高中數(shù)學(xué) 一類(lèi)遞推數(shù)列問(wèn)題的解決與延伸論_第1頁(yè)
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1、.一類(lèi)遞推數(shù)列問(wèn)題的解決與延伸已知數(shù)列an,a1=a,an+1=pan+q(p1,q0是常數(shù)),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an,是高中常見(jiàn)的遞推數(shù)列問(wèn)題.這類(lèi)數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為，或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式，或歸納猜想證明.例.已知數(shù)列中，,求的通項(xiàng)公式解析:解法一（待定系數(shù)法）轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列又，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即解法二（差分法形成差數(shù)列）轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列=2an+1(n1)=2an+1+1，得(n1)，故是首項(xiàng)為a2-a1=2，公比為的等比數(shù)列，即，再用累加法得解法三用迭代法 解法四.歸納猜想證明法,猜想：.用數(shù)學(xué)歸納法證明(證明略).這類(lèi)遞推數(shù)列解決后, 其他類(lèi)型的遞推可以轉(zhuǎn)化并

2、解決.類(lèi)型一: 這類(lèi)數(shù)列可變換成，令，則轉(zhuǎn)化為型.例2.設(shè)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析:，兩邊同除以，得令，則有于是，得，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，即，從而類(lèi)型二: 若取倒數(shù),得，令，從而轉(zhuǎn)化為型.例3. 已知數(shù)列中滿足，求數(shù)列的通項(xiàng).解：數(shù)列 中， ，即數(shù)列是以公差為3的等差數(shù)列.類(lèi)型三: 這類(lèi)數(shù)列可取對(duì)數(shù)得，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)列.例4. 已知數(shù)列中滿足，求數(shù)列的通項(xiàng).解: ， 是以為首項(xiàng),5為公比的等比數(shù)列.類(lèi)型四:可轉(zhuǎn)化為例.設(shè)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式分析: 設(shè)法把分給.轉(zhuǎn)化為解:由可得設(shè)故即用累加法得解決這類(lèi)問(wèn)題,還可使用下面的定理定理:在數(shù)列中， ，為初始值它的特征方程的兩根為，則（）當(dāng)時(shí)，；（）當(dāng)時(shí)（證明略）解法2: 遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的特征方程為:則由得:例:在數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式解:令使數(shù)列是以 為公比的等比數(shù)列

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