2010高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課件：29導(dǎo)數(shù)的概念及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(理)

1、一、復(fù)習(xí)目標(biāo)一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景( (瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度, 加速度加速度, 光滑曲線光滑曲線切線的斜率等切線的斜率等) ), 掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義何意義, 理解導(dǎo)數(shù)的概念理解導(dǎo)數(shù)的概念, 熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 c, xm( (m 為為有理數(shù)有理數(shù)) ), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 并能熟練應(yīng)用它們并能熟練應(yīng)用它們求有關(guān)導(dǎo)數(shù)求有關(guān)導(dǎo)數(shù).二、重點(diǎn)解析二、重點(diǎn)解析 導(dǎo)數(shù)概念比較抽象導(dǎo)數(shù)概念比較抽象, 其定義、方法一般不太

2、熟悉其定義、方法一般不太熟悉, 因此對(duì)導(dǎo)因此對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)數(shù)概念的理解是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn). 本節(jié)要重點(diǎn)掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)本節(jié)要重點(diǎn)掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法. 一方面一方面, 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)可根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)可進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的概念, 另一方面另一方面, 許多法則都是由導(dǎo)數(shù)定義許多法則都是由導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)出的導(dǎo)出的. 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)( (導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)) )是一個(gè)特殊的函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù), 它的引出和定義始終貫穿它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想著函數(shù)思想, 首先定義函數(shù)首先定義函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且在

3、且在 x0 處有處有唯一的導(dǎo)數(shù)唯一的導(dǎo)數(shù) f (x0), 然后定義函數(shù)然后定義函數(shù) y=f(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 因而對(duì)于開區(qū)間因而對(duì)于開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一個(gè)確定的值內(nèi)每一個(gè)確定的值, 都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x0). 據(jù)函數(shù)定義據(jù)函數(shù)定義, 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)就構(gòu)成了一個(gè)新內(nèi)就構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù)函數(shù), 即導(dǎo)數(shù)即導(dǎo)數(shù).三、知識(shí)要點(diǎn)三、知識(shí)要點(diǎn)1.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) y=f(x), 如果自變量如果自變量 x 在在 x0 處有增量處有增量 D Dx, 那么函數(shù)那么函數(shù) y 相應(yīng)的有增量相應(yīng)的有增量

4、 D Dy=f(x0+D Dx)- -f(x0), 比值比值 叫做函數(shù)叫做函數(shù) y=f(x) 在在 x0 到到 x0+D Dx 之間的平均變化率之間的平均變化率, 即即 = . D DxD DyD DxD DyD Dxf(x0+D Dx)- -f(x0) D DxD Dy 如果當(dāng)如果當(dāng) D Dx0 時(shí)時(shí), 有極限有極限, 就說函數(shù)就說函數(shù) y=f(x) 在在點(diǎn)點(diǎn) x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 并把這個(gè)極限叫做并把這個(gè)極限叫做 f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)( (或變化率或變化率) ), 記作記作: f (x0) 或或 y | x=x0, 即即: D Dx f(x0+D Dx)- -f(x0

5、) f (x0)=lim =lim . D Dx0D DxD DyD Dx0f (x)=y =lim =lim . D Dx f(x+D Dx)- -f(x) D Dx0D DxD DyD Dx0 函數(shù)函數(shù) y=f(x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x), 就是就是當(dāng)當(dāng) D Dx0 時(shí)時(shí), 函數(shù)的增量函數(shù)的增量 D Dy 與與自變量的增量自變量的增量 D Dx 的比的比 的極限的極限, 即即: D DxD Dy求函數(shù)求函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟處的導(dǎo)數(shù)的步驟:(2)求平均變化率求平均變化率: = ;D Dx f(x0+D Dx)- -f(x0) D DxD Dy(1)求函數(shù)的增

6、量求函數(shù)的增量: D Dy=f(x0+D Dx)- -f(x0); (3) 取極限取極限: 得導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù) f (x0)=lim . D DxD DyD Dx0 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 就說就說 f(x) 在開在開區(qū)間區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). 這時(shí)這時(shí), 對(duì)于開區(qū)間對(duì)于開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一個(gè)確定的值內(nèi)每一個(gè)確定的值 x0, 都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f (x0), 這樣就在開區(qū)間這樣就在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)構(gòu)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)成一個(gè)新的函數(shù), 我們把這一新函數(shù)叫做我們把這一新函數(shù)叫做 f

7、(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)內(nèi)的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù), 記作記作 f (x) 或或 y ( (需指明自變量需指明自變量 x 時(shí)記作時(shí)記作 y x), 即即: 函數(shù)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) f (x0), 就是曲線就是曲線y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(x0, f(x0) 處的切線的斜率處的切線的斜率 k, 即即: k=tan =f (x0). 相相應(yīng)的切線方程為應(yīng)的切線方程為 y- -y0=f (x0)(x- -x0).2.導(dǎo)數(shù)的意義導(dǎo)數(shù)的意義(1)幾何意義幾何意義:(2)物理意義物理意義: 函數(shù)函數(shù) S=s(t) 在點(diǎn)在點(diǎn) t0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) s (t0),

8、 就是當(dāng)物體就是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為的運(yùn)動(dòng)方程為 S=s(t) 時(shí)時(shí), 物體運(yùn)動(dòng)在物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻時(shí)刻 t0 時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度 v, 即即: v=s (t0). 設(shè)設(shè) v=v(t) 是速度函數(shù)是速度函數(shù), 則則 v (t0)表示物體在表示物體在時(shí)刻時(shí)刻 t=t0 時(shí)的時(shí)的加速度加速度. f (x)=y =lim =lim . D Dxf(x+D Dx)- -f(x) D Dx0D DxD DyD Dx0 導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù). 當(dāng)當(dāng) x0 (a, b) 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) f (x0) 等于函數(shù)等于函數(shù) f(x) 在在開區(qū)間開區(qū)間 (a

9、, b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)的導(dǎo)數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的函處的函數(shù)值數(shù)值. 如果函數(shù)如果函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 那么函數(shù)那么函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處連處連續(xù)續(xù), 但要注意連續(xù)不一定可導(dǎo)但要注意連續(xù)不一定可導(dǎo). 3.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)c =0( (c 為常數(shù)為常數(shù)) ), (xn) =nxn- -1(n Q);(2)(sinx) =cosx, (cosx) =- -sinx;(4)(ex) =ex, (ax) =axlna.(3)(lnx) = , (logax) = logae;1x1x典型例題典型例題 1 已知函數(shù)已知函數(shù)

10、f(x)= (1)確定確定 a, b 的值的值, 使使 f(x) 在在 x=0處連續(xù)、可導(dǎo)處連續(xù)、可導(dǎo); (2)求曲線求曲線 y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(0, f(0) 處的切線方程處的切線方程. x2+x+1, x0, ax+b, x0. 解解: (1)要使要使 f(x) 在在 x=0 處連續(xù)處連續(xù), 則需則需 lim f(x) =lim f(x)=f(0). x0 - -x0 +而而 lim f(x) =lim(x2+x+1)=1, f(0)=1, x0 - -x0 - -lim f(x) =lim(ax+b)=b, x0 +x0 +故當(dāng)故當(dāng) b=1 時(shí)時(shí), 可使可使 f(x) 在在 x=

11、0 處連續(xù)處連續(xù). 又又 lim =limD DxD Dy(0+D Dx)2+(0+D Dx)+1- -(02+0+1)D Dx0 - -D Dx0 - -D Dx=lim (D Dx+1)=1, D Dx0 - -D Dx0 +lim =limD DxD Dya(0+D Dx)+b- -(02+0+1)D DxD Dx0 +=lim aD Dx+b- -1D DxD Dx0 +=a+lim b- -1 D DxD Dx0 +故當(dāng)故當(dāng) b- -1=0 且且 a=1 即即 a=b=1 時(shí)時(shí), f(x) 在在 x=0 處可導(dǎo)處可導(dǎo). 綜上所述綜上所述, 當(dāng)當(dāng) b=1, a R 時(shí)時(shí), f(x) 在

12、在 x=0 處連續(xù)處連續(xù), 當(dāng)當(dāng) a=b=1 時(shí)時(shí), f(x) 在在 x=0 處可導(dǎo)處可導(dǎo). (2)由由(1)知知, f (0)=1, 又又 f(0)=1, 故曲線故曲線 y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(0, f(0) 處的切線方程為處的切線方程為 y- -1=x- -0, 即即 x- -y+1=0. 典型例題典型例題 2 若若 f(x) 在在 R 上可導(dǎo)上可導(dǎo), (1)求求 f(- -x) 在在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在在 x=- -a 處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系; (2)證明證明: 若若 f(x) 為偶函數(shù)為偶函數(shù), 則則 f (x) 為奇函數(shù)為奇函數(shù).(1)解解: 設(shè)設(shè)f

13、(- -x)=g(x), 則則=- -f (- -a). f(- -x) 在在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在在 x=- -a 處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù)處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù). (2)證證: f(x) 為偶函數(shù)為偶函數(shù), f (x) 為奇函數(shù)為奇函數(shù).g (a)=lim D Dx0 g(a+D Dx)- -g(a) D Dx=lim D Dx0 f(- -a- -D Dx)- -f(- -a) D Dx=- -lim - -D Dx0 f(- -a- -D Dx)- -f(- -a) - -D Dx=lim D Dx0 f(x- -D Dx)- -f(x) D Dx=- -lim - -D

14、Dx0 f(x- -D Dx)- -f(x) - -D Dx=- -f (x), D Dx0 f(- -x+D Dx)- -f(- -x) D Dxf (- -x)=lim 注注: 本題亦可利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解決本題亦可利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解決. .典型例題典型例題 3 已知曲線已知曲線 C: y=x3- -3x2+2x, 直線直線 l: y=kx, 且直線且直線 l 與曲線與曲線 C 相相切于點(diǎn)切于點(diǎn) (x0, y0)(x0 0), 求直線求直線 l 的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).解解: 由已知直線由已知直線 l 過原點(diǎn)且其斜率過原點(diǎn)且其斜率 k= , x0y0點(diǎn)點(diǎn) (x0, y0

15、) 在曲線在曲線 C 上上, y0=x03- -3x02+2x0. =x02- -3x0+2.x0y0又又 y =3x2- -6x+2,在在點(diǎn)點(diǎn) (x0, y0) 處曲線處曲線 C 的切線斜率的切線斜率 k=y |x=x0.x02- -3x0+2=3x02- -6x0+2.整理得整理得 2x02- -3x0=0.解得解得 x0= (x0 0) ). 32這時(shí)這時(shí) y0=- - , k=- - . 3814直線直線 l 的方程為的方程為 y=- - x, 14切點(diǎn)坐標(biāo)是切點(diǎn)坐標(biāo)是 ( , - - ). 3832 注注 有關(guān)曲線的切線問題有關(guān)曲線的切線問題, 可考慮利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可考慮利用導(dǎo)數(shù)

16、的幾何意義. 曲線曲線 C 在某一定點(diǎn)處的切線是唯一的在某一定點(diǎn)處的切線是唯一的, 因此斜率也是唯一的因此斜率也是唯一的( (若存在若存在的話的話) ), 采用斜率相等這一重要關(guān)系采用斜率相等這一重要關(guān)系, 往往都可解決這類問題往往都可解決這類問題. 典型例題典型例題 4 求曲線求曲線 y=2- - x2 與與 y= x3- -2 的交點(diǎn)處切線的夾角的交點(diǎn)處切線的夾角( (用弧度數(shù)用弧度數(shù)作答作答) ).1214解解: 由由 y=2- - x2 與與 y= x3- -2聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)為聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)為 P(2, 0). 1214y=2- - x2 的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為 y=-

17、-x, 12它在它在 P 處的切線斜率處的切線斜率 k1=- -2, 同理同理, 曲線曲線 y= x3- -2 在在 P 處的切線斜率處的切線斜率 k2=3, 14由夾角公式由夾角公式 tan =| |=1 得得 k2- -k11+k2k1 4 = . 故兩曲線的交點(diǎn)處切線的夾角為故兩曲線的交點(diǎn)處切線的夾角為 . 4課后練習(xí)課后練習(xí) 1 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)= 判斷判斷 f(x) 在在 x=1 處是否可導(dǎo)處是否可導(dǎo).(x2+1), x1, (x+1), x1. 1212D DxD Dy lim lim , D DxD DyD Dx0 - -D Dx0 +解解: lim =lim D Dx

18、D DyD Dx0 - -(1+D Dx)2+1- - (12+1)D Dx0 - -D Dx1212lim =lim D DxD DyD Dx0 +D Dx0 +(1+D Dx+1)- - (12+1)D Dx1212=1, = , 12 f(x) 在在 x=1 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). 注注 判定分段函數(shù)在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)處分界點(diǎn)處”的導(dǎo)數(shù)是否存在的導(dǎo)數(shù)是否存在, 要驗(yàn)證要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等其左、右極限是否存在且相等, 如果存在且相等如果存在且相等, 那么這點(diǎn)的那么這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在, 否則不存在否則不存在.=lim (1+ D Dx) 12D Dx0 - -=lim 12

19、D Dx0 +D DxD Dx D Dx0 D DxD Dy從而從而 lim 不存在不存在. 課后練習(xí)課后練習(xí) 2 若函數(shù)若函數(shù) f(x)=|x|, (1)試判斷試判斷 f(x) 在在 x=0 處是否可導(dǎo)處是否可導(dǎo); (2)當(dāng)當(dāng) x 0時(shí)時(shí), 求求 f(x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: (1)D Dy=f(0+D Dx)- -f(0)=|D Dx|, D DxD DyD Dx0 - -D Dx0 + lim lim , D DxD Dy D Dx0 D DxD Dy從而從而 lim 不存在不存在. 故函數(shù)故函數(shù) f(x)=|x| 在點(diǎn)在點(diǎn) x=0 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). (2)當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí), 可使可

20、使 x+D Dx0. f (x)=lim =lim D Dxf(x+D Dx)- -f(x) D Dx0D Dx|x+D Dx|- -|x| D Dx0=lim D Dx(x+D Dx)- -x D Dx0=1. 同理可得同理可得, 當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí), f (x)=- -1. = . D Dx|D Dx| D DxD Dy當(dāng)當(dāng) D Dx0 時(shí)時(shí), =1, lim =1, D Dx0 D DxD DyD DxD Dy 注注 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù), 但不一定可導(dǎo)但不一定可導(dǎo); 函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo), 直觀直觀反映是函數(shù)的圖象在這一點(diǎn)是平滑的反映是函數(shù)的圖象在這一點(diǎn)是平滑的.課后練習(xí)

21、課后練習(xí) 3 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng), 它所經(jīng)過的路程它所經(jīng)過的路程 S( (單位單位: m) )和時(shí)間和時(shí)間 t( (單單位位: s) )的關(guān)系是的關(guān)系是 S=3t2+t+1. (1)求求 2, 2.01 這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度均速度; (2)當(dāng)當(dāng) t=2 時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度.解解: (1)D DS=3 2.012+2.01+1- -(3 22+2+1) =0.1303. =0.13030.01v= D Dt D DS=13.03(m/s). (2)D DS=3(t+D Dt)2+(t+D Dt)+1- -(3t2+t+1) =3D Dt2+(1+6t)D

22、 Dt, D Dt D DS =3D Dt2+(1+6t)D DtD Dt=3D Dt+1+6t.v=lim D Dt D DSD Dt0 =lim(3D Dt+1+6t) D Dt0 =6t+1.v | t=2=13.即當(dāng)即當(dāng) t=2 時(shí)時(shí), 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為 13m/s.注注 (2)亦可直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后解決亦可直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后解決.課后練習(xí)課后練習(xí) 4 如果曲線如果曲線 y=x3+x- -10 的某一切線與直線的某一切線與直線 y=4x+3 平行平行, 求切點(diǎn)求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程坐標(biāo)與切線方程.解解: 切線與直線切線與直線 y=4x+3 平行平行, 切線斜率為切線斜率為 4.又又切線在切線在 x0 處斜率為處斜率為 y | x=x03x02+1=4.x0= 1.當(dāng)當(dāng) x0=1 時(shí)時(shí), y0=- -8; 當(dāng)當(dāng) x0=- -1 時(shí)時(shí), y0=- -12. 切點(diǎn)坐標(biāo)為切點(diǎn)坐標(biāo)為 (1, - -8) 或或 (- -1, - -12).切線方程為切線方程為 y=4x- -12 或或 y=4x- -8.=(x3+x- -10) | x=x0 =3x02+1.課后練習(xí)課后練習(xí) 5 已知曲線已知曲線 S: y=x3- -6x2- -x+6. (1)求求 S 上斜率最小的切線方程上斜率最小的切線