例談初中數(shù)學中客觀性問題的幾種解題方法

1、例談初中數(shù)學中“有關(guān)面積客觀性問題 ”的幾種解題方法 甘肅省張掖市新墩鎮(zhèn)中心學校 閆治春 郵編734000近年來，全國各地中考卷中頻頻出現(xiàn)“面積問題”的試題，成為中考數(shù)學卷中的一個亮點，尤其是有關(guān)“面積問題”中的選擇、填空等客觀性題，直接求解，計算繁雜，甚至無法求解，應采用一定的技巧，運用正確的方法，巧算面積，化難為易，既能得出正確答案，又能節(jié)省答卷時間，可達到事半功倍之效果。下面，本人就以幾個典型的試題為例，談談“有關(guān)面積客觀性問題 ”的幾種解題方法。一、割補法例1如圖1，以BC為直徑，在半徑為2，圓心角為的扇形內(nèi)作半圓，交AB于點D，連接CD，則陰影部分的面積是（ ） 圖1A. B. C.

2、 D. 解析：觀察圖形，可以適當進行“割”與“補”，從而組合成便于計算的幾何圖形，根據(jù)此圖的條件，只要把弓形CD與弓形BD互換，即把弓形CD“割”下來“補”到弓形BD上，則陰影部分的面積就等于扇形ABC的面積減去ADC的面積，故選A。二、平移法例2下面是兩位同學關(guān)于配有如圖2的一道題目的爭論：甲：“這道題不好算，給的條件也太少了！”乙：“為什么這么說？”甲：“你看，題目只告訴我們AB的長度等于24，卻要求出陰影部分的面積！事實上我連這兩個半圓的直徑各是多少都不知道呢。”乙：“那，不過AB可是小半圓的切線，而且它和大半圓的直徑也是平行的呀！”甲：“那也不頂用，我看一定是出題人把什么條件給遺漏啦！

3、”請問，真是甲說的這么回事嗎？如果不是，你能求出陰影部分的面積來嗎？ 圖2解析：只要將小半圓向左平移至大、小半圓圓心重合的特殊位置時，已知條件就能充分利用，陰影部分的面積就能用整體思想解決。解：甲說的不對，根據(jù)現(xiàn)有條件能求出陰影部分的面積，如圖3，連結(jié)OC、OB，則OCAB，CB=12， 圖3所以。三、旋轉(zhuǎn)法例3.如圖4，已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，A點坐標為（2，1），分別以A、B為圓心的圓與x軸相切，則圖中兩個陰影部分面積的和為_。 圖4解析：根據(jù)圖中兩圓關(guān)于點O成中心對稱的特征，以點O為旋轉(zhuǎn)中心將其中一圓旋轉(zhuǎn)到另一圓上，兩個不規(guī)則的陰影部分剛好構(gòu)成一個圓，很快就得兩

4、個陰影部分面積的和為。四、翻折法例4如圖5，扇形AOB的圓心角為直角，正方形OCDE內(nèi)接于扇形，點C、E、O分別在OA、OB、弧AB上，過點A作AFED交ED的延長線于點F，垂足為F，如果正方形的邊長為1，那么陰影部分面積為_。 圖5解析：求圖形的面積要注意觀察圖形的結(jié)構(gòu)，此題的特征是I區(qū)域與II區(qū)域關(guān)于直線OD成軸對稱，只要把I區(qū)域沿直線OD翻折到II區(qū)域，問題就轉(zhuǎn)化為求矩形ACDF的面積。解：因為OC=1，所以O(shè)D=OA=，所以。五、比例法例5如圖6，梯形ABCD被對角線分為4個小三角形，已知AOB和BOC的面積，分別為和，那么DOC的面積是_。 圖6解析：在三角形中，在高相等的情況下，兩

5、個三角形的面積比等于底的比，利用這個等比關(guān)系就可以便捷地求出DOC的面積。解：，求得。六、規(guī)律法例6將n個邊長都為的正方形按如圖7所示的方法擺放，點、分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為（ ） 圖7 A. B. C. D. 解析：此題可先研究兩個正方形重疊部分的面積，根據(jù)題意可知，點、分別是正方形的中心，所以與重疊部分為的面積的四分之一，以此類推。若兩個正方形的重疊面積為1個正方形面積的，則三個正方形的重疊面積為2個，四個正方形的重疊面積為3個，于是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化，然后再從特殊到一般，得到n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為，故選C。七、實驗法例7

6、小明在操場上做游戲，他發(fā)現(xiàn)地上有一個不規(guī)則的封閉圖形ABC，為了知道它的面積，小明在封閉圖形內(nèi)劃出了一個半徑為1米的圓，如圖8，在不遠處向圈內(nèi)擲石子，且記錄如下，則封閉圖形ABC的面積是 平方米。擲石子次數(shù)石子落在的區(qū)域50次150次300次石子落在O內(nèi)（含O上）次數(shù)144393石子落在陰影內(nèi)的次數(shù)1985186 圖8解析：不規(guī)則的封閉圖形ABC的面積難以用常規(guī)方法解決，但根據(jù)小明游戲?qū)嶒灥膯l(fā)，此類問題可以巧妙地轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計中的概率問題，因為經(jīng)過較多次數(shù)的實驗后發(fā)現(xiàn)：實驗中，石子落在O內(nèi)（含O上）的概率約為31%，石子落在封閉圖形ABC的概率約為93%，從而推出封閉圖形ABC的面積約為O面積的

7、3倍，約平方米。 八、數(shù)形結(jié)合法例8、在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖9）已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4= 。 圖9解析：四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，可設(shè)它們的邊長分別為a、b、c、d，不難證出ABCBDE，由直角三角形全等，再根據(jù)勾股定理，可得：解得：a²+b²+ c²+ d² =4，即S1+ S2+ S3+ S4=4。“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微?！睌?shù)學中大量數(shù)的問題后面都隱含著形的信息，圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系。我們要將抽象、復雜的數(shù)量關(guān)系，通過形的形象、直觀揭示出來，以達到"形