【2020年】四川省南充市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)及解析

1、四川省南充市高考數(shù)學(xué)一診試卷（理科）一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的1.（5 分）已知集合A=（x, y） | y=f （x） , B= （x, y） |x=1，則 AGB 中元素的個數(shù)為（）A.必有 1 個B. 1 個或 2 個 C.至多 1 個D.可能 2 個以上2.（5 分）已知復(fù)數(shù) z 滿足 I ,則復(fù)數(shù)z 的虛部是（）z 1+211-1A.】B. 一 C.D.亠5515513 . （ 5 分）已知向量一，：:是互相垂直的單位向量，且，則：=（ ）A.- 1 B. 1C. 6 D.- 64.（5 分）

2、已知變量 x 與變量 y 之間具有相關(guān)關(guān)系，并測得如下一組數(shù)據(jù)：x651012y6532則變量 x 與 y 之間的線性回歸直線方程可能為()A. =0.7x- 2.3 B. ，.-= 0.7x+10.3 C. = 10.3x+0.7 D.=10.3x- 0.75.(5 分)設(shè) f (x) =asin (n+a)+bcos (n+ ，其中 a，b，a， B都是非零實數(shù)，若 f (2017) =- 1,那么 f (2018)=()A. 1B. 2C. 0 D.- 16.(5 分)若 0vmv1,則()A. logm(1+m) logm(1 - m)B. logm(1+m) 0丄丄C. 1 - m

3、( 1 +m)2D i . r i 7.(5 分)已知一個棱長為 2 的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積為()A.二 B. 4 C. 3 D.228.（5 分）函數(shù) f （x） =x3+x2- ax-4 在區(qū)間（-1, 1）內(nèi)恰有一個極值點，則實數(shù) a 的取值范圍為（）A. （1,5）B. 1,5）C.（1,5 D. （-X,1）U（5,+）9.（5 分）如圖，將 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜邊與 30直角三角板的 30角所對的直角邊重合.若 一： . 一 1：:,則 x+y=（）A.：乙 B.= C.二 D.10. （5

4、分）已知 A, B, C, D 是同一球面上的四個點，其中 ABC 是正三角形，AD 丄平面 ABC, AD=2AB=6 則該球的體積為（ ）A.L B.48nC. 24nD.16n11. （5 分）已知拋物線 C: x2=4y,直線 I: y=- 1, PA PB 為拋物線 C 的兩條切線，切點分別為 A, B,則 點 P 在 l 上”是“PAPB的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12. (5 分)已知函數(shù) f (x) =1 - 一 (xe, e=2.71828 是自然對數(shù)的底數(shù))lnx+1若 f (m) =2ln 譏-f (n),則 f (mn

5、)的取值范圍為()A. ：, 1)B匚，1)C十,1) D. : , 1二、填空題(每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上)13._ (5 分)門 的展開式中有理項系數(shù)之和為 _ .14. (5 分)函數(shù) I -.的單調(diào)遞增區(qū)間是 _.15. (5 分)若圓 01： x2+y2=5 與圓 O2: (x+m)2+y2=20 ( m R)相交于 A, B 兩點，且兩圓在點 A 處的切線互相垂直，則線段 AB 的長度是_ .16.(5 分)定義域為 R 的偶函數(shù) f (x)滿足對？x R,有 f (x+2) =f (x)- f(1),且當 x 2, 3時，f (x) =-2x2+12x-

6、18,若函數(shù) y=f (x)- loga(| x|+1) 在(0,+x)上至少有三個零點，則 a 的取值范圍是_ .三、解答題(本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.)17. (12 分)已知數(shù)列an的前 n 項和為 乳 且 S1=2an- 2.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若數(shù)列C 的前 n 項和為 Tn,求 Tn.518. (12 分)一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取 50 個作為樣本，稱出它們的重量(單位：克)，重量分組區(qū)間為5, 15,(15, 25 , (25, 35 , (35, 45,由此得到樣本的重量頻

7、率分布直方圖 (如圖).(1) 求 a 的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；(2) 從盒子中隨機抽取 3 個小球，其中重量在5, 15內(nèi)的小球個數(shù)為 X,求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)騎i査N 分別是 DE, AB 的中點.(1) 證明：MN /平面 BCE(2) 求銳二面角 M - AB- E 的余弦值.E2 220.(12 分)已知橢圓1，-的左焦點為 F,左頂點為 A.J；0(1) 若 P 是橢圓上的任意一點，求 即-門;的取值范圍；(2)已知直線 I: y=kx+m 與橢圓相交于不同的兩點 M , N (均不是長軸的端點)，AH 丄 MN

8、，垂足為 H 且求證：直線 I 恒過定點.21.(12 分)已知 a R,函數(shù) f (x) =ln (x+1)- X +ax+2.(1) 若函數(shù) f (x)在1, +x)上為減函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍；(2)令 a=- 1, b R,已知函數(shù) g (x) =b+2bx - x2.若對任意 (- 1, +), 總存在 x2 - 1, +x),使得 f (X1)=g (X2)成立，求實數(shù) b 的取值范圍.請考生在 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.(10 分)在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為(a為ly=sina參數(shù))，在以原點為極點，x

9、軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線 l 的極坐標方程為門.-二-|_-(1) 求 C 的普通方程和 I 的傾斜角；(2) 設(shè)點 P (0, 2), I 和 C 交于 A, B 兩點，求|PA+| PB .23. 已知函數(shù) f (x) =|x+1| .(1) 求不等式 f (x)v| 2x+1| - 1 的解集M ;(2) 設(shè) a, b M，證明：f (ab) f (a)- f (- b).2018年四川省南充市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的1. (5 分)已知集合A=

10、(x, y) | y=f (x) , B= (x, y) |x=1，則 AGB 中元 素的個數(shù)為()A.必有 1 個 B. 1 個或 2 個 C.至多 1 個D.可能 2 個以上【解答】解：集合 A= (x，y) | y=f (x) ，B=(x，y) | x=1，則 AAB= (x，y) | y=f (x)，且 x=1，當 x=1 時，f (1)的值存在，AAB= (1, f (1) ，有一個元素；當 x=1 時，f (1)的值不存在，AAB=?，沒有元素； AAB 中元素的個數(shù)至多一個.故選：C.2(5 分)已知復(fù)數(shù)z滿足丄，則復(fù)數(shù)z的虛部是(Ax B C D【解答】解：由.，z 1+211

11、-1得一 宀zJ復(fù)數(shù) z 的虛部是-.5故選：C.3 . ( 5 分)已知向量是互相垂直的單位向量，且一 1，則一 . -=( )A. 1 B. 1C. 6 D. 6【解答】解：向量,；是互相垂直的單位向量，且 .i_ -:,則“ ：=0L+5:二1+5X(1)=6.故選：D.4.(5 分)已知變量 x 與變量 y 之間具有相關(guān)關(guān)系，并測得如下一組數(shù)據(jù):x651012y6532則變量 x 與 y 之間的線性回歸直線方程可能為()A.=0.7x 2.3 B. -= 0.7x+10.3 C. ：-= 10.3x+0.7 D.：-=10.3x 0.7【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；:J (6+5+10

12、+12)=仝,44_=1(6+5+3+2) =4,4且變量 y 隨變量 x 的增大而減小，是負相關(guān)，所以，驗證匸=時，,.= 0.7X+10.34，4y4即回歸直線=0.7x+10.3 過樣本中心點(匚，一).故選：B.5.(5 分)設(shè) f (x) =asin (n+a)+bcos (n+ ，其中 a，b，a， B都是非零實數(shù)，若 f (2017) = 1,那么 f (2018)=()A. 1 B. 2C. 0D. 1【解答】解：f (x) =asin (n+a)+bcos (nxB)，其中 a，b，a，B都是非零實 數(shù)，若 f(2017)=asin(2017a)+bcos(2017B)=as

13、inbcosB=1，則 asinabcosB那么 f(2018)=asin(2018n+a)+bcos(2018 冗+B)=asin +bcosB=1 故選：A.6. (5 分)若 Ovmv1,則()A. logm(1+m) logm(1 - m) B. logm(1+m) 01 12 C. 1- m( 1+m)D. :, -. ：rI -【解答】解：TOvmv1,A函數(shù) y=logmx 是(0, +x)上的減函數(shù)，又/ 1+m 1 - m0, logm(1+m)vlogm(1 - m);二 A 不正確；2TOvmv1 , 1+m 1 , logm(1+m)v0；AB不正確；3T0vmv1 ,

14、 0v1 - mv1, 1+m 1 , 1 - m( 1+m)2；二 C 不正確；40vmv1 , 0v1 - mv1 ,函數(shù) y= (1 - m)x是定義域 R 上的減函數(shù)，丄j_又T訂三，：.J f | r；D正確；故選：D.7. （5 分）已知一個棱長為 2 的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如 圖所示，則該截面的面積為（）A. B. 4 C. 3 D.2 2【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖,截面是等腰梯形 FHDE正方體的棱長為 2, FH=匚，DE 二匚，梯形的高為 二-該截面的面積為 S= |-.故選：A.8. (5 分)函數(shù) f (x) =x3+x2- ax-4 在區(qū)

15、間(-1, 1)內(nèi)恰有一個極值點，則實數(shù) a 的取值范圍為()A. (1,5)B. 1,5)C.(1,5 D. (-X,1)U(5,+)【解答】解：由題意，f( x) =3x2+2x - a,則 f(-1)f(1)v0,即(1-a) (5-a)v0,解得 1vav5,另外，當 a=1 時，函數(shù) f (x) =x3+x2- x- 4 在區(qū)間(-1, 1)恰有一個極值點， 當 a=5時，函數(shù) f (x) =x3+x2- 5x- 4 在區(qū)間(-1 , 1)沒有一個極值點， 故選：B.9.(5 分)如圖，將 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三 角板的斜邊與 30直角三角板的 3

16、0角所對的直角邊重合.若 -八 : - -,則 x+y=( )CA.-B.匚 C. -D.【解答】解：由題意得，若設(shè) AD=DC=1 貝 UAC 頊,AB=2伍,BC 五，由題意知，川）.: , BCD 中，由余弦定理得DB2=DC?+CB?- 2DC?CB?co（45+90 =1+6+2X1X寧八音 7+2 二vZADC=90,. DB2=x2+y2，X2+=7+2.如圖，作亍，:廠，亠 .，貝 uCC =-1，C B=yRtACCB,由勾股定理得BCcCf+CB即 6= （X-I）2+y，由可得X=1+7二，y=；.那么：x+y=1+2:故選：B.c10. （5 分）已知 A，B，C，D

17、是同一球面上的四個點，其中 ABC 是正三角形,AD 丄平面 ABC AD=2AB=6 則該球的體積為（ ）4A.二門二 B. 48nC. 24nD.16n【解答】解：由題意畫出幾何體的圖形如圖，把 A、B、C、D 擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與 A 的距離為球的半徑,AD=2AB=6 OE=3 ABC 是正三角形，所以 AE=匚A=-所求球的體積為： | |= _, =327.故選 A.11. （5 分）已知拋物線 C: x2=4y,直線 I: y=- 1, PA PB 為拋物線 C 的兩條切線，切點分別為 A, B,則 點 P 在 I 上”是“PAPB的（）A.充分不必要條件 B.

18、必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：由 x2=4y,對其求導(dǎo)得-,.2 2設(shè)A :, B ，則直線 PA, PB 的斜率分別為 kPA=，: 一，kPB=，:2 2由點斜式得 PA, PB 的方程分別為：y-，. ：,.：.、,一=（x-X2）,X1XiXn聯(lián)立解得P:因為 P 在 I 上，所以所以 kpA?kpB=上-1,所以 PAXPB.反之也成立. 4所以點 P 在 I 上”是“PXPB的充要條件.故選：C.12. (5 分)已知函數(shù) f (x) =1 - 一 (xe, e=2.71828 是自然對數(shù)的底數(shù)) lnx+1若 f (m) =2l- f (n),則

19、f (mn)的取值范圍為()A. ：, 1)B.八，1)C. , 1) D., 147107【解答】解：由 f (m) =2ln - f (n)得 f (m) +f (n) =1? 一 |-,1 nm+11 nn+1f (mn) =1 - - -=1 - - ,ln(mnHl lnn+lnnr+1又 lnn+lnm+2= (lnn +1) +(lnm+1)(-+_-) =4+力口門皿+戈(11!口+1)lnn+1 lnm+llnn+1 lrn+14+4=8, Inn+lnm6, f (mn) =1 ，且 m、ne, lnn+lnm0, f (mn)ln(mn)+l 7=1-vf(mn)v1,故

20、選：B.二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13. （5 分）：心的展開式中有理項系數(shù)之和為32【解答】解：由-,得通項當 r=0、2、4、6時,此時有理項系數(shù)之和為故答案為：32.14.（5 分）函數(shù) y=:的單調(diào)遞增區(qū)間是_ 1【解答】 解：化簡可得 y=sinxcos +cosxsin =sin （x+ ）,由 2kn二Wx+三 2kn+二可得 2kn二Wx 2kn二,k Z,Tr+i為有理項,2 23=6 62 2X X- -6 6 6 6c+4 4 6 6c c+ +2 2 6 6c-c-+ +c c23266當 k=0 時，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為-丄

21、丄，丄,66由 x 0,可得 x 0,2 6故答案為：0, 一 .615. (5 分)若圓 Oi： x2+y2=5 與圓 O2: (x+m)2+y2=20 (m R)相交于 A, B 兩 點，且兩圓在點 A 處的切線互相垂直，則線段 AB 的長度是.【解答】解：由題 Oi(0, 0)與。2： (- m, 0)，根據(jù)圓心距大于半徑之差而 小于半徑之和， 可得-| m|v窗.再根據(jù)題意可得 OiA 丄 AO2, m2=5+20=25,二 m= 5,二利用1- _.,解得：AB=4.故答案為：4.16.(5 分)定義域為 R 的偶函數(shù) f (x)滿足對？x R,有 f (x+2) =f (x)- f

22、(1),且當 x 2, 3時，f (x) =-2x2+12x- 18,若函數(shù) y=f (x)- loga(| x|+1) 在(0,+x)上至少有三個零點，則 a 的取值范圍是(0，二-_ .-1【解答】解： f (x+2) =f (x)- f (1),且 f (x)是定義域為 R 的偶函數(shù)，令 x=- 1 可得 f (- 1+2) =f (- 1)- f (1),又 f (- 1) =f (1), f (1) =0 則有 f (x+2) =f (x), f (x)是最小正周期為 2 的偶函數(shù).當 x 2 , 3時,f (x) =-2x2+12x- 18=- 2 (x- 3)2,函數(shù)的圖象為開口

23、向下、頂點為(3, 0)的拋物線.函數(shù) y=f (x)- loga(|x|+1)在(0, +x)上至少有三個零點，令 g( X)=loga( | x|+ 1)，則 f(X)的圖象和 g( X)的圖象至少有 3 個交點.If (x) 0,二 g (x)f (2),可得 loga(2+1 )f (2) =-2,即 loga3- 2,A3v，解得vav，又 0vav1 ,二 0vav,25333三、解答題(本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.)17.(12 分)已知數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,且$=2 為-2.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若數(shù)列丄一

24、的前 n 項和為 Tn,求 Tn.【解答】解：(1)當 n=1 時，a1=S=2a1- 2,解得矽=2.當 n 2 時，Sh-1=2an-1- 2,所以 an=Sn- Sn-1=2an - 2-( 2an-1- 2),即厶=2,%1所以數(shù)列an是以首項為 2,公比為 2 的等比數(shù)列,故答案為:故 an=2 (n N*).(2)丄_=(n+1)?U )n,an2則 Tn=2?(丄)+3? d )2+4? d ) *+ (n+1) ?(丄)n,22221Tn=2?C )2+3?(1 )3+4?(1 )4+-+(n+1)?f )n+1,22222上面兩式相減，可得1Tn=1+ f )2+ d )3+

25、 d ) + d )n-( n+1) ?(丄)n+122 2 2 2 2 丄(1亠)4U9n-l=1+：-(n+1) ? ()n+1,1 丄2化簡可得 Tn=3-（ n+3） ?（丄）-18.（12 分）一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨 機抽取 50 個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為5, 15，（15, 25，（25, 35，（35, 45，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖 （如圖）.（1） 求 a 的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2） 從盒子中隨機抽取 3 個小球，其中重量在5，15內(nèi)的小球個數(shù)為 X,求 X 的分布

26、列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中的頻率作為概率）【解答】解：（1）由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）x10=1解得 a=0.03;又由最高矩形中點的橫坐標為 20, 可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為 20, 而 50 個樣本小球重量的平均值為：0.032a眶1525=0.2X10+0.32X20+0.3X30+0.18X40=24.6 (克)故估計盒子中小球重量的平均值約為 24.6 克.(2)利用樣本估計總體，該盒子中小球的重量在5, 15內(nèi)的 0.2;19.(12 分)如圖，正方形 ABCD 與等邊三角形 ABE 所在的平面互相垂直，M,N 分別是 DE, AB 的中點.(1) 證

27、明：MN /平面 BCE(2) 求銳二面角 M - AB- E 的余弦值.【解答】(1)證明：取 AE 中點 P,連結(jié) MP, NP.由題意可得 MP/ AD/BC,因為 MP?平面 BCE BC?平面 BCE所以 MP /平面 BCE同理可證 NP/平面 BCEx=0, 1,2, 3;(X=0) =-x(x=1)-x(X=2)(X=3)=：x3二；2x一 八；5 125x( )2=；51253=125X01123PJ2_丄 X 的分布列為:即E(X)=0 x=圭W n?=因為 MPGNP=P,所以平面 MNP /平面 BCE又 MN?平面 MNP,所以 MN /平面 BCE(2)解：取 CD

28、 的中點 F,連接 NF, NE由題意可得 NE, NB, NF 兩兩垂直，以 N 為坐標原點，NE, NB, NF 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系.令A(yù)B=2,則:二 lr所以 J.Y-設(shè)平面 MAB 的法向量 V. 二則、LnpAB=2y=0令 x=2,則：-因為二 u :是平面 ABE 的一個法向量V?x2 *7所以銳二面角 M - AB- E 的余弦值為亠.7所以|-.-:|n|AD|CE2220.(12 分)已知橢圓 1，-的左焦點為 F,左頂點為 A.J；V(1) 若 P 是橢圓上的任意一點，求 二“一的取值范圍；(2) 已知直線 I: y=kx+m 與橢圓

29、相交于不同的兩點 M , N (均不是長軸的端點)，AH 丄 MN，垂足為 H 且！；：5：匕，求證：直線 I 恒過定點.【解答】解：(1)設(shè) P (xo, yo)，又 A (- 2, 0)，F(xiàn) (- 1, 0)所以-匕=，一-一 一，22因為 P 點在橢圓上，432 2 _所以.-，即，_=：-，且-20 得 4+3m2:j 匸士一 一冷【!Y=0,所以(X1+2) (x?+2) +y1y2=0即 I: :- -_/I1 - : ：:： 一，2 2設(shè) M (冷,y1),N (X2, y2),則 K +葢-8km3+4k2Ki4 異-12一O3+4k4k2- 16km+7m2=0,所以:或均適

30、合當廠時，直線|過點 A,舍去，2 當上_時，直線 1;V-：- fk 過定點；.221.(12 分)已知 a R,函數(shù) f (x) =ln (x+1)- x+ax+2.(1) 若函數(shù) f (x)在1, +x)上為減函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍；(2) 令 a=- 1，b R,已知函數(shù) g (x) =b+2bx - x2.若對任意 X1(- 1，+x)， 總存在 x2 - 1，+x)，使得 f (X1)=g (X2)成立，求實數(shù) b 的取值范圍.【解答】解：(1)函數(shù) f (x)在1，+X)上為減函數(shù)？f( x)- 2x+a 0 x+1在1，+x)上恒成立？a0 (或利用增函數(shù)減減函數(shù))？h

31、(x)在1，+x+1X)上為增函數(shù)？h (x) min=h (1)=，2所以 aw；2(2)若對任意 X1 - 1，+X)，總存在 X2 - 1，+X)，使得 f (xC =g (X2) 成立，貝U函數(shù) f (X)在(-1，+X)上的值域是函數(shù) g (X)在-1，+X)上的 值域的子集.對于函數(shù) f (X)，因為a=- 1，所以 f (x) =ln (x+1)- X2-x+2，定義域(-1，+X9/、1 c_2x-3Kf (x) =- 2x- 1 =K+1X+1令 f( x) =0 得 X1=0X2=二(舍去).當 X 變化時，f ( X)與 f( X)的變化情況如下表：X(-L0)0(何)f(x)+-Z極大值所以 f (x) max=f (0) =2?所以 f (x)的值域為(-乂, 2)對于函數(shù) g (x) =-x2+2bx+b= -(x-b)2