二階電路分析-LC震蕩的推導(dǎo)

1、二階電路分析LC震蕩的推導(dǎo)如圖9.16所示，RLC串聯(lián)電路零輸入響應(yīng)的數(shù)學(xué)分析依KVL，得 按圖9.16中標(biāo)定的電壓，電流參考方向有 將以上各式代入KVL方程，便可以得出以 為響應(yīng)變量的微分方程，為 （9.10）式（9.10）為一常系數(shù)二階線性齊次微分方程，其特征方程為其特征根為式中：稱為衰減系數(shù)；稱為固有振蕩角頻率。1.幾種不同情況的討論(1)當(dāng)(R/2L)21/LC時(shí)，、為不相等的負(fù)實(shí)根，稱為過阻尼情況。特征根為微分方程的通解為 （9.11）其中待定常數(shù)、由初始條件來確定，其方法是：當(dāng)時(shí)刻，則由式(9.11)可得對(duì)式(9.12)求導(dǎo)，可得時(shí)刻對(duì)t的導(dǎo)數(shù)的初始值為聯(lián)立求解式(9.12)和式(

2、9.13)，便可以解出、。 根據(jù)式(9.11)可知，零輸入響應(yīng)是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的，為非振蕩性質(zhì)。的波形如圖9. 17所示。（2）.當(dāng)時(shí)， 、 為相等的負(fù)實(shí)根，稱為臨界阻尼情況。特征根為微分方程的通解為其中常數(shù)、由初始條件和來確定。的波形圖根據(jù)式(9.13)可知，這種情況的響應(yīng)也是非振蕩的。(3)當(dāng)時(shí)，、為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼情況。待征根為 其中 稱為阻尼振蕩角頻率。微分方程的通解為 其中常數(shù)A和妒由初始條件確定。根據(jù)式(9.15)可知，響應(yīng)隨時(shí)間變化的規(guī)律具有衰減的振蕩特性，它的振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于衰減系數(shù)的大小，越大則衰減就越快。衰減振蕩的角頻率為，越

3、大，則振蕩周期就越小。的波形圖如圖9.18所示。（4)當(dāng)R=O時(shí)，、為一對(duì)共軛虛根，稱為無阻尼情況。特征根為 相應(yīng)的表達(dá)式為 其中A和可以直接由初始條件確定。的波形如圖9.19所示。 從式(9.l6)和的波形圖可知，電路的零輸入響應(yīng)是不衰減的正弦振蕩，其角頻率為。由于電路電阻為零，故稱為無阻尼等幅振蕩情況。2.以上幾種情況的物理意義電容和電感都是儲(chǔ)能元件，只有電阻是耗能元件。電容放電時(shí)它所儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量，一部分消耗在電阻中，一部分轉(zhuǎn)移到電感儲(chǔ)存于磁場(chǎng)中。在過阻尼情況下，由于R較大，能量消耗極為迅速，因此電感獲得的磁場(chǎng)能量不可能再返回給電容，而是隨電路電流的下降而逐漸釋放出來，一起消耗在電阻上。所以，電容電壓是單調(diào)下降的，形成非振蕩的放電過程。在欠阻尼情況下，由于R較小，電容放電時(shí)，被電阻消耗的能量較少，大部分電場(chǎng)能轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌?chǎng)能儲(chǔ)存于電感中。當(dāng)電容儲(chǔ)能為零時(shí)，電感開始放電，電容被反向充電。當(dāng)電感儲(chǔ)能為零時(shí)，電容又開始放電。這樣周而復(fù)始。由于電阻不停地消耗著能量，因此電容電壓呈指數(shù)衰減的振蕩過程。如果R=O，即電路中無能量損耗，則在振蕩過程中，電容釋放給電感的能量和電感吸收后又釋放給電容的能量將始終相同。因此，電容電壓的振幅將不會(huì)衰減，振蕩將無限制地持續(xù)下去，形成