初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答第1講走進追問求根公式

1、1第一講走進追問求根公式形如 ax2bxc=O ( a=0 )的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次 方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式xi2bb一麻內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學過的全部代數(shù)運算；它回答了一元12a二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展示了數(shù)學的簡潔美。降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當?shù)淖冃蝸泶鷵Q，從而使問 題易于解決。解題時常用到變形降次、整體代入、構造零值多項

2、式等技巧與方法?！纠}求解】【例 1】滿足(n2-n -1)n 2=1的整數(shù) n 有_個。思路點撥：從指數(shù)運算律、土 1 的特征人手，將問題轉(zhuǎn)化為解方程?！纠?2】設 Xi、X2是二次方程 X2，x_3=0的兩個根，那么Xi3-4X2219的值等于()A、一一 4 B、8C、6 D、0思路點撥：求出捲、X2的值再代入計算，則計算繁難，解題的關鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如x12=3-，x22=3x2。【例 3】 解關于x的方程(a - 1)x2-2ax a =0。思路點撥：因不知曉原方程的類型，故需分 a -1 =0 及 a -1 =0 兩種情況討論?！纠?4】設方程x2-2x -1

3、 -4 =0，求滿足該方程的所有根之和。思路點撥：通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解。1111【例 5】 已知實數(shù) a、b、c、d 互不相等，且a=b-=c=d =x， 試求 x 的值。b c d a思路點撥：運用連等式，通過迭代把 b、c、d 用a的代數(shù)式表示，由解方程求得x的值。注：一元二次方程常見的變形形式有：2(1)把方程 ax bx c =0( a =0 )直接作零值多項式代換；把方程 ax2bx c =0 ( a =0 )變形為 ax2二-bxc，代換后降次；(3)把方程 ax2bx c = 0 ( a 山 0)變形為 ax2，bx 二-c 或 ax

4、2c- -bx，代換后使之轉(zhuǎn)化關系或整體 地消去x。解合字母系數(shù)方程 ax2亠 bx 亠 c =0 時，在未指明方程類型時，應分a =0 及 a=0 兩種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質(zhì)，如x2=x2=x2。2走進追問求根公式學歷訓練1、已知a、b 是實數(shù)，且 J2a+6+b_72 =0,那么關于x的方程(a+2)x2+b2x =a_1的根32(X-1)x 1的值是X13、若x2xy 14，y2xy 28，貝 U x y 的值為_4、 若兩個方程 x2ax b =0 和 x2bx=0 只有一個公共根，則()A、a=bB、a b=0C、a b=1D、a b=_15、

5、當分式 一 J有意義時，x的取值范圍是()x3x 4A、 x：1B、 x 4 C、 一 1：: x：4 D、 x - -1 且 x = 46、 方程(x 1)x 1 -xx V =0的實根的個數(shù)是()A、0 B、1 C、2D、37、 解下列關于x的方程：(1)(m_1)x2+(2m_1)x+m_3=0；(2)x2x _1 =0；(3) x2+4x=62x。8、已知 x2-2x-2=0，求代數(shù)式(x-1)2(x 3)(x3) (x3)(x1)的值。9、是否存在某個實數(shù) m,使得方程 x mx 2 0 和 x 2x m 0 有且只有一個公共的實根？如果存在, 求出這個實數(shù) m 及兩方程的公共實根；

6、如果不存在，請說明理由。注：解公共根問題的基本策略是：當方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當方程的根不便于求出時，可設出公共根，設而 不求，通過消去二次項尋找解題突破口。22510、_若 x -5x1=0，貝y2x -9x 3 r =。x2+12、已知 x2_3x_2 =0 ,那么代數(shù)式311、 已知m、n是有理數(shù)，方程 x2mx n = 0 有一個根是5 -2，貝U m n的值為_413、對于方程x2_2x2=：m，如果方程實根的個數(shù)恰為A、1 B、2 C、.3D、2. 5214、自然數(shù)n滿足（n2_2n_2）nW=（n2一2n_2）16n6，這樣的n的個數(shù)是（）A、 2B、 1

7、C、 3D、 415、已知a、b 都是負實數(shù)，且- ，那么-的值是（）a b a -b =0a12、已知a是方程 x2_x_2000=0 的一個正根。則代數(shù)式20002000_20001 -的值為3 個，則 m 值等于（C、1.525_ 43216、已知 x - . 19 -8 “ 3，求x-6xJ*18x 23的值。x -8x十1517、已知 m、n 是一元二次方程 x22001x=0 的兩個根，求（m2 2000m - 6）（m22002n - 8）的值。18、在一個面積為 I 的正方形中構造一個如下的小正方形：將正方形的各邊n等分，然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連結(jié)起來，如圖所示，

8、若小正方形面積為，求n的值。328119、已知方程 x2-3x 0 的兩根:- 也是方程x4-px2q=：0的根，求 p、q 的值。20、如圖，銳角 ABC 中，PQRS 是厶 ABC 的內(nèi)接矩形，且 然數(shù)求證：BS需為無理數(shù)。ABDCiQSABC=nS矩形5U追問求報公式【例題求解】例 1 4 提力 h由JI+2用 THO 得n=一 2由 H3用一 1= 1 得 n= 1 2 ；由畀一可一 1 = 一 i 且用+ 2 為偶數(shù)得 =0*例2選A由題意有 汩+心一 3 = 0 豉十衛(wèi)一 3 冃 0 甲即工 f =$Hi+_r? =3 衛(wèi)原式* (3JTI) *4(3 J2) + 19 = 3JTIjrf + 4 巧 + 7 =Sxi(3JT ) + IJ2 + 7 = 4(J-I+衛(wèi))+4 = 4 X ( 1 )+4 = 0例 3(!)=J 時，方程的報為 Jr = y;當口0 且口工】時方程有兩個不相等的實數(shù)根工產(chǎn)茫孑嚴=訐%當“冃 0時*方祥有兩個相等實根巧=孔=0；當uVO時，方程沒有實數(shù)帳.例4當 2-10 即寺時.原方程化為+2 工一 3 = 0,解得舍幻；當 2T1=0 即 z = y 時*代人原方 程不合*舍去；當 2J-1y = 2-#.例5由已知有：由= *(=- *代入r+Z=jr 得-一-+-y = 0,即cAr 泌+ 1 )J2(2/a) j+0 時池=-