022019線性代數(shù)課程高年講義

1、關(guān)注【最強】：zqky666線性代數(shù)的基本情況§ 一、滿分34分；2個選擇+1個填空+2個解答；§ 二、數(shù)一數(shù)二數(shù)三內(nèi)容基本統(tǒng)一（數(shù)一：向量空間）§ 三、一個秩，一個方法初等變換.關(guān)注【最強】：zqky666第1章行列式§ 主要內(nèi)容§ 1.行列式的定義及性質(zhì)；§ 2.行列式的展開公式一、行列式的定義§ 1.排列和逆序關(guān)注【最強】：zqky666排列 由n個數(shù)1, 2, n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列, n級排列共有n!個.逆序在一個排列中,如果一個大的數(shù)排在了一個小的數(shù)前面,了一個逆序.in中,逆序的總數(shù)稱為該排列的逆

2、序數(shù),記為t (i1i2就稱這兩個數(shù)in ).逆序數(shù)在一個排列i1i2如t (32514) = § 2.行列式的定義關(guān)注【最強】：zqky666a1121a1222= aa- aa;11221221aaa11 a21a31a12 a22a32a13 a23a33= a11a22a33 + a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31- a12a21a33 - a11a23a32 .a11a21a12a22a1na2n關(guān)注【最強】：zqky666(-1)t ( j1 j2jn )aåj1 j2jn=aa.1 j12 j2njnan1an 2ann注：對于行列

3、式的定義把握以下兩點1.n階行列式每一項是取自不、不同列的n個元素的乘積,共有n!項jn的逆序數(shù)t ( j1 j2jn )決定.2.當行下標順排時, 每一項的正負號由列下標j1 j2如: 寫出四階行列式中含有a11a23的項二、行列式的性質(zhì)關(guān)注【最強】：zqky666性質(zhì)1性質(zhì)2行列互換,其值不變.兩行(列)互換, 行列式的值變號.特別地: 兩行(列)相列式的值為0.性質(zhì)3某行(列)有公因子k,則可把k提到行列式外面.特別地（: 1）某行(列)全為0, 行列式的值為0；（2）某行(列)元素對應(yīng)成比例, 行列式的值為0.關(guān)注【最強】：zqky666三、行列式的展開公式關(guān)注【最強】：zqky666

4、§ 1.式在行列式中, 去掉元素aij 所在的第i行, 第j列元素,由剩余的元素按照原來的位置與順序組成的n -1階行列式稱為元素aij的式, 記為Mij .a11a12 a22a32a13 a23a33如 a21a31§ 2.代數(shù)稱(-1)i+ j式為元素a 的代數(shù)()i+ jA = -M, 記為A ;于是1M ,式ijijijijij=(-1)i+ j顯然也有MA .ijij§ 3.行列式按行（列）展開公式關(guān)注【最強】：zqky666行列式的值等于等于它的任一行(列)元素與其對應(yīng)的代數(shù)式乘積之和.(i = 1, 2,( j = 1, 2, n), n)

5、6;ï ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2+ ain AinA = íaA+ aA+ aAïî 1 j1 j2 j2 jnjnj注: 行列式“串行（列）展開”值為0(i ¹ j )ìïai1 Aj1 + ai 2 Aj 2+ ain Ajn0= í a(i ¹ j )A+ aA+ aAïî1i1 j2i2 jninj四、幾個重要的行列式關(guān)注【最強】：zqky6661.上(下) 三角行列式a110a12a22a1na2na11a120a2200= a aa1122nn00annan1

6、an 2ann2.關(guān)于副對角線行列式000a2,n-1a1na2na11a21a12a22a1,n-1a2,n-1a1n0n(n-1)2= (-1)=a1n a2,n-1an1.an1an,n-1annan10003.兩個特殊的拉斯展開關(guān)注【最強】：zqky666如果A和B分別是m階和n階方陣,則*BA00BA*BOB=AB ,A =A = (-1)mnAB .*04.范德蒙行列式111ni ).1£i< j£nn-1 n關(guān)注【最強】：zqky666§第2章矩陣及其運算主要內(nèi)容:1.矩陣的基本運算§§§§2. 冪、轉(zhuǎn)置

7、、伴隨、逆3. 初等變換與初等矩陣4. 秩§§ 一、矩陣的定義及其基本運算關(guān)注【最強】：zqky666§ 1.矩陣的定義由m ´ n個數(shù), 排成的m行n列的表格éa11a1n ùa1222êaúaaê2n ú 稱為一個m ´ n的矩陣, 記為A.21êúêaúaaënn ûn1n 2若m = n,則稱為n階方陣；若A與B都是m ´ n的矩陣,則稱A與B是同型矩陣； 若A與B是同型矩陣且對應(yīng)元素aij = bij ,則

8、A = B.§ 特殊的幾個矩陣關(guān)注【最強】：zqky666§ （1）零矩陣§ （2）行向量列向量每個元素都是0的矩陣；記為0只有一行的矩陣稱為行矩陣，也叫行向量只有一列的矩陣稱為列矩陣，也叫列向量主對角元素均為1，其余元素全為0的n階方陣主對角元素均為k，其余元素全為0的n階方陣主對角以外的元素全為0§ （3）陣§ （4）數(shù)量陣§ （5）對角陣§ （6）上（下）三角陣主對角以下（以上）元素全為0§ 2.矩陣的基本運算關(guān)注【最強】：zqky666§ （1）加法運算【同型且對應(yīng)運算相加】§ （2）數(shù)

9、乘運算【數(shù)k乘每元關(guān)注素【】最強】：zqky666§ （3）乘法運算【A的列等的關(guān)行注【且最強乘：zq再ky6相66加】é-24 ùé關(guān)ù注【最強】：zqky666-2ú , B = ê-3éë例1ùû 設(shè)A= ê 1-6ú , 求AB與BA.ëûëûéë例2ùû 設(shè)A = 1, 2, 3T, B = 3,關(guān)2注,1【最T 強, 計】算AB：zqky666和BT A.éa1&#

10、249;b關(guān)1注【最強】：zqky666é例3ù 設(shè)A = êú , B = êú , 計算AB和BA.abëûêêëúa3 úûêêëúb3 úû22§ （4）方陣的冪關(guān)注【最強】：zqky666§ （5）轉(zhuǎn)置運算關(guān)注【最強】：zqky666éa11a1222a1nùêaúaa將m ´ n的矩陣A = ê2n 

11、50;的行列互換21êúêaúaaënn ûn1n 2éa11êaan1 ùa2122úaa得到的n ´ m矩陣ên2 ú 稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT .12êúêaúaaë 1nnn û2n稱滿足AT = A的矩陣A為對稱矩陣；滿足AT = - A的矩陣A為稱矩陣.性質(zhì)：關(guān)注【最強】：zqky6661.( AT)T= A;= kAT ;2.(kA)T3. ( AB)T= BT AT ;4. ( A + B

12、)T= AT + BT .é例4ù 設(shè)= 1,=-X T , 證明H是對稱矩陣, 且HHT = E.,ëû2【最強】：zqky666§ （6）方陣的行列式關(guān)注【最強】：zqky666n階矩陣A的元素性質(zhì)：的行列式稱為方陣A的行列式，記為A .=1. ATA ;2. kA = knA ;=3. ABAB .A + B 沒有公式,常利用特別注意:陣E作恒等變形.§§ 二、伴隨矩陣關(guān)注【最強】：zqky6661.定義式按如下形式拼成的矩陣稱為A的伴隨矩陣, 記為A*An1 ù用 A 的代數(shù)é A11ê

13、 AA2122úAA= ên 2 úA*且有AA* = A* A =12A E.êúê AúAAë 1nnn û2n注: 對于A*注意以下兩點1.A*的元素是A的代數(shù)式A 時,不要丟掉"+"、"- "號；式, 故在計算代數(shù)ij2.拼成A*時,不要把A 排錯隊.ij2.性質(zhì)：AA* = A* A =A E關(guān)注【最強】：zqky6661.( A* )*2.(kA)*A；(n ³ 2)A n-2= kn-1 A*;3.( AB)* = B* A*；( A, B可

14、逆)A n-1 .4. A*=特別注意（: A + B）* ¹ A* + B*.3.求法：方法一: 定義法關(guān)注【最強】：zqky666先求A , 然后拼成A*.ij方法二: 公式法若 A ¹ （0 即A可逆）,則A* =A A-1.éab ù1）設(shè)A = êcd ú,隨關(guān)注矩【陣最強A =】éë例5（ùû：zqky666ëûé13ù224（2）設(shè)A= ê21ú,則伴隨矩陣A* =.êêë3ú3&#

15、250;û§§ 三、逆矩陣關(guān)注【最強】：zqky6661.定義A、B是n階方陣,E是n階陣,若AB = BA = E,則稱A可逆, 且B是A的逆矩陣, 記為A-1定理：1.若A可逆,則A的逆矩陣唯一；= B.2.A可逆 Û推論：A ¹ 0.A、B是n階方陣,E是n階陣,若AB = E (或BA = E ),則A-1 = B.2.性質(zhì)：1.( A-1 )-1 = A;關(guān)注【最強】：zqky6662.(kA)-1 = 1 A-1 (k ¹ 0);k= B-1 A-1；A -1 ;3.( AB)-14. A-1=特別注意: ( A + B)

16、-1¹ A-1+B-1.最后, ( AT)-1= ( A-1 )T, ( A* )-1= ( A-1 )* , ( AT)*= ( A* )T .3.求法方法一: 用定義關(guān)注【最強】：zqky666A, B都是n階矩陣, AB = E,則A-1 = B.方法二: 用伴隨AA* = A* A =A EA*A, ( A)-1若 A ¹ 0,則A=-1*=.AA方法三: 用初等變換( A E ) ® (EA-1 )éab ù1）設(shè)A = êc關(guān)矩注【陣最A(yù)強=】éë例6（ùûd ú：zqky

17、666ëûé13ù224（2）設(shè)A= ê21ú,則逆矩陣A-1 =.êêë3ú3úû- A= 0, 證明A和éë例7ùû 設(shè)方陣A滿足A222E都可逆,并求出其逆矩陣.關(guān)注【最強】：zqky666æ 2 öæ 1 ö設(shè)a =ç 1 ÷ , b = ç 2 ÷，A = ab T ,則A100 =關(guān)注【最強】：zqky666é例8ùû

18、;.ëç÷ç÷ç -3÷ç 4 ÷èøèøél1l00 ù設(shè)A = ê 01 ú ,則A =.關(guān)注【最強】：zqky666é例9ùû4ëêêë 0úl úûé例10ù 設(shè)P = é12ù , L = é102,關(guān)A注P【最=強,】：zqk.y666ëû

19、4;24úê0ëûëûé例11ù 設(shè)A = é10ù ,則A關(guān)注【. 最強】：zqky666ëûêl1úëû§§ 四、分塊矩陣關(guān)注【最強】：zqky666§ 1.矩陣的分塊§ 2.分塊矩陣的運算關(guān)注【最強】：zqky666(1) 加法+ B1+ B+ B2 ùé A1A2 ù + é B1ùéBAA2A2=1ê AA ú

20、;êBúê Aú+ BBë4 ûë4 ûë4 û33334(2) 數(shù)乘k é AB ù = é kAkB ùêCDúêkCkDúëûëû(3) 乘法Y ù = é AX + BZAY + BW ùé AB ù é XêCDú ê ZW úêCX + DZCY + DW

21、úëû ëûëû(4 ) 分塊矩陣的性質(zhì)關(guān)注【最強】：zqky6660 ùné An0 ùé A= ê 0，úê 0BúnBëé Aûëû0 ù-1é A-1ù0= êúê 0Bú-100Bëé 0ûAù-1ëûéB-1 ù=ú .

22、4;êB0 ú-1A0ëûëû§§ 五、初等變換與初關(guān)陣注【最強】：zqky666§ 1.初等變換§ 1）用一個非零常數(shù)k乘矩陣A的某一行（列）；§ 2）互換矩陣A的某兩行（列）；§ 3）將A的某行（列）k倍加到另一行（列）.§ 2.初等矩陣關(guān)注【最強】：zqky666§由陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣.§ 3.初等矩陣的性質(zhì)關(guān)注【最強】：zqky666§ 1）初等矩陣都是可逆矩陣，且其逆矩陣仍是同一類型的初等矩陣；

23、67; 2）A左乘（右乘）初等矩關(guān)相注當【最于強A】：同zqk類y66型6的初等行(列）變換；éë例12ùû已知3階矩陣A可逆, 將A的第1列與第2列交換得B, 再把B的第3列的-3倍加到第2列得C,關(guān)注【最強】：zqky666則滿足PA-1 = C -1的P是 -3ùé13ùé00ùé1é10ù001100001013( A) ê01ú( B) ê10ú(C ) ê01 ú( D ) ê01ú&

24、#234;êë0ú0úûêêë3ú1úûêêë0ú0 úûêêë0ú1úû§ 3.用初等變換求逆關(guān)注【最強】：zqky666§§ 六、矩陣等價關(guān)注【最強】：zqky6661. 矩陣等價的定義A經(jīng)過有限次初等變換變到B, 稱A與B等價,記為A B.2. 矩陣等價的充要條件A B Û $可逆矩陣P, Q使得PAQ = B Û

25、; r ( A) = r (B ).§§ 七、矩陣的秩關(guān)注【最強】：zqky6661.矩陣秩的定義Am´n中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩, 記為r ( A).定理1: 矩陣A的秩等于它對應(yīng)的行階梯形矩陣非零行的行數(shù).注:零行元素（若有）在最下行,且每行左起第一個非零元素所在的列下方元素全是0,這種矩陣稱為行階梯形矩陣.é1226-1l31 ù關(guān)注【最強】：zqky666設(shè)A = ê3-1ú ,已知r ( A) =2,則l =,m =.é例13ùûëêêë5

26、úm úû2.秩的性質(zhì)1）r ( A) = r ( AT )；2）r (kA) = r ( A)(k ¹ 0)；3）r ( Am´n ) £ minm, n；關(guān)注【最強】：zqky6664）A可逆,則r ( AB) = r ( B ), B可逆,則r ( AB ) = r ( A)5）r ( AB) £ minr ( A), r ( B )；6）r ( A + B) £ r ( A) + r (B )；= 0,則r ( A) + r ( B ) £ n；7）Am´n Bn´s8）r (

27、 A) = r ( AT A) = r ( AAT ) = r ( AT ).é11ù2a4關(guān)注【最強】：zqky666ê3ú , B是3´ 4的非零矩陣, 且AB = 0,則r (B ).é例14 設(shè)A =2ùëûêêë2ú5úû關(guān)注【最強】：zqky666第3章線性方程組§ 主要內(nèi)容§ 1.齊次方程組§ 2.非齊次方程組；§ 3.公共解、同解.一、齊次線性方程組關(guān)注【最強】：zqky666§

28、1.齊次線性方程組的三種表示+ a12 x2 + a1n xn = 0ì a11 x1ï ax + ax + ax = 0ï2112222nníïïîam1 x1+ am2 x2 + amn xn= 0é a11ê aùúúa1222a1n2naax = 0A = ê)T21A, xm´nê2nêaúaaëmn ûm1m2a = (a)Ta= 0, a, anni1i2imi§ 2.有解的條件關(guān)注

29、【最強】：zqky666Am´n x = 0只有零解 Û r ( Am´n ) = nAm´n x = 0有非零解Û r ( Am´n ) < n；特別地 若m < （n 方程少未知數(shù)多），則Am´n x = 0有非零解.若Am´n x = 0有非零解，則其線性無關(guān)的解有n - r ( A)個.§ 3.解的性質(zhì)關(guān)注【最強】：zqky666若x1,x2 ,xt都是Ax = 0的解，則k1x1+ k2x2+ ktxt仍是Ax = 0的解.+§ 4.基礎(chǔ)解系A(chǔ)x = 0的基礎(chǔ)解系1）x1,

30、x2 ,2）x1,x2 ,3）x1,x2 ,稱x1,x2 ,xt是Ax = 0的解；,xt線性無關(guān)；,xt可以表示Ax = 0的任一解或n - r ( A) = t.,xt是Ax = 0的基礎(chǔ)解系.ì】x：zqky666é例1ù 求齊次線性方程組ï2- 2x = 0的通解.íëû34ï- 3x = 0î34關(guān)-注1【)nky=6660的通解.éë例2ùû 求齊次線性方程組né例3ù寫出一個以x = c (2,)TT+ c,為通解的齊次線性方程組.

31、ëû關(guān)注【最2強】：zqky6661二、非齊次線性方程組關(guān)注【最強】：zqky666§ 1.非齊次線性方程組的三種表示+ a12 x2+ a1n xn = b1ìa11 x1ï ax + a+ a= bxxï2112222nn2íïïîam1 x1+ am2 x2+ amn xné a11= bm a1222ùúúa1n2nb1bê aaax = 0( A b) = ê)T212A, xm´nê2nêa&#

32、250;aabë m1m ûm 2mn= (a , a ,)Tb = (b , b ,)Ta= ba, a, bnni1i2imi12m§ 2.有解的條件關(guān)注【最強】：zqky666Am´n x = b無解Û r ( A) ¹ r ( A b)；Am´n x = b有唯一解Û r ( A) = r ( A b) = n；Am´n x = b有無窮多解Û r ( A) = r ( A b) < n§ 3.解的性質(zhì)關(guān)注【最強】：zqky666設(shè)h1,h2 ,h是Am´n x

33、 = b的解,x是Am´n x = 0的解,則1）h1 -h2是Am´n x = 0的解；2）h +x是Am´n x = b的解.§ 4.解的結(jié)構(gòu)Am´n x = b，當r ( A) = r ( A b) = r < n有無窮多解通解:a + k1x1 + k2x2 + kn-rxn-r .-1】：zqky666éë例4ùû 求非齊次線性方程組í3+ 4x4- 8x= 4的通解.= 03ïî34：知zqkhy616,6h2 ,h3是它的三個解,éë例

34、5ùû 設(shè)設(shè)4元非齊次方程組數(shù)關(guān)注矩【最陣強秩】且h = (2, 3, 4, 5)T ,h+h = (1, 2, 3, 4)T , 求它的通解.123三、克拉默法則關(guān)注【最強】：zqky666n個方程n個未知數(shù)的方程組Ax = 0+ a12 x2 +a1n xn = b1ì a11 x1ïax + ax= bx +aï21 12222nn2íïïîan1 x1+ an 2 x2 +ann xn = bnAiA ¹ 0,則方程組有唯一解, 且x=, i = 1, 2, n.的系數(shù)矩陣的行列式iAA

35、 中第i列元素替換為(b)T其中 Abb.是i12n推論: 對n個方程n個未知數(shù)的齊次方程組Ax = 0,A ¹ 0,則齊次方程組只有零解；若齊次方程組有非零解,則 A = 0.若ì(=】= 3= l：zqky666é例6ù 設(shè)有線性方程組ïíëû3ïî3問l取何值時,此方程組有唯一解；無解；有無窮多解,并求此時的通解.四、公共解、同解關(guān)注【最強】：zqky666§ 1.公共解若a是Ax = 0的解,也是Bx = 0的解,稱a是Ax = 0與Bx = 0公共解.x + x2= 0

36、36;；(II)最3 強=】ì( )7I1éù：zqky666例íxëû- x = 0= 0î 2î44(1)分別求方程組(I)和(II)的基礎(chǔ)解系；(2)求方程組(I)和(II)的公共解.§ 2.同解關(guān)注【最強】：zqky666Ax = 0的解是Bx = 0的解,且Bx = 0的解也是Ax = 0的解；稱Ax = 0與Bx = 0是同解.Ax = 0與Bx = 0同解 Þ r ( A) = r ( B ).éë例8ùû 證明Ax = 0與AT Ax是關(guān)注

37、同【最解強程】：zqky666關(guān)注【最強】：zqky666第4章向量§ 主要內(nèi)容§ 1.相關(guān)、無關(guān)；§ 2.線性標出；§ 3.秩、極大無關(guān)組.一、向量的概念及其運算關(guān)注【最強】：zqky666§ 1.向量的概n維行向量 a = (a1 , a2 , an )n維列向量 a = (a , a ,)T, a12n§ 2.向量的運算相等加法數(shù)乘a = b Û ai = bi , i = 1, 2,a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , n., an + bn )ka = (ka1 , ka2 , kan )設(shè)a

38、= (a , a ,)T, b = (b)T, a, b關(guān)注【n最強】æ b1ç b：zqky66612nö÷æ a1ç aö÷)ç÷ = (b , b ,)ç÷ = a b()(內(nèi)積a , b= ab = ba =22+TTa , a , a, ba bç÷÷øç÷÷ø12n12n1 1nnç bç aè nèn正交a T b = 0, 稱a與b正交；a

39、Ta = 0 Û a = 0模a=+ a2 + a2a212n向量a= 1, 稱為向量二、線性表出關(guān)注【最強】：zqky666定義1: 對m個n維向量a1 ,a2 ,am及一組數(shù)k1, k2 , km ,稱k1a1 + k2a2 + kmam為向量組a1 ,a2 ,am的線性組合.定義2: 若b能表示為向量組a1 ,a2 ,am的線性組合的形式, km ,使得b = k1a1 + k2a2 + kmam ,即存在一組數(shù)k1, k2 ,則稱b能被向量組a1 ,a2 ,am 線性表出.定義3: 若向量組I:a1 ,a2 ,：向zqk量y666組II : b1, b2 , bt關(guān)的注每【最

40、個強量】s線性表出,則稱向量組可由向量組線性表出.定理1: 若向量組I可由向量組II線性表出,則r (I) £ r (II).定理2 :向量組I可由向量組II線性表出Û r (I) = r (I, II).定義4 : 若向量組I可由向量組II線性表出且向量組II也可由向量組I線性表出, 則稱向量組與向量組等價.定理3: 若向量組I與向量組II等價,則r (I) = r (II).定理4 : 向量組I與向量組II等價Û r (I) = r (II) = r (I, II).b能被向量組a1 ,a2 ,am線性表出關(guān)注【最強】：zqky666, km ,使得b = k

41、1a1 + k2a2+ kmamö÷Û 存在一組數(shù)k1, k2 ,+æ k1ç k)ç÷ = b, k ,使得(a ,a ,aÛ 存在一組數(shù)k , k ,2ç÷÷øö÷12m12mç kè mæ x12ç÷ = b存在一組數(shù)÷÷øç xèÛ 非齊次方程(a ,a,a) x = b 有解m12mÛ r (a1 ,a2 ,am ) = r (

42、a1,a2 ,am , b )= (1,1, 2, 2)T ,a= (1, 2,1, 3)T ,a = (1, -1, 4, 0)T , b = (1, 0, 3,1)Té例1ù 設(shè)aëû123關(guān)注【最強】：zqky666證明b 可由向量組a1 ,a2 ,a3線性表出,并求出表示式.= (a, 2,10)T ,a)b = (1, b, -1)T .問a, b取何值TTé例2ù 設(shè)aa=-25ëû12關(guān)注【最強3】：zqky666（1）b不可由向量組a1 ,a2 ,a3線性表出；（2）b 可由向量組a1 ,a2 ,a

43、3線性表出,且表達式唯一；（2）b 可由向量組a1 ,a2 ,a3線性表出,且表達式不唯一,并求出一般表達式.= (1,1, a)T()TTé例3ù 設(shè)向量組aaa1, a,1,1可由向量組ëû1關(guān)注【最強】：zqky666b = (1,1, a)T , b= (-2, a, 4)T= (-2, a, a )T 線性表出,向量組, b123b1 , b2 , b3不可有向量組a1 ,a2 ,a3線性表出,求a的值.三、相關(guān)、無關(guān)關(guān)注【最強】：zqky666定義5: 對m個n維向量組:a1,a2 ,am;若存在一組不全為0的數(shù)k1, k2 , km , 使

44、得k1a1 + k2a2 + kmam = 0,則稱a1,a2 ,am線性相關(guān); 否則稱線性無關(guān).線性無關(guān): 不存在一組不全為0的數(shù)k1, k2 , km , 使得k2a1 + k2a2+ kmam+= 0；只要有一個ki ¹ 0, 就有k1a1 + k2a2 + kmam¹ 0；= km = 0, 才有k1a1 + k2a2+ kmam =0.當且僅當k1 = k2 =+特別地含有零向量的向量組必相關(guān)；含有成比例的向量的向量組必相關(guān). 一個向量不為0，則無關(guān)；兩個向量不成比例，則無關(guān)；三個向量不共面，則無關(guān).= (a,1,1) ,a)TTTé例4ù向量

45、組aa, -1a =.a線性相關(guān), 則ëû關(guān)注【最強】：zqky666123定理5 : 向量組:a1 ,a2 ,am線性相關(guān)關(guān)注a【最+強】+a ：z=qky666aÛ 存在一組不全為0的數(shù)k , k ,+ k, k , 使得k1k2012m12mmæ k1ç kö÷)ç÷ = 0, k , 使得(a ,a ,aÛ 存在一組不全為0的數(shù)k , k ,2ç÷÷øö÷12m12mç kèmæ x12ç

46、÷ = 0存在一組不全為0的數(shù)÷÷øç xèmÛ 齊次方程組(a1 ,a2 ,am ) x = 0有非零解Û r (a1 ,a2 ,推論,am ) < m.（1）對n個n維向量a1 ,a2 ,（2）n +1個n維向量必相關(guān).,an線性相關(guān) Û a1,a2 ,an= 0.定理5¢ :關(guān)注【最強】：zqky666向量組:a1 ,a2 ,am線性無關(guān)Û 齊次方程組(a1 ,a2 ,am ) x = 0只有零解Û r (a1 ,a2 ,am ) = m.定理6: 關(guān)注【最強】：

47、zqky666向量組:a1,a2 ,am線性相關(guān)Þ 增加向量個數(shù)后的向量組:a1,a2,am ,am+1,as仍相關(guān)；¢¢,a ¢仍相關(guān).向量組:a1,a2 ,向量組:a1,a2 ,向量組:a1,a2 ,aa ,a ,線性相關(guān)Þ 對應(yīng)減少向量維數(shù)后的向量組:m12m,am線性無關(guān)Þ 減少向量個數(shù)后的向量組:a1,a2 ,am-r仍相關(guān)；¢¢,a ¢仍無關(guān).,aa ,a ,線性無關(guān)Þ 對應(yīng)增加向量維數(shù)后的向量組:m12m定理7 : 向量組:a1,a2 ,am線關(guān),注且【a最1強,相：z關(guān)qky,6

48、66】2m則b 可由a1,a2 ,am線性表出,且表出系數(shù)唯一.定理8 （: 以少表多,則多必相關(guān)）關(guān)注【最強】：zqky666若向量組I :a1,a2 ,as可由向量組II : b1, b2 ,as線性相關(guān)., bt線性表出,且s > t,則向量組I :a1,a2 ,推論: 若向量組I :a1,a2 ,as可由向量組II : b1, b2 , bt線性表出,且向量組I :a1,a2 ,as線性無關(guān),則且s £ t.éë向量組 : 1,2 ,m線關(guān)的證關(guān)注【最強+ kmam =0ùû】：zqky6661.定義法: 設(shè)k1a1 + k2a2

49、 +2.用秩: r (a1,a2 ,am ) = m.éë例5ùû 設(shè)向量組a1 ,a2 ,a3無關(guān), b= a1 + a2 , b2 = a+ a3 , b3 = a1 + a3 , 證明: b1 , b2 , b3無關(guān).關(guān)注【最強】：zqky666éë例6ùû 設(shè)向量組a1,a2 ,a3無關(guān),向量組b1,b ,b 的線性相關(guān)性：關(guān)注【最強】：zqky6661）b1= a1= a1= a1+ a2 , b2 = 2a2 + 3a3 , b3 = 5a1 + 3a2 ;（2）b1（3）b1+ 2a2 + 3a3 ,

50、 b2 = 2a1 + 2a2 + 4a3 , b3 = 3a1 + a2 + 3a3；- a2 , b2 = 2a2 + a3 , b3 = a1 + a2 + a3.7 設(shè)矩陣A = aa+ bb T中a , b是n維éùT例,證明:ëû關(guān)注【最強】：zqky666（1）r ( A) £ 2；（2）當a , b 相關(guān)時,r ( A) £ 1.8 設(shè)向量組a ,a ,a 相關(guān)向量組a ,a 無關(guān) 證明:éù例ëû1232關(guān)注【最強】：zqky666（1）a1能由a2 ,a3s線性表出；（2）a

51、4不能由a1 ,a2 ,a3線性表出.：解zq向ky6量66 a , 且Aa ¹ 0,k -1éë例9ùû 設(shè)A是n階矩陣, 若存在k數(shù)關(guān)注k【, 使最強】證明:a , Aa , Ak-1a無關(guān).三、秩、極大無關(guān)組關(guān)注【最強】：zqky666定義6: 在向量組a1 ,a2 ,am中,若存在部分組ai ,ai ,ai 滿足:12r（1）線性無關(guān)；（2）可以表示向量組a1 ,a2 ,am中的任一向量ai；則稱ai ,ai ,ai 是向量組a1,a2 ,am的極大線性無關(guān)組；12r向量組a1 ,a2 ,向量組a1 ,a2 ,特別地,am的極大線性無關(guān)

52、組所含的向量個數(shù)r稱為,am的秩,記為r (a1,a2 ,am ) = r.只有一個零向量的向量組不存在極大無關(guān)組；一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身；一個向量組的極大無關(guān)組一般不唯一,但每個極大無關(guān)組所含的向量個數(shù)是相同的（就是秩）且他們都是等價向量組.定理9: r ( A) = A的列秩 = A的行秩.æ a ö æ 2 ö æ2 ö設(shè)向量組ç÷ ç÷ ç÷關(guān)÷注【最強】則：zqky666é例10ùûç 3 

53、7; , ç b ÷ , ç 2 ÷ , ç 3 ÷的秩為2,a=,b=.ëç 1 ÷ ç 3 ÷ ç 1 ÷ ç 1 ÷èø èø èø èø= (2,1, 4, 3關(guān)=注(【-最1,強1：(z-qk1y6,6-6 2, 2, -9),a4 = (1,1, -2, 7),éë例11ùû 求向量組a16】,a5 = (2, 4,

54、 4, 9)的秩及一個極大無關(guān)組并用極大無關(guān)組表示其余的向量.關(guān)注【最強】：zqky666第5章相似§ 主要內(nèi)容§ 1.特征值與特征向量§ 2.相似對角化§ 3.實對稱矩陣一、特征值、特征向量關(guān)注【最強】：zqky6661.特征值、特征向量定義及求法A - n階矩陣,l是一個數(shù),a是n維非零列向量，若Aa = la(a ¹ 0)，則稱l是A的特征值,a是A的對應(yīng)于特征值l的特征向量.a ¹ 0 Û (l E - A)a = 0Aa = laa ¹ 0Û (l E - A) x = 0有非零解a由 l E

55、- A = 0，得特征值l；由(l E - A) x = 0，得特征向量a.2.特征值、特征向量的關(guān)注【最強】：zqky666nn(1) ålii=1(2)Õ li= å aii；i=1A ；=(3)i重特征值li至多只有i個無關(guān)的特征向量；(4)若a1,a2 ,則k1a1 + k2a2,ar是A的屬于同一特征值l的特征向量,+ krar (非0)仍是A的屬于特征值l的特征向量；+若a1,a2是A的屬于不同特征值l1,l2的特征向量,則k1a1 + k2a2不再是A的特征向量；(5)a1,a2是A的屬于不同特征值l1,l2的特征向量,則a1,a2線性無關(guān).

56、3;11ù120關(guān)注【最強】：zqky666ê2ú的特征值和特征向量1 求A =0éù例ëûêêë0ú3úû-1 01é 01ù關(guān)注【最強】：zqky666求A = ê-11úé例2ùûú的特征值和特征向量ëêêë 10úûéë與A有關(guān)關(guān)陣注的【最特強：征zqk向y666量ùû】- 3A

57、+ 2E = 0, 證éë例3ùû 設(shè)A2關(guān)特注【征最強：2z.qky666】二、相似及相似對角1. 定義A、B - n階矩陣,若存在可逆矩陣P, 使得P-1AP = B,則稱A相似于B, 記為A2. 性質(zhì)AB關(guān)注【最強】：zqky666B.ÞA =B ；Þ r ( A) = r ( B )；Þ l E - A = l E - B ,即lA= lBnnÞ å aiii=1= åbii .i=13.相似對角化關(guān)注【最強】：zqky666LAÛ A有n個線性無關(guān)的特征向量；Û A

58、的i重特征值li由i個無關(guān)的特征向量,即n - r (li E - A) = i？Ü A有n個無關(guān)的特征值Ü A是對稱陣.éë例4ùû 下列矩陣中不能對關(guān)注角【最化強】：zqky666-2-4-2-1-3 0é01ùé11ùé11ùé 22 ù010120A = ê00úB = ê02úC = ê22úD = ê 53 úêêë1ú0&#

59、250;ûêêë0ú3úûêêë1ú1úûêêë-1ú-2úû三、求相似對角化時的可關(guān)注逆【最矩強陣】：zqky666P-1AP = L，這里的可逆P就是A的特征向量拼成的，L就是的特征值.注意，L與P在寫的時候要對應(yīng).é20101ùêxú能對角化, 求x. 關(guān)注【最強】：zqky666é5 設(shè)A =3ù例ëûêêë4ú5úû-2ùé 321kêk的特關(guān)征注【值最, 求強 k.】：zqky6666 設(shè)l = 0&