55講因式分解

1、第5講因式分解本講重點：分解因式的意義，用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式9【考點鏈接】1分解因式：把一個多項式化成幾個整式的的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式.2分解因式的方法：提公因式法：如果一個多項式的各項含有,那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.運用公式法：平方差公式：a2-b2=,完全平方公式：a22abb2=,a2-2abb2=.3分解因式的步驟：分解因式時，首先考慮是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公團式，然后再考慮是否能用分解.【典例探究】考點1分解因式的概念例1(教材習(xí)題變式題)下列各式由左

2、邊到右邊的變形中，是分解因式的為()2A、a(xy)二axayB、x-4x4=x(x-4)4C、10x2-5x=5x(2x-1)D、x2-163x=(x4)(x-4)3x解析A左邊是整式乘積的形式，右邊是一個多項式，因此從左到右是整式乘法，而不是因式分解；B的右邊整體來說它還是一個多項式的形式，而不是乘積的形式；C的左邊是一個多項式，右邊是幾個整式的積的形式，因此從左到右的變形是因式分解；D的右邊不是幾個整式的積的形式只有C是分解因式，故選C.備考兵法本題都是要求正確理解分解因式的概念因式分解是指把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，它與整式的乘法運算過程恰好相反考點2分解因式例2(教材習(xí)題變式

3、題)分解因式：33(1) xyxy;32(2) 3x18x+27x;2(3) (x1)x+1；3(4) 4(xy)2(yx)；222(5) (x+4)16x；(6) 3ab2+6a2b+3a3.解析(1)原式=xyxyx-y.(2) 原式=3xx3.(3) 原式=x-1x-2(4)原式=2(x_y2(2+x_y)(5) 原式=X-22x22.(6) 原式=3a(b2+2ab+a2)=3a(a+b)2.備考兵法(1)若一個多項式有公因式時，應(yīng)先提取公因式，再用公式分解因式；(2) 若一個多項式的兩項都可化成兩個單項式的平方，并且其符號是相反的，則這個多項式可以利用平方差公式分解因式；(3) 用完

4、全平方公式分解因式它與平方差公式不同之處是：要求多項式有三項其中兩項同號，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項則是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號可正可負.考點3因式分解的應(yīng)用例3(1)(1)若a+b=4，則a2+2ab+b2的值是()A.8B.16C.2D.422(2) 已知a+b+6a10b+34=0,求a+b的值.(3) 如果多項式2x3+x226x+k有一個因式是2x+1，求k的值.解析(1)解析：a2+2ab+b2=(a+b)2=42=16，選B.(2) a2+b2+6a10b+34=0,.a2+6a+9+b210b+25=0,(a+3)2+(b5)2=0,a+3=0且b5=0，a=3,b

5、=5,a+b=3+5=2.(3) T2x+1是2x+x26x+k的因式，令2x+1=0,x=令2x+1=0,x=2 2可設(shè)2x+x26x+k=(2x+1)R,(1(<'2門得2X_i+I26X_|+k=0,k=13.I2丿i2丿i2丿備考兵法1.利用因式分解，將多項式分解之后整體代入求值2. 一個問題有兩個未知數(shù)，只有一個條件，考慮到已知式右邊等于0，若將左邊轉(zhuǎn)化成兩個完全平方式的和，而它們都是非負數(shù)，要使和為0，則每個完全平方式都等于0,從而使問題得以求解.3. 逆向思維，推出多項式分解后的幾個因式，采用系數(shù)求等的方法列方程組求解，或者利用恒等變形的性質(zhì).衛(wèi)【當(dāng)堂過關(guān)】1. (

6、2012安徽)下面的多項式中，能因式分解的是()A.m2nB.A.m2nB.2m-m1C.D.m2-2m1解析根據(jù)分解因式的方法，首先是提公因式，然后考慮用公式，如果項數(shù)較多，要分組分解，本題給出四個選項，問哪個可以分解，對照選項中的多項式，試用所學(xué)的方法分解.m2-2m1=(m-1)2.答案D(2012恩施州)a4b-6a3b+9a2b分解因式得正確結(jié)果為()A.a2b(a2-6a+9)B.a2b(a-3)(a+3)2222C.b(a-3)D.ab(a-3)解析a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)=a2b(a3)答案D3. (2012上海)因式分解:解析xy-x=x(y-1)

7、.答案x(y-1)4. (2012上海)因式分解:解析xy-x=x(y-1).答案x(y-1)xy-x=4. (2012成都)分解因式：x2-5x2解析x-5x=x(x-5).答案x(x-5)(2012四川廣安)分解因式：3a2-12=.解析3a2-12=3(a+2)(a-2).答案3(a+2)(a-2)(2012廣東)分解因式：2x-10x=.解析原式=2x(x-5)答案2x(x-5)(2012貴州安順)分解因式：a3-a=.解析提公因式法與公式法的綜合運用a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).答案a(a+1)(a-1)(2012六盤水)分解因式：2x+4x+2=222解析2x+

8、4x+2=2(x+2x+1)=2(x+1).答案2(x+1)2.9.(2012云南)分解因式：3x2-6x3二.222解析3x-6x3=3(x-2x1)=3(x-1).答案3(x-1)22210.(2012宿遷模擬)已知實數(shù)a、b滿足ab=1,a+b=2,求代數(shù)式ab+ab的值.解：當(dāng)ab=1,a+b=2時，原式=ab(a+b)=1x2=2.【浙江兩年中考】(2012溫州)把多項式a2-4a分解因式，結(jié)果正確的是()A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a2)24解析直接提取公因式a即可：a24a=a(a4).答案A(2012臺州)因式分解：mi仁.解析直接應(yīng)

9、用平方差公式即可：m2-1=m1m-1.答案m1m-1(2012義烏)分解因式：x2-9=解析x2-9=(x+3)(x-3).答案(x+3)(x-3)(2012紹興)分解因式：a3-a=解析a3-a=a(a2-1)=a(a1)(a-1).2(2012麗水)分解因式：2x8=.2x28=2(x24)解析先提取公因式2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解：=2(x+2)(x2).答案2(x+2)(x2)【命題趨勢提醒】本節(jié)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是分式運算的基礎(chǔ)，它通常以填空、選擇題出現(xiàn),這部分試題難度不大，主要考查學(xué)生對概念的理解以及方法的運用能力.【迎考精煉】一、選擇題(本大題共10小題

10、，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項是正確的，不選，多選，錯選均不給分)2x-5x+6=(x-2)(x-3)2x-5x+6=(x+2)(x+3)1.(2012?齊寧)下列式子變形是因式分解的是(2A.x-5x+6=x(x-5)+6B.2C.(x-2)(x-3)=x-5x+6D.解析根據(jù)因式分解的定義：就是把整式變形成整式的積的形式，答案B2即可作出判斷.:.(2012南昌十五校聯(lián)考)下列各式，分解因式正確的是(A.a222b=(ab)B.xyxzx=x(yz)C.x2x3=x31)x22D.a-2abb=(a-b)解析22a-2abb二(a-b)2正確.答案D23. (2012興仁中學(xué)一

11、模)A.y(x+2)(x2)B2解析xy4y=y(x+2)(x2).答案A4. (2012眉山市模擬)把代數(shù)式mx2因式分解x2y4y的正確結(jié)果是(y(x+4)(x4)Cy(x4)2D.y(x2)-6mx9m分解因式，下列結(jié)果中正確的是(A.m(x3)2B.m(x3)(x-3)A.m(x3)2B.m(x3)(x-3)22C.m(x-4)D.m(x-3)解析mx2-6mx9m=m(x-3)2.解析mx2-6mx9m=m(x-3)2.答案D5. (2012天臺模擬)下列是(A)x1(B)x125x17x-12分解因式后的一個因式的是(C)(D)x4解析5x17x-12=(x4)(5x3).答案C6

12、. (2012泰安模擬)下列等式不成立的是(B.m+4m=m(m4)22D.m+3m+9=(m3)A.m16=(m4)(m4)C.吊一8m16=(m-4)2解析ra+3m+9工（3）答案D（2012麗水模擬）下列各式能用完全平方公式進行分解因式的是（）22Ax+1B、x+2x122C、x+x+1Dx+4x+4解析根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，選項ABC都不能用完全平方公式進行分解因式，Dx2+4x+4=（x+2）2.答案D（2012西城一模）因式分解x-1-9的結(jié)果是（）A.x2x-4B.x82解析x-1-9=x2x-4答案A（2012龍巖模擬）現(xiàn)

13、定義運算"”，對于任意實數(shù)a、b,都有ab=a23a+b,如：3*5=333X3+5,若x2=6,則實數(shù)x的值是（）A.4或-1B.4或-1C.4或-2D.4或2解析依題意，原方程化為x23x+2=6，即x23x4=0,分解因式，得（x+1）（x4）=0,解得X1=1,X2=4.答案B（2012大慶模擬）已知a、b、c是厶ABC的三邊長，且滿足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，則ABC的形狀是（）A、等腰三角形BA、等腰三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,：a3b3a2b+ab2ac2+bc2=0,

14、(a3a2b)+(ab2b3)(ac2-bc2)=0,(ab)(a2+b2c2)=0,所以ab=0或a2+b2c2=0.所以a=b或a2+b2=c2.故厶ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形.答案C二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案填在橫線上）（2012福州）分解因式：x-16=.解析x-16=（x+4）（x-4）.答案（x+4）（x-4）12.（2012湖南常德）分解因式：m2-n2=解析m2-n2二mnm-n2mmn=答案mnm-n13.（2012湘潭）因式分解:2解析m-mn=m（m-n）.答案m（m-n）.14.（2012陜西）分解因式:3223xy-2xy+x

15、y=3223222解析Xy-2xy+xy=xy(x_2xy+y)=xy(x_y)2答案xyx-y(2012廣州)分解因式：a3-8a=.解析a3-8a=a(a2-8)=a(a+2_：)(a-2'：).答案a(a+2匚)(a-2匚)2215. (2012株洲模擬)當(dāng)x=10,y=9時，代數(shù)式x-y的值是.解析x-y=(x+y)(x-y),當(dāng)x=10,y=9時，原式=(10+9)x(10-9)=19.答案19三、解答題(本大題共6小題，共46分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程)16. (18分)(教材習(xí)題變式題)分解因式3 22222223x-12x;(2)9(x-y)-4(x+y

16、);(3)1-6mi+9mn;(4)a-14ab+49b22(5)9(a+b)+12(a+b)+4;(6)(a-b)+4ab.解：(1)原式=3x(x+2)(x-2);原式=(5x-y)(x-5y);(1) 原式=(3mn-1);2(2) 原式=(a-7b);原式=(3a+3b+2);(3) 原式=(a+b).17. (4分)(2012瑞安市模考)給出三個多項式：x2+x1;x2+3x+1;x2x,請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結(jié)果分解因式.222解：(x+x1)+(x+3x+1)=x+4x=x(x+4);222(x+x-1)+(x-x)=x-1=(x+1)(x-1)；2222(x+3x+

17、1)+(x-x)=x+2x+1=(x+1).2013(6分)(2012宿遷市模擬)已知實數(shù)a、b滿足ab=2,a+b=，求代數(shù)式a2b+2ab的值.2013解：當(dāng)ab=2,a+b=時，原式=ab(a+b)=2013.2(6分)(2012新昌模擬)已知：a+b=3,ab=2，求下列各式的值：(1) a2b+ab2(2)a2+b2解:(1)a2bab2=ab(ab)=23=6.(2) /(ab)2二a22abb2,a2b2=(ab)2-2ab=32-22=5.18. (6分)(2012年中考數(shù)學(xué)新編及改編題試卷)給出三個整式a2,b2和2ab.(1) 當(dāng)a=3,b=4時，求a2+b2+2ab的值；(2) 在上面的三個整式中任意選擇兩個整式進行加法或減法運算，使所得的多項式能夠因式分解.請寫出你所選的式子及因式分解的過程222解：(1)當(dāng)a=3,b=4時，a+b+2ab=(ab)=49.答案不唯一.