概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第4版) ：4-2 方差

1、一、隨機變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機變量方差的概念及性質(zhì) 三、例題講解三、例題講解 二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差 第二節(jié)方差第二節(jié)方差 四、小結(jié)四、小結(jié) 1. 概念的引入概念的引入 方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量取值分散程度方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量取值分散程度 實例實例 Ox Ox 1000 1000一、隨機變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機變量方差的概念及性質(zhì) 的量的量. 平均壽命都是平均壽命都是 E(X)=1000小時小時. 有兩批燈泡有兩批燈泡, 2. 方差的定義方差的定義 ),(X記為記為定義定義 ,是一個隨機變量是一個隨機變量設(shè)設(shè) X)(2XEX 若若, )Var()(X

2、XD或或記為記為)(XD.準(zhǔn)差或均方差準(zhǔn)差或均方差,存在存在)Var(X .)(2XEXE 即即 ，在應(yīng)用上還引入量在應(yīng)用上還引入量)(XD稱為標(biāo)稱為標(biāo)3. 方差的意義方差的意義 按定義按定義, 的取值與的取值與的方差表達了的方差表達了隨機變量隨機變量XX的的較小意味著較小意味著若若XXD)(.的取值較分散的取值較分散則表示則表示 X,因此因此取取是刻畫是刻畫XXD)(.其數(shù)學(xué)期望的偏離程度其數(shù)學(xué)期望的偏離程度,)(的附近的附近取值比較集中在取值比較集中在XE,反之反之較大較大若若)(XD取值分散程度取值分散程度它是衡量它是衡量 X,值分散程度的一個量值分散程度的一個量.的一個尺度的一個尺度4

3、. 隨機變量方差的計算隨機變量方差的計算 (1) (1) 利用定義計算利用定義計算 對于離散型隨機變量對于離散型隨機變量 ,)()(12kkkpXExXD 對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量 ,d)()()(2xxfXExXD .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxf,kkpxXP 其中其中., 2 , 1的分布律的分布律是是 Xk (2) (2) 利用公式計算利用公式計算 .)()()(22XEXEXD 證證 )(XD)()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE .)()(22XEXE )(2XEXE 5. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 1是常數(shù)，是常數(shù)，設(shè)設(shè)C. 0)

4、( CD則則證證 )(CD . 0)(2CECE 2是一個隨機變量，是一個隨機變量，設(shè)設(shè) X是常數(shù)，是常數(shù)，C則有則有 ，)()(2XDCCXD ).()(XDCXD )(CXD)(2CXECXE 證證 )(22XEXEC ).(2XDC )(CXD )(2CXECXE )(2XEXE ).(XD 3是兩個隨機變量，是兩個隨機變量，設(shè)設(shè)YX,則有則有 )(YXD ).()(2)()(YEXXEXEYDXD ).()(YDXD ,相互獨立相互獨立若若YX則有則有 )(YXD )(YXD )()(2YXEYXE 2)()(YEYXEXE 證證 22)()(YEYEXEXE )()(2YEYXEXE

5、 ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 上式右端第三項上式右端第三項: )()(2YEYXEXE )()()()(2YEXEXYEYXEXYE )()()()()(2XEYEYEXEXYE )()(YEXE ).()()(2YEXEXYE ).()(YDXD ,相互獨立相互獨立若若YX知道上知道上由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 4，式右端為式右端為0于是于是 )(YXD 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨 機變量之和的情況機變量之和的情況. 推廣推廣 )(21nXXXD ,21相互獨立相互獨立若若nXXX,10)()4(CXXD取常數(shù)取

6、常數(shù)以概率以概率的充要條件是的充要條件是 CXP 則有則有).()()(21nXDXDXD 即即 . 11. 兩點分布兩點分布 Xp01pp 1已知隨機變量已知隨機變量 X 的分布律為的分布律為 二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差qpXE 01)(則有則有 , p )(XD222)1(01ppp .pq ppq22)()(XEXE 2. 二項分布二項分布 kXP . 10 p則有則有 )(XEknknkppknk )1(0 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n, p 二項分布二項分布,其其分布律為分布律為 ), 2 , 1 , 0(nk ,)1(knkppkn 0kXP

7、knk knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp.np )1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnpnp )(2XE)()1(XEXXE npppnkkkknknk )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0 )1(XXXE nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn )(XD222)()(npnppnn ).1(pnp )2()2(222)1()!2()!()!2()1( knknkppkknnpnn)1(pnp

8、np 22)()(XEXE 3. 泊松分布泊松分布 則有則有 0e!)(kkkkXE 11)!1(ekkk ee . 且分布律為且分布律為設(shè)設(shè)),( X ,e! kkXPk, 2 , 1 , 0 k. 0 )(2XE)()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk )1(XXXE 222)!2(ekkk ee2.2 所以所以 22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于參數(shù)都等于參數(shù)泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均勻分布均勻分布, ),(baUX設(shè)設(shè))(xf,1bxaab ., 0其他其他 其概率密度為其概率密度為則有則有 )(XE baxxabd1).(21ba ).(2

9、1ba xxxfd)( 結(jié)論結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點. . )(XD222d1 baxabxba 22)()(XEXE .12)(2ab 12)(2ab 5. 指數(shù)分布指數(shù)分布 ,服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X則有則有 , 0,e1 xx. 0, 0 x)(xf 其概率密度為其概率密度為)(XE xxxfd)( xxxde10 xxxxdee00 . )(2XE xxfxd)(2 xxxde102 xxxxxde2e002 .22)(XD222 22)()(XEXE .2 2.2 和和分別為分別為指數(shù)分布的期望和方差指數(shù)分布的期望

10、和方差6. 正態(tài)分布正態(tài)分布 ),(2NX設(shè)設(shè),e21)(222)(xxf , 0 . x其概率密度為其概率密度為先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 Zx 的數(shù)學(xué)期望和方差的數(shù)學(xué)期望和方差. 的概率密度為的概率密度為Z,e21)(22tt 于是于是 )(ZEtttde2122 22e21t ，0)(ZDtttde21222 )(2ZE ttttde21e212222 ，1,ZX 即得即得 )(XE)(ZE . )(XD)(ZD )( ZD )(2ZD .2 2.2 和和分別為兩個參數(shù)分別為兩個參數(shù)正態(tài)分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差,仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布于是由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)

11、知道于是由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知道 ),(2iiiNX 若若, 2 , 1ni 且它們相互獨且它們相互獨則它們的線性組合：則它們的線性組合：)0,(21的常數(shù)的常數(shù)是不全為是不全為nCCCnnXCXCXC 2211立，立，).,(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 例如例如, ).48, 4( NZ故有故有, )3 , 1( NX若若相互相互且且YXNY,)4 , 2(,32也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布則則YXZ )(ZE)(ZD,獨立獨立而而2312 , 4 )32(YXD )(9)(4YDXD .48 10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba

12、2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布 參數(shù)參數(shù) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 方差方差 兩點分布兩點分布 二項分布二項分布 泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 0, 2三、例題講解三、例題講解例例1 1 ,)( XEX 具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 )(XD方差方差2 . 0記記, XX則則 )( XD)( XE )(1 XE )(1 XE ; 022)()( XEXE 2 XE)(122 XE . 1 22 例例2 2 其分布律為其分布律為 )(XD2pp ).1(pp ,)10(分布分布具有具有設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X,10pXP .1pXP

13、).(XD求求解解 )(XE pp 1)1(0, p)(2XEpp 221)1(0 , p 22)()(XEXE 例例3 ,e! kkXPk的分布律為的分布律為X),( X設(shè)設(shè)).(XD求求解解 , 2 , 1 , 0 k. 0 ,)(6 XE已算得已算得上節(jié)例上節(jié)例而而 )(2XE)()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk )1(XXXE 222)!2(ekkk ee2.2 所以方差所以方差 )(XD. ,相等相等泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 22)()(XEXE . 都等于參數(shù)都等于參數(shù))(xf,1bxaab ., 0其他其他 ,2)(7baXE 已算得已算得上節(jié)例上節(jié)例方差

14、為方差為 )(XD222d1 baxabxba 22)()(XEXE .12)(2ab 例例4 的概率密度為的概率密度為X, ),(baUX設(shè)設(shè)).(XD求求解解 例例5 )(XE ,服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X其概率密度為其概率密度為, 0 其中其中),(XE求求).(XD解解 xxxfd)( xxxde10 xxxxdee00 ., 0,e1 xx. 0, 0 x)(xf )(2XE xxfxd)(2 xxxde102 xxxxxde2e002 .2222)()()(XEXEXD 222 .2于是于是 即有即有 ,)(XE .)(2XD 例例6 6 ),(pnbX設(shè)設(shè))

15、,(XE求求).(XD解解 由二項分布的定義知由二項分布的定義知, 重伯努重伯努是是隨機變量隨機變量nX,發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)利試驗中事件利試驗中事件 AA且在每次試驗中且在每次試驗中.p發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為引入隨機變量引入隨機變量 kX 次試驗不發(fā)生，次試驗不發(fā)生，在第在第，kA0次試驗發(fā)生，次試驗發(fā)生，在第在第kA, 1., 2 , 1nk 易知易知 ,21nXXXX 次試驗，次試驗，只依賴于第只依賴于第由于由于kXk而各次試驗相互獨而各次試驗相互獨 立立, ,kX又知又知.)10(, 2 , 1分布分布服從同一服從同一 nk,為參數(shù)的二項分布變量為參數(shù)的二項分布變量上式表明以上式表明

16、以pn可分解可分解.布的隨機變量之和布的隨機變量之和分分為參數(shù)的為參數(shù)的個相互獨立且都服從以個相互獨立且都服從以成為成為)10( pn知知由例由例 2),1()(ppXDk ., 2 , 1nk ,)(pXEk 故知故知 )(XE)(1 nkkXE)(1 nkkXE .np 相互獨立，相互獨立，又由于又由于nXXX,21得得 )(XD)(1 nkkXD)(1 nkkXD ).1(pnp 即即 ,)(npXE ).1()(pnpXD 例例7 7 解解 ),(2NX設(shè)設(shè)),(XE求求).(XD先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 xZ 的數(shù)學(xué)期望和方差的數(shù)學(xué)期望和方差. 的概率密度為的概率密度為Z,e

17、21)(22tt 于是于是 )(ZEtttde2122 22e21t ，0)(ZDtttde21222 )(2ZE ttttde21e212222 ，1因因 ,ZX 即得即得 )(XE)(ZE ， )(XD)(ZD ，2 )( ZD )(2ZD 求活塞能裝入氣求活塞能裝入氣例例8 8 ),03. 0 ,40.22()cm(2NX計計以以設(shè)活塞的直徑設(shè)活塞的直徑),04. 0,50.22(2NY氣缸的直徑氣缸的直徑.,相互獨立相互獨立YX,任取一只活塞任取一只活塞,任取一只氣缸任取一只氣缸.缸的概率缸的概率解解 ),0025. 0 ,10. 0( NYX YXP按題意需求按題意需求 由于由于 故

18、有故有YXP 0 YXP.0 YXP 05. 010. 0. 2977. 0)2( 0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(YXP 補充例題補充例題切比雪夫不等式切比雪夫不等式 定理定理 , 則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù),)( XEX 具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量,)(2 XD方差方差不等式不等式 22 XP成立成立. 證證 只就連續(xù)型隨機變量的情況來證明只就連續(xù)型隨機變量的情況來證明. ),(xfX的概率密度為的概率密度為設(shè)設(shè)切比雪夫切比雪夫 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 xxfxd)()(122.122xxfxxd)(22 XP xxxfd)( 切比雪夫不等式也可以寫成如下的形式切比雪夫不等式也可以寫成如下的形式: XP .122 切比雪夫不等式給出了在隨機變量的分布未切比雪夫不等式給出了在隨機變量的分布未 知知, 的情況下估計概率的情況下估計概率和和而只知道而只知道)()(XDXE.)(的界限的界限XEXP 例如取例如取得到得到)(4 , )(3XDXD )(3)(XDXEXP , 9888. 0 )(4)(XDXEXP , 5937. 0這個估計是比較粗糙的這個估計是比較粗糙的, 如果已經(jīng)知道隨機變量的如果已經(jīng)知道隨機變量的 也就沒有必要利用這一不等式來作估計了也就沒有必要利用這一不等式來作估計了. 那么所需求的