2017年高考數(shù)學壓軸題大集合

1、2017備戰(zhàn) 高考數(shù) 學壓軸題 集合1（本小題滿分14分）如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋 物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌 跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設切點A、B坐標分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點的坐標為：所以APB 的重心G的坐標為 ，所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方 法1：因為由于P點在 拋物線外，則同理 有AFP=PFB.方法2：當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：即所以P點到 直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=P

2、FB.當時，直線 AF的方程：直線BF的方程：所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2（本小題滿分12分）設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. （此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識以及推理運算能力和綜合解決問題的能力. （）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得 設是方程的兩個不同的根， 且由N（1，3）

3、是線段AB的中點，得 解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）. 于是，直線AB的方程為 解法2：設則有 依題意，N（1，3）是AB的中點， 又由N（1，3）在橢圓內，的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得 又設CD的中點為是方程的兩根，于是由弦長公式可得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得 同理可得 當時，假設存在12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當12時，A、B、

4、C、D四點勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左邊由和知，式右邊式成立，即A、B、C、D四點共圓.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得 解和式可得 不妨設計算可得，A在以CD為直徑的圓上.又B為A關于CD的對稱點，A、B、C、D四點共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）3（本小題滿分14分）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設數(shù)列的各項為正，且滿足 （

5、）證明（）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（）試確定一個正整數(shù)N，使得當時，對任意b0，都有本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想. （）證法1：當即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當n3時有，證法2：設，首先利用數(shù)學歸納法證不等式 （i）當n=3時， 由 知不等式成立.（ii）假設當n=k（k3）時，不等式成立，即則即當n=k+1時，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有極限，且 （）則有故取N=1024，可使當nN時，都有4如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線

6、l與x軸的交點為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點P為l上的動點，求F1PF2最大值本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.解：()設橢圓方程為，半焦距為，則()5已知函數(shù)和的圖象關于原點對稱，且 ()求函數(shù)的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力.滿分14分.解：()設函數(shù)的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，則點在函數(shù)的圖象上()由當時，此時不等式無解.當時

7、，解得.因此，原不等式的解集為.（）6(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當xDf且xDg 規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當xDf且xDg g(x) 當xDf且xDg若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫出函數(shù)h(x)的解析式;求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常數(shù),且0,請設計一個定義域為R的函數(shù)y=f(x),及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明. 解 (1)h(x)= x(-,1)(1,+) 1

8、 x=1 (2) 當x1時, h(x)= =x-1+2, 若x1時, 則h(x)4,其中等號當x=2時成立若x1時, 則h(x) 0,其中等號當x=0時成立函數(shù)h(x)的值域是(-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=則g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-s

9、in2x)=cos4x.7(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分. 在直角坐標平面中,已知點P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中n是正整數(shù).對平面上任一點A0,記A1為A0關于點P1的對稱點, A2為A1關于點P2的對稱點, , AN為AN-1關于點PN的對稱點. (1)求向量的坐標; (2)當點A0在曲線C上移動時, 點A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當x(0,3時,f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4上的解析式; (3)對任意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標.解(1)

10、設點A0(x,y), A0為P1關于點的對稱點A0的坐標為(2-x,4-y), A1為P2關于點的對稱點A2的坐標為(2+x,4+y), =2,4. (2) =2,4,f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位,再向上平移4個單位得到.因此, 曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,其中g(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當x(-2,1時,g(x)=lg(x+2)-4.于是,當x(1,4時,g(x)=lg(x-1)-4.另解設點A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3 x26,則0 x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).當1 x4時, 則312，使得

11、A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當12時，A、B、C、D四點勻在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左邊由和知，式右邊式成立，即A、B、C、D四點共圓.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直線CD方程為，代入橢圓方程，整理得 將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得 解和式可得 不妨設計算可得，A在以CD為直徑的圓上.又B為A關于CD的對稱點，A、B、C、D四點共圓.（注：也

12、可用勾股定理證明ACAD）3（本小題滿分14分）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設數(shù)列的各項為正，且滿足 （）證明（）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（）試確定一個正整數(shù)N，使得當時，對任意b0，都有本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想. （）證法1：當即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當n3時有，證法2：設，首先利用數(shù)學歸納法證不等式 （i）當n=3時， 由 知不等式成立.（ii）假設當n=k（k3）時，不等式成立，即則即當n=k+1時，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有極限，且 （）

13、則有故取N=1024，可使當nN時，都有4如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若點P為l上的動點，求F1PF2最大值本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.解：()設橢圓方程為，半焦距為，則()5已知函數(shù)和的圖象關于原點對稱，且 ()求函數(shù)的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解

14、決問題的能力.滿分14分.解：()設函數(shù)的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，則點在函數(shù)的圖象上()由當時，此時不等式無解.當時，解得.因此，原不等式的解集為.（）6(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當xDf且xDg 規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當xDf且xDg g(x) 當xDf且xDg(1) 若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫出函數(shù)h(x)的解析式;(2) 求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常數(shù),且0

15、,請設計一個定義域為R的函數(shù)y=f(x),及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明. 解 (1)h(x)= x(-,1)(1,+) 1 x=1 (2) 當x1時, h(x)= =x-1+2, 若x1時, 則h(x)4,其中等號當x=2時成立若x1時, 則h(x) 0,其中等號當x=0時成立函數(shù)h(x)的值域是(-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=則g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+si

16、n2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.7(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分. 在直角坐標平面中,已知點P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中n是正整數(shù).對平面上任一點A0,記A1為A0關于點P1的對稱點, A2為A1關于點P2的對稱點, , AN為AN-1關于點PN的對稱點. (1)求向量的坐標; (2)當點A0在曲線C上移動時, 點A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為周期

17、的周期函數(shù),且當x(0,3時,f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4上的解析式; (3)對任意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標.解(1)設點A0(x,y), A0為P1關于點的對稱點A0的坐標為(2-x,4-y), A1為P2關于點的對稱點A2的坐標為(2+x,4+y), =2,4. (2) =2,4,f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位,再向上平移4個單位得到.因此, 曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,其中g(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當x(-2,1時,g(x)=lg(x+2)-4.于是,當x(1,4時,g(x)=lg(x-1)-4.另解設點A0(x,y), A2(x2,y2),于

18、是x2-x=2,y2-y=4,若3 x26,則0 x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).當1 x4時, 則3 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是關于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調性，并證明你的結論.(2) 對任意n a , 證明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0時, fn ( x ) = xn ( x + a)n是關于x的減函數(shù), 當n a時, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x )

19、 = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不滿足題設條件.（2）分三種情況討論：10. 若u ,v 1，0，則|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，滿足題設條件；20. 若u ,v 0，1， 則|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，滿足題設條件；30. 若u1，0，v0，1，則： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)

20、| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，滿足題設條件;40 若u0，1，v1，0, 同理可證滿足題設條件.綜合上述得g(x)滿足條件.3. (本小題滿分14分)已知點P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x 1)的圖象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求證：| ac | 4;(2) 求證：在(1，+）上f ( x )單調遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.證：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2

21、 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 設1 x1 x2, 則f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1時，f ( x )單調遞增.（3）（僅理科做）f ( x )在x 1時單調遞增，| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4（本小題滿分15分）設定義在R上的函數(shù)（其中

22、R，i=0,1,2,3,4），當x= 1時，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y=f (x+1)的圖象關于點（1，0）對稱（1） 求f (x)的表達式；（2） 試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點，使這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區(qū)間上；（3） 若，求證：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用導數(shù)求最值，可證得15分5（本小題滿分13分）設M是橢圓上的一點，P、Q、T分別為M關于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的另一點，且MNMQ，QN與PT的交點為E，當M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程解：設點的坐標則1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以 直線QN的方

23、程為，又直線PT的方程為10分 從而得所以 代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.13分6（本小題滿分12分）過拋物線上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于P點，（1）求點P的軌跡方程；（2）已知點F（0，1），是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.解法（一）：（1）設由得：3分直線PA的方程是：即 同理，直線PB的方程是： 由得：點P的軌跡方程是6分（2）由（1）得： 10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直線PA、PB與拋物線相切，且直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設PA的直線方程是由得：即3分即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：由得：故點P的

24、軌跡方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分7（本小題滿分14分）設函數(shù)在上是增函數(shù).（1） 求正實數(shù)的取值范圍；（2） 設，求證：解：（1）對恒成立，對恒成立又 為所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即8分另一方面，設函數(shù)在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又當時， 即綜上所述，14分8(本小題滿分12分)如圖，直角坐標系中，一直角三角形，、在軸上且關于原點對稱，在邊上，的周長為12若一雙曲線以、為焦點，且經(jīng)過、兩點(1) 求雙曲線的方程；(2) 若一過點（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、，且，問在軸上是否存在定點，使？若存在，求出所有這樣定點的坐標

25、；若不存在，請說明理由解：(1) 設雙曲線的方程為，則由，得，即（3分）解之得，雙曲線的方程為（5分）(2) 設在軸上存在定點，使設直線的方程為，由，得即（6分），即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得其中且，即且 （10分）代入，得 ，化簡得 當時，上式恒成立因此，在軸上存在定點，使（12分）9(本小題滿分14分)已知數(shù)列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數(shù)），記(1) 求；(2) 試比較與的大?。ǎ?；(3) 求證：，（）解：(1) ，得，即（3分）在中令，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（4分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由(2)知 ，（

26、）當時，（10分）（當且僅當時取等號）另一方面，當，時，（當且僅當時取等號）（13分）（當且僅當時取等號）綜上所述，（）（14分）1（本小題滿分13分） 如圖，已知雙曲線C：的右準線與一條漸近線交于點M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點. （I）求證：； （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程； （III）在（II）的條件下，直線過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.解：（I）右準線，漸近線 ， 3分 （II） 雙曲線C的方程為：7分 （III）由題意可得8分 證明：設，點 由得 與雙曲線C右支交于不同的兩點P、

27、Q 11分 ，得 的取值范圍是（0，1）13分2（本小題滿分13分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足 （I）求數(shù)列的通項公式； （II）設x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請說明理由. （IV）請構造一個與有關的數(shù)列，使得存在，并求出這個極限值.解：（I） 1分 將這n個式子相加，得 3分 （II）為一直角梯形（時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為，高為1 6分 （III）設滿足條件的正整數(shù)N存在，則 又 均滿足條件 它們構成首項為2010，公差為2的等差數(shù)列. 設共有m個滿足條件的正整數(shù)N，則，解得 中滿足條件的正整數(shù)N存在，共有495個，9分 （IV）設，即 則 顯然，其極限存在，并且10分 注：（c為非零常數(shù)），等都能使存在.19. （本小題滿分14分） 設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2. （I）求此雙曲線的漸近線的方程； （II）若A、B分別為上的點