概率統(tǒng)計：D7-4課本習題答案與提示

1、1.解解: :使用一測量儀器對同一值進行了12次獨立測量,其結(jié)果如下（單位：mm）：232.50, 232.48, 232.15, 232.53, 232.24, 232.30,232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30試用矩估計法估計測量的真值和方差(設儀器無系統(tǒng)誤差).122211()12 1iiSXX12111(232.5.232.48232.30)232.379.1212iiXx第七章習題答案與提示第七章習題答案與提示(18)(18) 第七章 221(232.50232.379)(232.30232.379) 110.026由矩估計法知

2、測量的真值為232.379, 方差為0.026 .2.解解: :設總體 X 的概率密度函數(shù)為36(), 0( )0,xxxf x其它12,nXXX是取自總體 X 的簡單隨機樣本.(1) 求 的矩估計量 ;306()().2xE Xxx dx即有:(),E XX,2X令所以 的矩估計量為(2) 求(1)(2)( ).D的方差2 .X2223063()().10 xE Xxx dx22222311()()()()10220D XE XEX22()4( )(2)4205iD XDDXnnn1ln ( ; )ln.niiiL xnx對數(shù)似然函數(shù)為:上式兩邊對 求導數(shù),并令導數(shù)為零,得似然方程:10.n

3、iinx1niinx解之得:3. 設12(,)nXXXX為來自總體的一個樣本,指數(shù)分布,其中 0 為未知參數(shù),X 服從,0( ;)0,0 xexf xx解解: : 似然函數(shù)為:11( ; ),0niiinxxniiiL xeex其密度函數(shù)為試求 的極大似然估計量.1.x1.X所以 的極大似然估計量為111niixn4. 設12(,)nXXXX為來自總體的一個樣本,泊松分布,其中 0為未知參數(shù),X 服從,0,1,2!xP Xxexx解解: : 似然函數(shù)為:111( ; ),!niiixxnniniiiiL xeexx11ln ( ; )()lnln!.nniiiiiL xxxn對數(shù)似然函數(shù)為:上

4、式兩邊對 求導數(shù),并令導數(shù)為零,得似然方程:110.niixn.X解之得:其分布列為試求 的極大似然估計量.11.niixxn所以 的極大似然估計量為5. 設12(,)nXXX為來自總體 X 的一個樣本, 分布,其中未知參數(shù)X 服從幾何1(1),1,2xP Xxppx解解: :似然函數(shù)為:111( ; )(1)(1),niiinxnxniiL x ppppp1ln ( ; )ln()ln(1).niiiL x pnpxnp對數(shù)似然函數(shù)為:上式兩邊對p 求導數(shù), 并令導數(shù)為零, 得似然方程:10.1niixnnpp解之得:(0,1),p1.pX所以 p 的極大試求 p 的極大似然估計量.其分布列

5、為11.1niipxn似然估計量為:6.解解: :設總體 X 的概率密度函數(shù)為:01(1)( )0 xxf x其它其中 是未知參數(shù),12(,)nXXX為取自總體X 的隨機樣本,試用矩估計法和極大似然估計法求 的估計量.(2)1X ，2 1011|.22x11100()(1)(1)E Xxx dxxdx即有:(),E XX1,2X令解得21.1XX未知參數(shù) 的矩估計量為:21.1XX12(1) () .nnxxx1(;)(1)niiiLxx似然函數(shù)為似然方程為11,lnniinx 解得:11lnniinx 對數(shù)似然函數(shù)為1ln0.1niinx1ln (; )ln(1)ln .niiiLxnx11

6、.lnniinX 所以未知參數(shù) 極大似然估計量為 7.解解: :設總體 X 的概率密度函數(shù)為:()( ) 0 12(,),nXXX試由總體的一個簡單隨機樣本求 的似然函數(shù)為1(; )niiL x()0ixiiexx當時,1ln (; ).niiiL xxn 1minii nx 11min0niixnii nex 其它ln0,Ln關于單調(diào)增加,因此未知參數(shù) 的極大似然估計量為 由于ln LL或可使ln LL或達到最大,故在1minii nx 的限制下,1min.ii nX 未知,極大似然估計量.8. 設12(,)nXXX( ,1)XN為來自總體2()211( ;)2ixniiLxe的一個樣本,2

7、()21( ),2xf xe求 的極大似然估計并檢驗其是否為無偏估計.解解: :211ln ( ;)ln(2 )() .22niiinLxx 似然函數(shù)為:211()22(2 ).niinxe對數(shù)似然函數(shù)為:由于上式兩邊對 求導數(shù), 并令導數(shù)為零,得似然方程:11.niixxn解之得:1()0.niix10.niixn.X所以 的極大似然估計量為:由于( )()EE X11()niiE Xn1nn,所以是 的無偏估計量.9.設12(,)nXXX2(0,)XN為來自總體222211(;)2ixniiLxe的一個樣本,22221( ),2xf xe求的極大似然估計并檢驗其是否為無偏估計.解解: :2

8、22211ln (;)ln(2).22niiinLxx 似然函數(shù)為:2211222(2).niinxe對數(shù)似然函數(shù)為:由于2上式兩邊對求導數(shù),并令導數(shù)為零,得似然方程:224111 10.22niinx2211.niixn解之得:2211.niiXn2由于2211()()niiEEXn2所以的極大似然估計量為:所以是注注: :2()0,().E XD X2()0,().iiE XD X222()()().iiiE XD XEX依題意有:所以有:211()niiE Xn21nn2,的無偏估計量.2222221()(2733)(31 33) 18.8(m /)6 1D XSs1()(2731)33

9、(m/ )6E XXs10. 設從某快艇的6次試驗數(shù)據(jù)中, 得到下列最大速度值(單位: m/s): 27, 38, 30, 37, 35, 31, 數(shù)學期望和方差的無偏估計.解解:求該快艇最大速度的該快艇最大速度的數(shù)學期望為33(m/s),方差的無偏估計為2218.8(m /).s解解: :設12211()niiikXX問k應取什么值.11.2( ,)XN 欲使為2的無偏估計,由于12(,)nXXX為取自總體 的一個樣本,12(,)nXXX2( ,)XN 為取自總體 的一個樣本,所以(1,2, )iXin相互獨立且與總體同分布.因此有:(),iE X2(),iD X222().iE X由于(1

10、,2, )iXin相互獨立,因此對任何 i j 有:2()() ().ijijE X XE X E X而1211()niiiXX122111(2)niiiiiXXXX1211() )niiiE CXX則有所以當12(1)Cn時,122111(2)niiiiiXXXX1222111122nniniiiiXXXX X122211112()()()2()nniniiiiCE XE XE XE X X222222 ()2()2(1)Cnn222(1)Cn1211()niiiCXX可使為2的無偏估計.11122111112nnniiiiiiiXX XX222222(222222)Cnnn12.估計量在7

11、.2的例7.2.4與例7.2.9中, 分別給出了0, 的均勻分布中 的矩估計量和極大似然估計量:它們是 的無偏估計嗎? 若不是請修正其為解解: : 由于()(2)2 ()2,2MEEXE X2,MX1max,Lii nX 的無偏估計,個更有效 .M是 的無偏估計量. ()(2)MDDX4()D Xn并比較所得到的 的兩個無偏估計哪一個 4 ()D X2412n2.3n所以 的矩為考查估計量的有效性, 先計算矩估計量的方差.再計算 的極大似然估計量.1,0,0,nnnxx其它10()dnLnnxExx所以.1nn1,LnEn1LLnn1 ()LLnDDn21,LnDn1max( )( )nfn

12、Fxf x( ).nFx1, 0( )0,xf x其它，X 在0, 服從均分布,0,0( ), 0.1,xxF xxx分布函數(shù)為其概率密度為由獨立隨機變量最大值的分布函數(shù)(P41.例2.5.7)可知, 在同分布的條件下,其分布函數(shù)為從而其概率密度函數(shù)為(有偏)由知是 的無偏估計量.2210()dnLnnExxx2,2nn22()() ()LLLDEE所以22222(1)nnnn22221(1) ()()(1) (2)LLnnnDDnnnn故2,n 由于M. L較有效21=.(2)n n22.(1) (2)nnn因為10()dnLnnxExx,1nn10dnnnxx2()3MDnM()(), L

13、DD知比較21(=,(2)LDn n）與所以所以1Lnn是 的無偏估計量.由于13.設12(,)nXXX2( ,)XN 為來自總體22()2211(;)2ixniiLxe的一個樣本,222()21( ),2xf xe試求的極大似然估計，并驗證解解: :222211ln (;)ln(2)()22niiinLxx 似然函數(shù)為:2211()222(2).niinxe對數(shù)似然函數(shù)為:由于2上式兩邊對求導數(shù),并令導數(shù)為零,得似然方程:224111 1()0.22niinx2211() .niixn解之得:2，其中 已知未知它是有效估計有效估計. .（此題第一問與（此題第一問與9 9題相似，第二問超綱）題

14、相似，第二問超綱）2211() .niiXn2由于2211()() niiEEXn2所以的極大似然估計量為:所以是211() niiE Xn21nn2,的無偏估計量.222()221 ( ;),2xf xe又因為22221()ln( ;)ln2,22xf x 22ln( ;)f x2241(),22x2222ln(;)()f XIE22241()22XE424861()()442XXE44484841()1()144244E XE X24212,()RaoCramernIn由不等式知的一切無偏估計方差的下界為即：484431144244() =3E X利用定義得2211() .niiXn2對于

15、的無偏估計量:2211()()niiDDXn22121 () niiXn故極大似然估計量是總體分布未知參數(shù)的達到方差下界的無偏估計量，也就是有效估計。2211()niiD Xn42 2211() () niiiE XE Xn444212(3)nnn解解: :14. 設總體X它的分布密度函數(shù)為為來自X 的容量 n 的樣本的均值，試問服從負數(shù)指數(shù)分布，1,0( ;)0,0 xexf xxXX是未知參數(shù)(0) 的有效估計嗎有效估計嗎？（本題超綱本題超綱）ln( ;)ln,xf x ln( ;)f x21,x2ln(; )( )f XIE221XE224312XXE2224324312122EXEX2

16、1,( )RaoCramernIn由不等式知 的一切無偏估計方差的下界為即：21211()D XDXnn而X是由于()E XEX ，所以的無偏估計量.X是所以的達到方差下界的無偏估計量，也就是有效估計。15.則 X 服從超幾何分布，超幾何分布，為了估計池塘中魚的尾數(shù)， 先捕到 r 尾魚，號后放回塘中,（每次一尾）捕到 s 尾魚, 經(jīng)檢驗后發(fā)現(xiàn)其中有 t 尾標有解解: 設第二次撈出的標有記號的魚的數(shù)目為X,記號,也用此方法來近似.做上記s條魚中出 t 條帶記號的魚的概率為()ts trN rsNCCP XtC隔一段時間后, 再從塘中有放回的依次試估計塘中有多少尾魚？通常第二次一下捕到 s 尾（提

17、示：用極大似然估計的方法）其中N 表示池塘中魚的條數(shù), 是未知參數(shù), (; )ts trN rsNCCL N tC考察相連兩項的比值(; )(; )(1; )L N tA N tL Nt22()()Nrs NrsNrst N 當r sNt時,當r sNt時,rsNt即為池塘中魚數(shù)的極大似然估計.rsNt 似然函數(shù)為()()()Nr NsN NrstA(N ; t) 1;A(N ; t) 1;因此只有在時A(N ; t) 達到最大, 220.048 ,0.048為已知.16.某廠化纖纖度(表示纖維粗細程度的一個量) X 服從 現(xiàn)取9根纖維, 為 1.47, 1.36, 1.49, 1.43, 1

18、.41, 1.37, 1.40, 1.32, 1.42,的置信區(qū)間. 的置信水平為解解:2( ,),N 測得其纖度求 的置信水平為0.95其中220.048 ,10.95,0.975121.96uu120.0481.4081.961.4080.0319xun1(1.471.42)1.4089x 所以 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為(1.377,1.439).0.05,20.06,0.24(2)1()(14.6015.10)14.956E Xx(1) 為已知.17.某車間生產(chǎn)滾珠, 其直徑 X 是隨機變量, 從長期實踐中知道 從某天產(chǎn)品中隨機抽取 6 件, 其直徑(單位:mm)14.60

19、, 15.10 ,14.90 ,14.80 ,15.20,15.10(1)估計該產(chǎn)品的平均直徑; (2)的置信區(qū)間; (3) 若題目中2未知, 的置信水平為則 的置信水平為解解:( ,0.06).XN測得求 的置信水平為0.950.95的置信區(qū)間又是多少?10.95,0.05,0.975121.96,uu故該產(chǎn)品的平均直徑為14.95mm. 則2120.2414.951.9614.950.1966xun(3)當12(1),sxtnn所以 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為(14.754,15.146).為未知時,0.975120.226,(1)(5)2.5706stnt0.22614.952

20、.570614.950.2376此時 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間為(14.713,15.187).1(1250 1265 1245 1260 1275)12595x 18.用某儀器間接測量溫度, 重復5次得: 1260, 1275. (C)設溫度服從正態(tài)分布,進行區(qū)間估計解解:(0.05).221(1250 1259)(1275 1259) 11.944s 212(1),sxtnn為未知時,0.97512(1)(4)2.7764tnt11.9412592.77641259 14.845故溫度真值置度為0.95的置信區(qū)間為(1244.16, 1273.84).1250, 1265, 12

21、45, 試對溫度的真值19.鋁的相對密度測量值服從正態(tài)分布， 如果測量16次，得試求鋁的相對密度的區(qū)間估計.解解:(0.05).212(1),sxtnn為未知時,0.97512(1)(15)2.1315tnt0.0292.7052.13152.7050.01516故鋁的相對密度的置信度為0.95的置信區(qū)間為(2.69, 2.72).2.705,0.029.XS20.設0.50, 1.25, 0.80, 2.00是來自總體 X 的簡單隨機樣本值，已知 Y = ln X 服從正態(tài)分布 N ( ,1).解解:數(shù)學期望E( X )(記為b); (2)信區(qū)間; (3) 利用上述結(jié)果求b 的置信度為0.9

22、5的置信求 的置信度為0.95的置區(qū)間.(1)求 X 的2()21()()2yYybE XE eeedy(1)21(1)2212yeedy 12e可以看成可以看成N ( +1 ,1) 的密度函數(shù)的密度函數(shù)1為已知,則 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為0.98,0.980.050.975121.96uu12101.960.984yun 1(ln0.5ln1.25ln0.8ln2)04y (2)(3) b 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為0.5 0.980.5 0.980.481.48(,)(,)eeee21. .對方差問需取容量n為多大的樣本,解解:的置信區(qū)間的平均長度不大于 L ？ 才能使總體

23、均值 的置信水平為122uLn要使平均長度不大于 L,21方差21的置信區(qū)間為1122(,)XuXunn222124.nuL即:為已知的正態(tài)總體來說,為已知的正態(tài)總體均值 的置信水平為只需要22. 冷抽銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，從一批銅絲中任取10根，解解:得數(shù)據(jù)(單位：kg):求這批銅絲的方差 578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 596, 584, 572,測試折斷力，2均值 未知時方差22222122(1)(1)(,).(1)(1)nSnSnn0.1220.9512(1)(9)16.919,n220.052(1)(9)3.325,n275.733,S 從而

24、均值 未知時方差 2均值 未知時標準差 的置信區(qū)間為(6.35, 14.32)和標準差 的0.9的置信區(qū)間.的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(40.29, 204.99)計算可得23. 設從兩個相互獨立正態(tài)總體分別取容量為10和12的樣本, 經(jīng)計算得解解:試求 12 的置信水平為0.95的區(qū)間估計.221122(,),(,),NN 方差未知（超綱或補條件）的均值 差12 的從而12的置信區(qū)間為(8.892,0.892)1220,24,XX125,6,SS 0 120 12,xys tlxys tl2220/= 5.5xyssmsn404422=19.9982011yxslssmmnn其中0.975(2

25、0)2.0860t的置信區(qū)間為11221 11 1()(2), ()(2)WWX Ytm nSX Ytm nSm nm n 2212(1)(1).2WmSnSSmn其中從而方差未知且相等的均值差的置信區(qū)間為(8.976,0.976)2120,24,10,12,25XYmmS220.97512(2)36,(20) 2.0860Stm nt 方差未知且相等相等(加條件加條件)的均值 差12 的置信區(qū)間為:24. 從某地區(qū)隨機地抽取男,女各100名, 以估計男女平為0.035m,解解:試求男,女身高平均數(shù)之差的區(qū)間估計 方差未知, 樣本 量大的均值差12 的置信區(qū)間為22221212121211121222(,)SSSSXXuXXunnnn從而男女身高 平均數(shù)之差的置信區(qū)間為(0.