幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

1、人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)u32.1幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型 人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)目目 標(biāo)標(biāo) 要要 求求1.掌握常見(jiàn)增長(zhǎng)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，并體會(huì)其掌握常見(jiàn)增長(zhǎng)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，并體會(huì)其增長(zhǎng)快慢增長(zhǎng)快慢2理解直線上升，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，指數(shù)爆炸的含義理解直線上升，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，指數(shù)爆炸的含義3會(huì)分析具體的實(shí)際問(wèn)題，建模解決實(shí)際問(wèn)題會(huì)分析具體的實(shí)際問(wèn)題，建模解決實(shí)際問(wèn)題4培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意識(shí).人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)熱熱 點(diǎn)點(diǎn) 提提 示示

2、學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)充分利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等工具學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)充分利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等工具作出一些特殊的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用作出一些特殊的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用圖象的形象直觀得到這幾類函數(shù)圖象的增長(zhǎng)規(guī)律，圖象的形象直觀得到這幾類函數(shù)圖象的增長(zhǎng)規(guī)律，進(jìn)而歸納總結(jié)出一般規(guī)律熟練掌握這一規(guī)律后，進(jìn)而歸納總結(jié)出一般規(guī)律熟練掌握這一規(guī)律后，還應(yīng)注意靈活地運(yùn)用它在實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)模型還應(yīng)注意靈活地運(yùn)用它在實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)模型.人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)1三種函數(shù)模型的性質(zhì)三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)yax(a1

3、)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增減上的增減性性單調(diào)遞單調(diào)遞增增單調(diào)遞單調(diào)遞增增單調(diào)遞單調(diào)遞增增圖象的變圖象的變化化隨隨x增大增大逐逐漸漸上升上升隨隨x增大增大逐逐漸漸上升上升隨隨x增大增大逐逐漸漸上升上升人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)2.函數(shù)函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)增長(zhǎng)速增長(zhǎng)速度的對(duì)比：度的對(duì)比：(1)對(duì)于指數(shù)函數(shù)對(duì)于指數(shù)函數(shù)yax(a1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)yxn(n0)，在區(qū)，在區(qū)間間(0，)上，無(wú)論上，無(wú)論n比比a大多少，盡管在大多少，盡管在x的一定范的一定范圍內(nèi)，圍內(nèi)，ax會(huì)小于會(huì)小于xn，但由于，但由于ax的增長(zhǎng)的增

4、長(zhǎng)快于快于xn的增長(zhǎng)的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有時(shí)，就會(huì)有axxn.(2)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)yxn(n0)，在區(qū)間在區(qū)間(0，)上，盡管在上，盡管在x的一定范圍內(nèi)，的一定范圍內(nèi)，logax可可能會(huì)大于能會(huì)大于xn，但由于，但由于logax的增長(zhǎng)慢于的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)此總存在一個(gè)x0，當(dāng)，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同速度不同，而且不在同一個(gè)，而且不在同一個(gè)“檔次檔次”上隨著上隨著x的

5、增的增大，總會(huì)存在一個(gè)大，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogaxxnax.人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)想一想：想一想：當(dāng)當(dāng)0a1，n0時(shí)，時(shí)，yax，yxn，ylogax為減函數(shù)，其為減函數(shù)，其“衰減衰減”速度如何？你能借助圖象，速度如何？你能借助圖象，類比分析嗎？類比分析嗎？提示：提示：如下圖所示：如下圖所示：對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)yax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)盡管都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不盡管都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不在同一在同一“檔次檔次”上，隨著上，隨著x的增大，的增大，yax(0a1)的的衰減速度

6、越來(lái)越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于衰減速度越來(lái)越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于yxn(n0)的衰減的衰減速度，而速度，而ylogax(0ax0時(shí)，就有時(shí)，就有l(wèi)ogaxxn0)(1)寫出寫出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；域；(2)求魚群年增長(zhǎng)量的最大值；求魚群年增長(zhǎng)量的最大值；(3)當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范的取值范圍圍思路分析：思路分析：由題意寫出函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得由題意寫出函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得最大值，列不等式求最大值，列不等式求k的范圍的范圍人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一

7、版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)溫馨提示：溫馨提示：這是一道二次函數(shù)的應(yīng)用題，同時(shí)考查了這是一道二次函數(shù)的應(yīng)用題，同時(shí)考查了正比例函數(shù)正比例函數(shù)(一次函數(shù)一次函數(shù))本題中本題中“最大養(yǎng)殖量最大養(yǎng)殖量”、“空閑量空閑量”、“空閑率空閑率”這些臨時(shí)定義，使本題理這些臨時(shí)定義，使本題理解難度加大，因此，要通過(guò)多遍審題和分析關(guān)系理解難度加大，因此，要通過(guò)多遍審題和分析關(guān)系理解好這些詞匯，再找未知量之間的關(guān)系解好這些詞匯，再找未知量之間的關(guān)系在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因?yàn)樵诤瘮?shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式后，可

8、利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最大、最小等問(wèn)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最大、最小等問(wèn)題題人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)類型三類型三指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用題【例例3】1999年年1月月6日，我國(guó)的第日，我國(guó)的第13億個(gè)小公民在億個(gè)小公民在北京誕生，若今后能將人口年平均遞

9、增率控制在北京誕生，若今后能將人口年平均遞增率控制在1%，經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)x年后，我國(guó)人口數(shù)字為年后，我國(guó)人口數(shù)字為y(億億)(1)求求y與與x的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系yf(x)；(2)求函數(shù)求函數(shù)yf(x)的定義域；的定義域；(3)判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出在這里是增函數(shù)還是減函數(shù)？并指出在這里函數(shù)的增減有什么實(shí)際意義函數(shù)的增減有什么實(shí)際意義人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思路分析：思路分析：遞增率問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研遞增率問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決這類問(wèn)題是中等數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用方向之究并解決這類問(wèn)題是中等數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用方向之一這類問(wèn)題解決的關(guān)鍵

10、是理解一這類問(wèn)題解決的關(guān)鍵是理解“遞增率遞增率”的意義：的意義：遞增率是所研究的對(duì)象在遞增率是所研究的對(duì)象在“單位時(shí)間單位時(shí)間”內(nèi)比它在內(nèi)比它在“前單位時(shí)間前單位時(shí)間”內(nèi)的增長(zhǎng)率，切記并不總是只和開內(nèi)的增長(zhǎng)率，切記并不總是只和開始單位時(shí)間內(nèi)的值比較具體分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格始單位時(shí)間內(nèi)的值比較具體分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并寫出前計(jì)算并寫出前34個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過(guò)觀察、個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過(guò)觀察、歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題后求解歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題后求解人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解：解：(1)1999年人口數(shù)：年人口數(shù)：13億億經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)1年，年，200

11、0年人口數(shù)：年人口數(shù)：13131%13(11%)(億億)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)2年，年，2001年人口數(shù)：年人口數(shù)：13(11%)13(11%)1%13(11%)(11%)13(11%)2(億億)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)3年，年，2002年人口數(shù)：年人口數(shù)：13(11%)213(11%)21%13(11%)3(億億)經(jīng)過(guò)年數(shù)與經(jīng)過(guò)年數(shù)與(11%)的指數(shù)相同，的指數(shù)相同，經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)x年人口數(shù)：年人口數(shù)：13(11%)x(億億)yf(x)13(11%)x.人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(2)理論上指數(shù)函數(shù)定義域?yàn)槔碚撋现笖?shù)函數(shù)定義域?yàn)镽.此問(wèn)題以年作為單位時(shí)間，此問(wèn)題以年作為單位時(shí)間，N*是此函數(shù)的定義是此函數(shù)的

12、定義域域(3)yf(x)13(11%)x是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，11%1,130，yf(x)13(11%)x是增函數(shù)，是增函數(shù)，即只要遞增率為正數(shù)時(shí)，隨著時(shí)間的推移，人口的總即只要遞增率為正數(shù)時(shí)，隨著時(shí)間的推移，人口的總數(shù)總在增長(zhǎng)數(shù)總在增長(zhǎng)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)溫馨提示：溫馨提示：在實(shí)際問(wèn)題中，常常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率在實(shí)際問(wèn)題中，常常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)為的問(wèn)題，如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)為N，平均增長(zhǎng)率為，平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于時(shí)間則對(duì)于時(shí)間x的產(chǎn)值的產(chǎn)值y，可以用下面的公式，可以用下面的公式y(tǒng)N(1p)x表示，解決平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，要用到這個(gè)函數(shù)表示

13、，解決平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，要用到這個(gè)函數(shù)式式 人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)u遞增率問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決遞增率問(wèn)題廣泛存在于生產(chǎn)和生活中，研究并解決這類問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用方向之一，這類問(wèn)這類問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用方向之一，這類問(wèn)題解決的關(guān)鍵是理解題解決的關(guān)鍵是理解“遞增率遞增率”的意義：遞增率是的意義：遞增率是所研究的對(duì)象在所研究的對(duì)象在“單位時(shí)間單位時(shí)間”內(nèi)比它在內(nèi)比它在“前單位時(shí)前單位時(shí)間間”內(nèi)的增長(zhǎng)率，切記并不總是只和開始單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)率，切記并不總是只和開始單位時(shí)間內(nèi)的值比較具體分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并寫出內(nèi)的值比較具體分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并

14、寫出前前34個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過(guò)觀察、歸納出規(guī)個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過(guò)觀察、歸納出規(guī)律后，再推廣概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后，求解此數(shù)學(xué)律后，再推廣概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后，求解此數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)類型四類型四不同函數(shù)模型增長(zhǎng)趨勢(shì)的比較不同函數(shù)模型增長(zhǎng)趨勢(shì)的比較【例例4】函數(shù)函數(shù)f(x)2x和和g(x)x3的圖象如下圖所的圖象如下圖所示設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)示設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x

15、12,9x210，x16x2.從圖象上可以看出，從圖象上可以看出，當(dāng)當(dāng)x1xx2時(shí)，時(shí)，f(x)g(x)，f(6)x2時(shí)，時(shí)，f(x)g(x)，f(2010)g(2010)又又g(2010)g(6)，f(2010)g(2010)g(6)f(6)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)溫馨提示：溫馨提示：由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)差由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異可以很容易地判斷出哪個(gè)是指數(shù)函數(shù)的圖象，哪異可以很容易地判斷出哪個(gè)是指數(shù)函數(shù)的圖象，哪個(gè)是冪函數(shù)的圖象解決此類題型的關(guān)鍵是了解個(gè)是冪函數(shù)的圖象解決此類題型的關(guān)鍵是了解“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”、“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”等函數(shù)增

16、長(zhǎng)差異，需等函數(shù)增長(zhǎng)差異，需注意冪函數(shù)的增長(zhǎng)是介于兩者之間的注意冪函數(shù)的增長(zhǎng)是介于兩者之間的 根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最量的增大，圖象最“陡陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)u4函數(shù)函數(shù)f(x)lgx，g(x)0.3x1的圖象如下圖所的圖象如下圖所示示u(1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；的函數(shù)；u(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)

17、差異比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較的大小進(jìn)行比較)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解：解：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)0.3x1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為為f(x)lgx.(2)當(dāng)當(dāng)xf(x)；當(dāng)；當(dāng)x1xg(x)；當(dāng)；當(dāng)xx2時(shí)，時(shí)，g(x)f(x)人教人教A版必修一版必修一新課標(biāo)新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)1增長(zhǎng)規(guī)律增長(zhǎng)規(guī)律在區(qū)間在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)上，盡管函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)檔次上，隨著速度不同，而且不在同一個(gè)檔次上，隨著x的增大，的增大，yax(a1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(n0)的增長(zhǎng)速度，而的增長(zhǎng)速度，而ylogax(a1)的增長(zhǎng)速度的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢因此，總會(huì)存在一個(gè)則會(huì)越來(lái)越慢因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)，當(dāng)xx0時(shí)，時(shí)，就有就有l(wèi)ogaxxn0)、指數(shù)函、指數(shù)函數(shù)數(shù)yax(a1)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)、冪函數(shù)、冪函數(shù)yxn(n0)的變化