數(shù)學(xué)必修2第二章知識點(diǎn)小結(jié)及典型習(xí)題

1、強(qiáng)調(diào)：公理 4 實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。(表明空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相平行)(5 )等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)3、( 1)證明共面問題：方法 1 是先證明由某些元素確定一個(gè)平面，在證明其余元素也在這個(gè)平面內(nèi)。方法 2 是先證明分別由不同元素確定若干個(gè)平面，再證明這些平面重合。(2) 證明三點(diǎn)共線問題的方法：先確定其中兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上，再證明第三點(diǎn) 是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則第三個(gè)點(diǎn)在必然在這兩個(gè)平面的交線上。(3) 證明三線共點(diǎn)問題的方法：先證明其中兩條直線

2、交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也經(jīng) 過這個(gè)點(diǎn)。4、異面直線L不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。(既不平行也不相交的兩條直線)1異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線2異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。第二章點(diǎn)線面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)1、( 1)平面含義：平面是無限延展的，沒有大小，厚薄之分。另外，I注意平面的表示方法。(2)點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn) A 在平面:-內(nèi)，記作A i；點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作A :點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn) A 的直線 I 上，記作：A I ；點(diǎn) A 在直線 I 夕卜，記作A l； 直線與平面的關(guān)系：直線 I 在平面a內(nèi)，記作 Ia；直線 I 不在平面a內(nèi)，記作 I 二a。2、四個(gè)公理與等

3、角定理：(1)公理 1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為AL B LA aB a公理 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)= La.(只要找到直線的兩點(diǎn)在平面內(nèi),A(2)公理 2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 符號表示為：A、B、C 三點(diǎn)不共線= 有且只有一個(gè)平面a,則直線在平面內(nèi))使 A a、 B a、 C a。公理 2 的三個(gè)推論:(1 )：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。(2) ：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。(3) ：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。(3 廠 公理 3 :如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且

4、只有一條過該點(diǎn)的公共直線。付號表示為：Pa A 3=a A 3=L,且 P L公理 2 作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。公理 3 說明：兩個(gè)不重合的平面只要有公共點(diǎn)，那么它們必定交于一條過該公共點(diǎn)的直線,且線唯一。公理 3 作用： 判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)， 是證明三線共點(diǎn)、 三點(diǎn)共線的依據(jù)。即：判定兩個(gè)平面相交的方法。2說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。3可以判斷點(diǎn)在直線(交線)上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。(4)公理 4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設(shè) a、b、c 是三條直線a /bc /b =-a / c3異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)

5、一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線4異面直線所成角：直線 a、b 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線 a/ a, b/ b，則把直線 a和 b所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a 和 b 所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0, 90 ，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。（兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形） 說明：（1 ）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2） 在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)0 是任取的，而和點(diǎn) 0 的位置無關(guān)。（3） 求異面直線所成角步驟：（一作、二證、三計(jì)算）第一步作角：先固定其

6、中一條直線， 在這條直線取一點(diǎn)， 過這個(gè)點(diǎn)作另一條直線的平行 先；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。第二步證明作出的角即為所求角。第三步利用三角形邊長關(guān)系計(jì)算出角。（思路是把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角）5、空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（1）空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種:士/4 J 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 共面直線 Yj 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（2）直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：1直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)3直線在平面平行沒有公共點(diǎn)指出：直線與

7、平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示三種位置關(guān)系的符號表示：a 二aada=Aa/a注意直線與平面的位置關(guān)系其他分類：（1）按直線與平面的公共點(diǎn)數(shù)分類：（自己補(bǔ)充）（2 ）按直線是否與平面平行分類：（3）按直線是否在平面內(nèi)分類：（3）平面與平面之間的位置關(guān)系 有且只有兩種：（按有無公共點(diǎn)分類）1兩個(gè)平面平行一一沒有公共點(diǎn)；a/B。2兩個(gè)平面相交一一有一條公共直線；a n 3=b。6、 空間中的平行問題（1）線線平行的判定方法：（2）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：|平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行=線面平行證明線面平行，只要

8、在平面內(nèi)找一條直線 b 與直線 a 平行即可。一般情況下，我們會用 到中位線定理、平行線段成比例問題、平行公理等。線面平行的性質(zhì)定理：|如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交， 那么這2直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)線線平行的定義:兩條直線共面, 但是無公共點(diǎn)直線互相平行a / /：線面平行的性質(zhì)定理：a二-匚a/b公理 4 :平行于同一條直線的兩條線面垂直的性質(zhì)定理：a丄b丄a Ja/ba/b（面面平行的性質(zhì)定理:.工 / / :-=a=b條直線和交線平行。線面平行=線線平行性質(zhì)定理的作用：利用該定理可解決直線間的平行問題（3）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)面面平行的判定定

9、理:勺兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行=面面平行），兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理與結(jié)論：1如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行T線線平行）2如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行T線面平行）面面平行的判定方法：a / / Pb / / P1面面平行的定義：兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。 判定定理：a.= -/b u aa一b = P3線面垂直的性質(zhì)定理：*丄：lna/0公理四的推廣：Ha /卡a丄B JP/ H J7、空間中的垂直問題 線線、面面、線面垂直的定義1兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條

10、異面直線互相垂直。2線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直。3平面和平面垂直： 如果兩個(gè)平面相交， 所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。（1）線線垂直的判定方法：1線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角。（共面垂直、異面垂直）2線面垂直的性質(zhì)：a ,b = a_b線面垂直的性質(zhì)：a _，b/=a b（2）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。判定線面垂直，只要在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直即可（注意：兩條直線必

11、 須相交）經(jīng)常用到的知識點(diǎn)有：1等腰三角形三線合一（中線，角平分線，高），如果取等腰三角形底邊的中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)的線既是中線也是高，所以，這條線垂直于底邊；2 + -2 _ 22正方形的對角線是互相垂直的； 三角形勾股逆定理a b-c，可以推出 a 邊與 b 邊垂直；4如果是要證異面垂直的兩條直線， 一般采用線面垂直來證明一條線垂直于另一條線所在的線面平行的判定方法：線面平行的定義：直線與平面無公共點(diǎn)判定面面平行的性質(zhì):0(/廿a uP_Tall-ab c ctc :：-a I a3平行線垂直平面的傳遞性推論：1= b 丄 aa/b 卜4面面平行的性質(zhì)結(jié)論：-./ - ,a = a -:a

12、 1 P r色)面面垂直的性質(zhì)定理：=|=a_l_Ba uaa 丄 I(3) 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另 個(gè)平面。面面垂直的判定方法1面面垂直的定義：兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角a s】2面面垂直的判定定理：口 = a 丄 Ba 丄 P J面面平行的性質(zhì)結(jié)論：-/,- - -8、空間角問題|空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算(1) 直線與直線所1兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0。2兩條相交直線所成的角： 兩條直線相交其中不大于直角的角，叫

13、這兩條直線所成的角。3兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)0,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線a, b,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角二叫做兩條異面直線所成的角，r的范圍為(0, 90 。注意：(1)異面直線所成的角0 :0vBW90(銳角或者直角)(2) 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。(3) 角 AOB 的度數(shù)并不等于直線 AO 與直線 BO 所成的角。(2)直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為 90。3平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射 影所成的銳角，叫做這條

14、直線和這個(gè)平面所成的角，取值范圍為(0, 90 )。由直線與平面所成的角二的范圍為0 , 90 。(V -0 時(shí)小/：或 3 :)求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。關(guān)鍵的步驟是“作角”(斜線和射影所成的角)求線面角的方法 （求一條直線與平面所成的角，就是要找這條直線在平面G 上的射影，射影與它的直線所成的角即為線面角，即作垂線，找射影）1定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）2方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。3在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)

15、主要信息：1、斜線上一點(diǎn)到面的垂線；2、過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角1二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。2二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 3直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平 面垂直，那么所成的二面角為直二面角4二面角：二面角的平面角 0 , 0 線面垂直#.卜面面垂直線線平行

16、 - 線面平行 -面面平行證明空間線面平行或垂直需要注意三點(diǎn) （1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定。（2 ）適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。（3）使用定理時(shí)要明確已知條件是否滿足定理?xiàng)l件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。10、鞏固專項(xiàng)練習(xí)1.如圖，在三棱錐 S-ABC 中，SA_底面 ABC , AB _BC , DE 垂直平分 SC,且分別交 AC 于 D，交 SC 于 E,又 SA=AB , SB=BC，求二面角 E- BD-C 的度數(shù)。AC4、已知空間內(nèi)一點(diǎn) 0 出發(fā)的三條射線 OA、OB、0C 兩兩夾角為 60,試求 OA 與平面 BOC 所成的角的大小.5、已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在

17、平面外的一點(diǎn)， 且SA二SB二SC，SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)， 試判斷SG與平面DEF內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明6、已知正方體ABC A1B1C1D1,求證平面 B.AD,/平面 BC,D2、在棱長都為 1 的正三棱錐 S-ABC 中，側(cè)棱 SA 與底面 ABC 所成的角是 _圖7、已知直線 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面，A 為垂足。求證：平面 PAC_平面 PBD。8、已知直線 PA 垂直于圓 O 所在的平面，A 為垂足，AB 為圓 O 的直徑，C 是圓周上異于 A、B 的一點(diǎn)。求證：平面 PAC_平面 PBC。9.若 m、n 是兩條不同的直線，a、

18、氏丫是二個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）B.若adYm,陽尸 n, m/n,貝V a/ B2,高為 2 , E 是邊 BC 的中點(diǎn)，動點(diǎn) P 在表面上運(yùn)動,并且總保持 PE 丄 AC ,則動點(diǎn) P 的軌跡的周長為_14、a、B是兩個(gè)不同的平面，m、n 是平面a及B之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：m 丄 n；a丄B；n 丄B；m 丄a。以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論, 寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： _.15、如圖（1），等腰梯形 ABCD 中，AD / BC, AB = AD，/ ABC= 60 E 是 BC 的中點(diǎn)，女口 圖（2），將 ABE 沿 AE 折起，使二面角 B

19、AE C 成直二面角，連接 BC, BD, F 是 CD 的中點(diǎn)，P 是棱 BC 的中點(diǎn).（1）求證：AE 丄 BD ;A.若 m?B, a丄貝ym aC.若 m B,m/ a,貝U a丄BD.若a丄Ya丄B, 貝V B丄Y10、 設(shè) P是厶 ABC 所在平面外一點(diǎn), 的距離也相等，那么 ABC（ ）P 到厶 ABC 各頂點(diǎn)的距離相等，而且P 到厶 ABC 各邊A.是非等腰的直角三角形C.是等邊三角形B.是等腰直角三角形D.不是 A、B、C 所述的三角形11、把等腰直角 ABC 沿斜邊上的高 AD 折成直二面角 B AD C ,則 BD 與平面 ABC 所成角的正切值為（）A. 2B.C.1D

20、.f12、如圖，已知 ABC 為直角三角形，其中/ ACB = 90 M 為 AB 的中點(diǎn)，PM 垂直于 ACB 所在平面，那么（）A、FA = PBPC B、PA = PBPCC、FA = PB= PC D、FA 工 PBMPC13、正四棱錐 S ABCD 的底面邊長為H求證：平面 PEF 丄平面 AECD ;判斷 DE 能否垂直于平面 ABC ?并說明理由16、如圖，已知 PA _矩形 ABCD 所在平面。(1 求證：MN 丄面 PAD(2)求證：MN _CD(3 若.PDA =45,求證：MN _面 PCDb17、如圖所示，已知 BCD 中，/ BCD = 90 BC= CD = 1,A

21、B 丄平面 BCD，/ ADB = 60 E、F 分別是 AC、AD 上的動點(diǎn)，且X0 SCLL平面BDE = SC丄DE SAI平面ABC =SLDBBD丄平面SAC N見丄DE n是二面BD丄DCi角E-DB-C的平面角在 Rt SAC 中，SA=1 , SC=2 ,/ ECA=30 , 在 Rt DEC 中，/ DEC=90 ,/ EDC=60 所求的二面角為 60。5、分析 1:如圖，觀察圖形，即可判定SG平面DEF,要證明結(jié)論成立，只需證明SG與平面DEF內(nèi)的一條直線平行.觀察圖形可以看出：連結(jié)CG與DE相交于H，連結(jié)FH,FH就是適合題意的直線怎樣證明SGFH?只需證明H是CG的中點(diǎn).證法 1:連結(jié)CG交DE于點(diǎn)H,/DE是ABC的中位線，DE/AB.在ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DH / AG,H為CG的中點(diǎn).TFH是SCG的中位線，F(xiàn)H / SG.又SG二平面DEF,FH平面DEF, SG/平面DEF.分析 2：要證明SG/平面DEF,只需證明平面SAB/平面DEF,要證明平面DEF/平面SAB，只需證明SA/