q, a2+p)D=B+C-A=(a1+p+q,a2+p+q)E=B+D-C=(a1+2p,a2+2q) 即即:新試驗點新試驗點留下各點

5、之和留下各點之和去掉點去掉點(9-8)2021/3/269 三、多因素基本單純形三、多因素基本單純形 設(shè)有設(shè)有n個因素個因素n1個定點構(gòu)成的個定點構(gòu)成的n維空間單純形維空間單純形,設(shè)設(shè)有一點有一點A=(a1, a2, a3, an),步長為步長為a 則其余各點為則其余各點為: B=(a1+p,a2+q,a3+q, an+q) C=(a1+q,a2+p,a3+q, an+q) (n)=(a1+q,a2+q, an-1+p, an+q) (n+1)=(a1+q,a2+q,a3+q, an+p)2021/3/2610 其中其中112(98)112nnqannpan 新點計算新點計算新坐標點新坐標點2

6、n留下點的坐標和留下點的坐標和/n 去掉點坐標去掉點坐標 (9-11)2021/3/2611 四、四、n,p,q取值對應表取值對應表 由由(9-8) 我們可以算出我們可以算出n取不同值的取不同值的p、q的取值的取值112(98)112nnqannpan 2021/3/2612n2345678pqn9101112131415pq0.966 0.943 0.926 0.911 0.901 0.892 0.883 0.259 0.236 0.219 0.204 0.194 0.185 0.176 0.878 0.872 0.865 0.861 0.855 0.854 0.848 0.171 0.16

7、5 0.158 0.154 0.148 0.147 0.141 n、q、p取值對應表2021/3/2613 五、小結(jié)五、小結(jié) 用前面的例子用前面的例子,對兩因素問題對兩因素問題A、B、C構(gòu)成初始單純形構(gòu)成初始單純形,在此在此三點上進行試驗三點上進行試驗 規(guī)則規(guī)則1:去掉最壞點去掉最壞點,用其對稱反射點作新試點用其對稱反射點作新試點 例例A、B、C中中,A為最壞點為最壞點,去掉去掉A點并取點并取A的對稱點的對稱點D點作為新試點作為新試驗點。驗點。 D留下各點之和留下各點之和去掉點去掉點BCA 在在B、C、D三角形中繼續(xù)使用規(guī)則三角形中繼續(xù)使用規(guī)則1,如果如果C為壞點為壞點,去點去點C點點,取其取

8、其反點反點E,此時此時C、D、E三點又構(gòu)成新的單純形。三點又構(gòu)成新的單純形。 如果最壞點為如果最壞點為D那么對稱點就會返回到與那么對稱點就會返回到與A重合重合,此時改用規(guī)則此時改用規(guī)則22021/3/2614 規(guī)則規(guī)則2:去掉次壞點去掉次壞點,用其對稱反射點作新試點對稱計算公式用其對稱反射點作新試點對稱計算公式與前面相同與前面相同經(jīng)過反復使用后經(jīng)過反復使用后,如果有一個點老是保留下來如果有一個點老是保留下來,必須使用規(guī)則必須使用規(guī)則3 規(guī)則規(guī)則3:重復、停止和縮短步長重復、停止和縮短步長一般一個點勁一般一個點勁3次單純形后仍未被淘汰次單純形后仍未被淘汰,它可能是一個很好點它可能是一個很好點,也

9、可能是偶然性或試驗誤差導致的假象。也可能是偶然性或試驗誤差導致的假象。此時需要重復試驗此時需要重復試驗:結(jié)果不好結(jié)果不好,淘汰淘汰;結(jié)果已很滿意則停止試結(jié)果已很滿意則停止試驗驗反之則以它為起點縮短步長反之則以它為起點縮短步長,繼續(xù)試驗繼續(xù)試驗2021/3/2615 六、特殊方法六、特殊方法前面介紹的單純形是正規(guī)的前面介紹的單純形是正規(guī)的,任意兩點間的距離任意兩點間的距離一樣一樣,實際上實際上,這個要求可以不要。尤其是由于各個這個要求可以不要。尤其是由于各個因素所取的量綱不一樣（例如一個因素是溫度因素所取的量綱不一樣（例如一個因素是溫度（）,另一個因素是時間（秒）。即使量綱一樣另一個因素是時間（

10、秒）。即使量綱一樣所取的單位也可以不一樣。所取的單位也可以不一樣。2021/3/2616 （一）直角單純形法（一）直角單純形法我們考慮雙因素模型我們考慮雙因素模型,開始不從正三角形出發(fā)開始不從正三角形出發(fā),而是從一個而是從一個直角三角形出發(fā)直角三角形出發(fā),其頂點取值如下其頂點取值如下: =(a1,a2) =(a1+p1,a2) =(a1,a2+p2)用圖表示如下用圖表示如下2021/3/2617a2+p2a2a1+2p1a1+p1a1因素2因素12021/3/2618同樣比較三個頂點響應值的結(jié)果同樣比較三個頂點響應值的結(jié)果,若若最壞最壞,則新點則新點就就用對稱公式用對稱公式 = =+ +- -

11、=(a=(a1 1+p+p1 1,a,a2 2+p+p2 2) )在得到在得到點后點后, ,再用再用、三點試驗三點試驗, ,比較其結(jié)果比較其結(jié)果, ,若若最壞最壞, ,則取其對稱點則取其對稱點做新試驗點做新試驗點 =+ +- -=(a=(a1 1+2p+2p1 1,a,a2 2) )、構(gòu)成一個新單純形構(gòu)成一個新單純形,比較其結(jié)果比較其結(jié)果,若若最壞最壞,則則用規(guī)則用規(guī)則2去掉次壞點去掉次壞點,若次壞點為若次壞點為, ,則新點則新點 =+ +-=(a=(a1 1+2p+2p1 1,a,a2 2-p-p2 2) )如此等等如此等等, ,有時還會使用規(guī)則有時還會使用規(guī)則3 3, ,直至結(jié)果滿意為止。

12、直至結(jié)果滿意為止。2021/3/2619一般在任意一般在任意n個因素時個因素時 =(a1, a2, a3, an) =(a1+p1,a2,a3, an) =(a1,a2+p2,a3, an) (n)=(a1,a2, an-1+pn-1, an) (n+1)=(a1,a2,a3, an+pn)2021/3/2620 （二）、雙水平單純形法（二）、雙水平單純形法2021/3/26217-3 改進單純形法改進單純形法 為了解決優(yōu)化結(jié)果精度和優(yōu)化速度的矛盾為了解決優(yōu)化結(jié)果精度和優(yōu)化速度的矛盾,可以采可以采用可變步長推移單純形用可變步長推移單純形,此即改進單純形法此即改進單純形法,既能加既能加快優(yōu)化速度

13、快優(yōu)化速度,又能獲得較好的優(yōu)化精度。又能獲得較好的優(yōu)化精度。 改進單純形法是改進單純形法是1965年年JANelder等提出來的等提出來的,它是在基本單純形法的基礎(chǔ)上引入了它是在基本單純形法的基礎(chǔ)上引入了反射反射、擴大擴大、收縮收縮與與整體收縮整體收縮規(guī)則規(guī)則,變固定步長為變固定步長為可變步長可變步長,較好較好地解決了優(yōu)化速度與優(yōu)化精度之間的矛盾地解決了優(yōu)化速度與優(yōu)化精度之間的矛盾,是各種是各種單純形優(yōu)化法中應用最廣泛的一種單純形優(yōu)化方單純形優(yōu)化法中應用最廣泛的一種單純形優(yōu)化方法。法。2021/3/2622 兩因素單純形的推移過程兩因素單純形的推移過程因素1因素2BACDEONA改進單純形ND

14、2021/3/2623 單純形的整體收縮單純形的整體收縮因素1因素2ABCCA2021/3/2624 在單純形的推移過程中在單純形的推移過程中,新實驗點在空間的位置坐新實驗點在空間的位置坐標按以下方法計算標按以下方法計算:(919)0naa留下各點的坐標和新試點的坐標(1+a)去掉點的坐標式中 是大于 的系數(shù)2021/3/2625 討論討論:a1,此時此時(9-19)式變差基本單純形中新點的計算公式式變差基本單純形中新點的計算公式,此時此時新試驗點為去掉點的等距離反射點新試驗點為去掉點的等距離反射點,這時改進單純形又變成這時改進單純形又變成了基本單純形了基本單純形a1,按基本單純形法（按基本單

15、純形法（a1）計算出新點后）計算出新點后,對新試驗點做對新試驗點做試驗得出新試驗點的響應值。如果新點的響應值好試驗得出新試驗點的響應值。如果新點的響應值好,說明我說明我們搜索方向正確們搜索方向正確,可以進一步沿可以進一步沿AD搜索。因此取搜索。因此取a1,稱為稱為擴擴大大。如果擴大點。如果擴大點E不如反射點不如反射點D好好,則則“擴大擴大”失敗失敗,仍采用仍采用D,由反射點何留下點構(gòu)成的單純形由反射點何留下點構(gòu)成的單純形BCD繼續(xù)優(yōu)化繼續(xù)優(yōu)化2021/3/2626 -1a0,按（按（a1）計算出來的反射點）計算出來的反射點D的響應值最壞的響應值最壞,此時采此時采用用-1a0（稱為（稱為內(nèi)收縮內(nèi)

16、收縮）計算新試驗點）計算新試驗點,此時形成新的單純形此時形成新的單純形BNAC 0a1,按基本單純形法（按基本單純形法（a1）計算除反射點）計算除反射點D響應值最壞。響應值最壞。但比去掉點但比去掉點A響應值好。此時采用響應值好。此時采用0a1,稱為稱為收縮收縮,新試點仍按新試點仍按(9-19)式計算式計算,此時形成新的單純形此時形成新的單純形BCND2021/3/2627 如果去掉點與其反射點連線如果去掉點與其反射點連線AD方向上所有點的響應值都比去方向上所有點的響應值都比去掉點掉點A壞壞,則不能沿此方向搜索。這時應以單純形中最好點為初則不能沿此方向搜索。這時應以單純形中最好點為初點點,到其它

17、各點的一半為新點到其它各點的一半為新點,構(gòu)成新的單純形構(gòu)成新的單純形BAC進行優(yōu)化。進行優(yōu)化。此時步長減半此時步長減半,稱為稱為“整體收縮整體收縮”2021/3/26287-4 加權(quán)形心法加權(quán)形心法 基本單純形和改進單純形都是采用去掉點的反射基本單純形和改進單純形都是采用去掉點的反射方向為新試驗點的搜索方向方向為新試驗點的搜索方向,這就意味著這就意味著,去掉點的去掉點的反射方向作為近似的優(yōu)化方向反射方向作為近似的優(yōu)化方向,就是梯度變化最大就是梯度變化最大的方向的方向 實際上實際上,這個方向是一個近似的梯度最大方向這個方向是一個近似的梯度最大方向,這樣這樣的搜索結(jié)果可能導致搜索次數(shù)的增加和搜索結(jié)

18、果的搜索結(jié)果可能導致搜索次數(shù)的增加和搜索結(jié)果精度的降低精度的降低 為了解決這個問題為了解決這個問題,提出了加權(quán)形心法提出了加權(quán)形心法,加權(quán)形心法加權(quán)形心法利用加權(quán)形心代替單純的反射形心利用加權(quán)形心代替單純的反射形心,使新點的搜索使新點的搜索方向更接近實際的最優(yōu)方向方向更接近實際的最優(yōu)方向2021/3/2629因素1因素2BCOEEO形心點O和加權(quán)形心點O2021/3/2630 如圖如圖,使使W、B、C三個頂點組成的一個二因素的優(yōu)三個頂點組成的一個二因素的優(yōu)化過程的一個單純形化過程的一個單純形,并知并知W點的響應最壞點的響應最壞,B的響的響應最好應最好。 如果搜索優(yōu)化過程中函數(shù)不出現(xiàn)異常如果搜索

19、優(yōu)化過程中函數(shù)不出現(xiàn)異常,那么搜索最那么搜索最優(yōu)點的方向明顯應當更靠近優(yōu)點的方向明顯應當更靠近WB的方向的方向,而不是靠而不是靠近近WC的方向。因此可以通過加權(quán)的辦法來使搜索的方向。因此可以通過加權(quán)的辦法來使搜索的方向由原來的的方向由原來的WE（反射方向）（反射方向）變?yōu)樽優(yōu)閃E方向方向（加權(quán)方向）（加權(quán)方向）,此時用加權(quán)形心點此時用加權(quán)形心點O 代替反射形心代替反射形心點點O2021/3/26317-5 單純形優(yōu)化的參數(shù)選擇單純形優(yōu)化的參數(shù)選擇 在試驗中在試驗中,我們只研究優(yōu)化條件我們只研究優(yōu)化條件,可用基本單純形法可用基本單純形法時時,首先必須確定研究的因素首先必須確定研究的因素 由于單純

20、形法不受因素的限制由于單純形法不受因素的限制,考察的因素可以相考察的因素可以相對的多些對的多些 因素確定后因素確定后,據(jù)分析儀器和試驗要求據(jù)分析儀器和試驗要求,規(guī)定因素變化規(guī)定因素變化的上下限的上下限,據(jù)上下限的范圍確定步長的大小。據(jù)上下限的范圍確定步長的大小。 步長較大步長較大,優(yōu)化速度加快優(yōu)化速度加快,精度較差精度較差;步長太小試驗次步長太小試驗次數(shù)增多數(shù)增多,優(yōu)化速度變慢優(yōu)化速度變慢2021/3/2632 一、試驗指標一、試驗指標 試驗指標是用于衡量和考核試驗響應的各種數(shù)值試驗指標是用于衡量和考核試驗響應的各種數(shù)值 在分析測試中可將儀器響應值作為試驗指標在分析測試中可將儀器響應值作為試驗

21、指標,但有時須轉(zhuǎn)但有時須轉(zhuǎn)換稱其它的數(shù)量換稱其它的數(shù)量,試驗指標是數(shù)量化的試驗指標是數(shù)量化的,以便直接比較結(jié)果以便直接比較結(jié)果的大小的大小2021/3/2633 二、初始單純形的構(gòu)成二、初始單純形的構(gòu)成 本章第一節(jié)介紹的方法是根據(jù)本章第一節(jié)介紹的方法是根據(jù)初始點初始點和和步長步長來計來計算初始單純形的各個頂點算初始單純形的各個頂點,各因素的步長是相同的各因素的步長是相同的 實際過程中實際過程中,各因素步長和單位并不相同各因素步長和單位并不相同,利用這種利用這種方法會變得很麻煩方法會變得很麻煩,在實際應用中問題較多在實際應用中問題較多 我們介紹下述兩個構(gòu)成初始單純形的方法我們介紹下述兩個構(gòu)成初始

22、單純形的方法2021/3/2634 （一）（一）long系數(shù)表法系數(shù)表法 D.E.Long提出一種用系數(shù)表構(gòu)成初始單純形各頂點的提出一種用系數(shù)表構(gòu)成初始單純形各頂點的方法方法,可以解決試驗設(shè)計中初始單純形的構(gòu)成問題可以解決試驗設(shè)計中初始單純形的構(gòu)成問題 使用時把表中的對應值乘上該因素的步長后使用時把表中的對應值乘上該因素的步長后,再加到初再加到初始點坐標上始點坐標上2021/3/26351234567891010A B C D E F G H I J01.000.500.500.500.500.500.500.500.500.50000.8660.2890.2890.2890.2890.289

23、0.2890.2890.2890000.8170.2040.1580.2040.2040.2040.2040.20400000.7910.1580.1580.1580.1580.1580.158000000.7750.1290.1290.1290.1290.1290000000.7640.1090.1090.1090.10900000000.7560.0940.0940.094000000000.7500.0830.0830000000000.7450.07500000000000.742因素頂點Long系數(shù)表2021/3/2636 例例:有一個二因素的設(shè)計過程有一個二因素的設(shè)計過程,其初始點

24、為其初始點為(10.0,2.0);步長為步長為1.0和和0.5,據(jù)據(jù)Long系數(shù)表來計算其余兩個頂系數(shù)表來計算其余兩個頂點的坐標點的坐標 頂點頂點1: （10.0,2.0） 頂點頂點2: （10.0+1.001.0,1.0+00.5） =（11.0,2.0） 頂點頂點3: （10.0+0.51.0,2.0+0.8660.5） =（10.5,2.433）2021/3/2637 （二）均勻設(shè)計表法（二）均勻設(shè)計表法 利用利用Long系數(shù)表法所構(gòu)成的初始單純形各頂點在空間系數(shù)表法所構(gòu)成的初始單純形各頂點在空間的分布是不均勻的的分布是不均勻的,因此進行的是不均勻優(yōu)化因此進行的是不均勻優(yōu)化 均勻設(shè)計表改

25、變了這個缺點均勻設(shè)計表改變了這個缺點,使各頂點在空間均勻分布使各頂點在空間均勻分布,這樣進行的優(yōu)化就是這樣進行的優(yōu)化就是整體的均勻優(yōu)化整體的均勻優(yōu)化 據(jù)所選因素的因素數(shù)據(jù)所選因素的因素數(shù),確定一個比較合適的均勻表確定一個比較合適的均勻表,使用使用時把表中的對應數(shù)值乘以響應因素的步長時把表中的對應數(shù)值乘以響應因素的步長,加到初始點加到初始點坐標上即可坐標上即可2021/3/2638 例例:我們有一個四因素的優(yōu)化過程我們有一個四因素的優(yōu)化過程,因此可以選用四因此可以選用四因素的均勻設(shè)計表。設(shè)初點為因素的均勻設(shè)計表。設(shè)初點為(1.0,1.0,1,0,1.0);步步長為長為0.5,1.0,1.5,2.0。要求計算初始單純形的各頂。要求計算初始單純形的各頂點點2021/3/2639四因素均勻設(shè)表四因素均勻設(shè)表U5(54)2021/3/2640頂點頂點1:（1.0+1 0.