線性系統(tǒng)理論(Chapter6)

1、16.1 引言 6.2 狀態(tài)反饋和輸出反饋6.3 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置：?jiǎn)屋斎肭樾?.4 輸出反饋極點(diǎn)配置 6.5 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定6.6 跟蹤控制和擾動(dòng)控制6.7 線性二次型最優(yōu)控制：有限時(shí)間情形6.8 線性二次型最優(yōu)控制：無(wú)限時(shí)間情形6.9 全維狀態(tài)觀測(cè)器 6.10 降維狀態(tài)觀測(cè)器 6.11 Kx-函數(shù)觀測(cè)器6.12 基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的特性6.13 小結(jié)和評(píng)述2綜合與分析相反，已知的是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以及所期望的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式或其某些特征，用來(lái)確定需要施加于系統(tǒng)的外輸入作用即控制作用的規(guī)律本章以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，主要在時(shí)間域內(nèi)討論線性反饋系統(tǒng)的綜合問(wèn)題。返回3綜合問(wèn)題的

2、提法給定系統(tǒng) 和期望的性能指標(biāo)，綜合就是尋找一控制作用u，使得其作用下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的行為滿足所給出的期望性能指標(biāo)。CxytxxBuAxx0,)0(,0狀態(tài)反饋控制輸出反饋控制u = -Kx + v狀態(tài)反饋系統(tǒng)u = -Fy + v輸出反饋系統(tǒng)4非優(yōu)化型性能指標(biāo)鎮(zhèn)定問(wèn)題：以漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)極點(diǎn)配置問(wèn)題：以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo)解耦控制問(wèn)題：使一個(gè)多輸入-多輸出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)“一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出”作為性能指標(biāo)跟蹤問(wèn)題：系統(tǒng)的輸出y無(wú)靜差地跟蹤一個(gè)外部信號(hào)y0(t)作為性能指標(biāo)優(yōu)化型性能指標(biāo)二次型積分性能指標(biāo) 確定一個(gè)控制u*()，使J(u*()取極小值，通常，u*()稱最優(yōu)控制，J(u*

3、()稱最優(yōu)性能。0)()(dtRuuQxxuJTT5建立可綜合條件指相對(duì)于給定的受控系統(tǒng)和給定的期望性能指標(biāo)，使相應(yīng)的控制存在并實(shí)現(xiàn)綜合目標(biāo)所應(yīng)滿足的條件。建立相應(yīng)的用以綜合控制規(guī)律的算法對(duì)滿足可綜合條件的問(wèn)題，確定出滿足要求的控制律。狀態(tài)反饋物理構(gòu)成問(wèn)題系統(tǒng)模型的不準(zhǔn)確和參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題對(duì)外部擾動(dòng)的影響的抑制問(wèn)題返回6狀態(tài)反饋和輸出反饋的構(gòu)成CxyBvxBKAx)(CxyBvxBFCAx)(BBKAsICsGk1)()()()()()()()(111sGFsGIsFGIsGBBFCAsICsGooooFGo(s)=C(sI-A)-1B狀態(tài)反饋輸出反饋7證明：I. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)xf能控的充要條件是

4、受控系統(tǒng)0能控。 Qc = B | AB | | An-1B QcK = B |( A-BK)B | | |( A-BK)n-1B結(jié)論6.1 狀態(tài)反饋的引入，不改變系統(tǒng)的能控性。結(jié)論6.2 狀態(tài)反饋的引入，可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。ccKQQrankrank另一方面， 0也可看作xf的狀態(tài)反饋系統(tǒng)BuxBKBKABuAxx)(cKcQQrankrank綜上，cKcQQrankrank8II. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)不一定能保持能觀測(cè)性 舉例說(shuō)明，系統(tǒng)xyuxx 11 10302125111rankrankrank0CACQ所以系統(tǒng)能觀測(cè)加入狀態(tài)反饋，K = 0 5 ，則xyvxBvxBKAx 11 101

5、021)(nBKACCQK11111rank)(rankrank0所以狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性9結(jié)論6.3 輸出反饋的引入能同時(shí)不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，即輸出反饋系統(tǒng) yf為能控(能觀測(cè))的充分必要條件是受控系統(tǒng) 0為能控(能觀測(cè))。輸出反饋為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的不完全反饋，改善措施是采用動(dòng)態(tài)輸出反饋系統(tǒng)狀態(tài)反饋通常不可直接量測(cè)，改善措施是引入狀態(tài)觀測(cè)器返回10問(wèn)題的提法線性定常受控系統(tǒng)BuAxx給定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn),*2*1n,*2*1n狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問(wèn)題就是對(duì)給定的受控系統(tǒng)，確定狀態(tài)反饋控制u = -Kx + v，v為參考輸入，即確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得導(dǎo)出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)

6、的極點(diǎn)為 ，即BvxBKAx)(niBKAii, 2 , 1,)(*11期望閉環(huán)極點(diǎn)組的性能指標(biāo)屬性，聯(lián)系控制理論和控制工程控制工程中基本類型性能指標(biāo) 時(shí)間域性能指標(biāo)：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)定義超調(diào)量s = 響應(yīng)曲線第一次越過(guò)穩(wěn)態(tài)值達(dá)到峰點(diǎn)時(shí)超調(diào)部分與穩(wěn)態(tài)值之比過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts = 響應(yīng)曲線最終進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值5%(或2%)范圍而不再躍出的時(shí)間上升時(shí)間tr = 響應(yīng)曲線首次從穩(wěn)態(tài)值10%過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)值90%所需時(shí)間延遲時(shí)間td = 響應(yīng)曲線首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值50%所需時(shí)間峰值時(shí)間tp = 響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰點(diǎn)時(shí)間12頻率域性能指標(biāo)：頻率響應(yīng)幅頻特性定義諧振峰值Mr = 幅頻特性曲線達(dá)到峰點(diǎn)的值諧振角頻率wr= 幅

7、頻特性曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)角頻率值截止角頻率wcc= 幅頻特性曲線值為0.707處對(duì)應(yīng)角頻率值二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)關(guān)系式典型二階單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)uydtdyTdtydT2222T：時(shí)間常數(shù)；0 0，Q 0，或Q 0且A，Q1/2能觀測(cè)，則證明：I. Q 0，由解陣P的性質(zhì)，P 0。取李亞普諾夫函數(shù)V(x) = xTPx為正定，有xPxPxxdtxdVxVTT)()(xPBPBRPBPBRPAPAxTTTT)(1137xPBPBRQxTT)(1)(xV負(fù)定又因?yàn)?，所以閉環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定)(xVx時(shí)，有II. Q 0且(A，Q1/2)為能觀測(cè)。V(x) = xTPx為正定xPBPB

8、RQxxVTT)()(1)(xV負(fù)半定反證法證明對(duì)一切x00的運(yùn)動(dòng)解x(t)，有 0。設(shè)對(duì)某個(gè)x00的x(t)有 0，所以xT(t)Qx(t)0，xT(t)PBR-1BTPx(t)0)(xV)(xV0 (R-1BTPx(t)TR(R-1BTPx(t) = u*T(t)R u*(t)0 xT(t)Q1/2 Q1/2x(t) = Q1/2x(t)TQ1/2x(t)u*(t) 0Q1/2 x(t) 0與A，Q1/2為能觀測(cè)相矛盾，所以有 0 )(xV)(xVx時(shí)，有又因?yàn)樗蚤]環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，證明完成。38引入衰減度后，LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題變?yōu)?, 0)(lim)()(0,)0(,020ttTTtet

9、xdtRuuQxxeuJtxxBuAxx 在綜合得到的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的所有特征值的實(shí)部均小于-，引入線性變換轉(zhuǎn)換為無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題ttueuxex,0)(lim)()()0(,)(00txdtuRuxQxuJxxuBxIAxtTT39結(jié)論6.43 指定衰減度的無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)控制的充要條件是 u*(t)=-K*x*(t)，K* = R-1BTP最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)為則最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)以為衰減上限指數(shù)穩(wěn)定，即其中，P為矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程的正定對(duì)稱解陣：0)()(1PBPBRQPIAIAPTT0,)0(*,)(*01txxxPBBRAxT0)(limttetx40結(jié)論6

10、.44 多輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，必滿足如下頻率條件：I+R1/2K*(-jwI-A)-1BR-1/2T I+R1/2K*(jwI-A)-1BR-1/2 I其中等號(hào)只對(duì)有限個(gè)w值成立 。結(jié)論6.45 單輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)必滿足如下頻率條件： |1+k*(jwI-A)-1b| 1其中等號(hào)只對(duì)有限個(gè)w值成立 。41單輸入情況頻率域條件的幾何解釋w =0-1jg0(jw)w =01|1+g0(jw)| 1結(jié)論6.46 單輸入時(shí)不變無(wú)限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件幾何表示為，開環(huán)頻率響應(yīng)g0(jw) = k*(jwI-A)-1b在復(fù)平面上由

11、w = 0變化到w = 的曲線必不進(jìn)入單位圓(-1, j0)內(nèi)，且g0(jw)曲線和單位圓(-1, j0)只有有限個(gè)相切點(diǎn)。bAsIksg1*0)()(42魯棒性：指當(dāng)受控系統(tǒng)的參數(shù)或反饋增益陣的參數(shù)發(fā)生攝動(dòng)時(shí)，閉環(huán)調(diào)節(jié)系統(tǒng)仍能保持漸近穩(wěn)定的屬性。增益裕度：保持閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的的變化范圍。w =01-1jg0(jw)w =00相角裕度：g0(jw)當(dāng)w=0的曲線和單位圓的交點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的夾角。43結(jié)論6.47 單輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)必具有(i) 至少60o的相角裕度；(ii) 從1/2到的增益裕度。結(jié)論6.48多輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，取相對(duì)控制輸入加權(quán)陣R =

12、 diagr1，. ，rp，ri 0，則最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的每個(gè)反饋控制回路必具有：(i) 至少60o的相角裕度；(ii) 從1/2到的增益裕度。多輸入情況0-1jg0(jw)10-2-60o+60ofg44反饋通道中包含非線性攝動(dòng)的魯棒性問(wèn)題-1-2-1-21212(s)s結(jié)論6.49 多輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的反饋通道內(nèi)包含非線性攝動(dòng)(s)，s=K*x，則當(dāng)其滿足如下扇形條件時(shí)： k1sTRs sTR(s) k2sTs，s 0其中，1/2k1k2，k2，閉環(huán)系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定。45最優(yōu)跟蹤問(wèn)題：就是尋找一個(gè)控制u*()，使受控系統(tǒng) 的輸出y跟蹤信號(hào)系統(tǒng) 的輸出 的同時(shí)使如

13、下定義的二次型性能指標(biāo)為極小。其中，加權(quán)陣Q為正半定陣，R為正定陣。qRyCxytxxBuAxx,0,)0(,0qRyHzyzzFzz,)0(,0y0)()()(dtRuuyyQyyuJTT46結(jié)論6.51 受控系統(tǒng)跟蹤信號(hào)系統(tǒng)的相對(duì)于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制律u*()為 u*(t) = -R-1BTPx- R-1BTP12z = -K1*x- K2*z而最優(yōu)性能值為最優(yōu)跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示。01200220000022121200*2zPxzPzPxxzxPPPPzxJTTTTTT返回黎卡提方程解陣 分塊化表示P47狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)狀態(tài)或估計(jì)狀態(tài)按功能分：函數(shù)觀測(cè)器，狀態(tài)觀測(cè)器，

14、按結(jié)構(gòu)分：全維觀測(cè)器，維數(shù) = 原系統(tǒng)降維觀測(cè)器，維數(shù) 1返回56CxyBuAxx,n維線性定常系統(tǒng)A，C能觀測(cè)，rankC=q，則降維觀測(cè)器最小維數(shù)為n-q。同時(shí)，降維觀測(cè)器抗噪能力低于全維狀態(tài)觀測(cè)器降維狀態(tài)觀測(cè)器的基本特性降維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案I基本思路是在利用輸出y的基礎(chǔ)上，對(duì)n-q維分狀態(tài)構(gòu)造全維狀態(tài)觀測(cè)器 算法6.11：選取 非奇異，計(jì)算因?yàn)镻Q=In，所以CQ1=Iq，CQ2=0nnRCP)(211qnnqnQQPQ結(jié)論6.60，6.6157引入變換 ，導(dǎo)出下式，所以重構(gòu)的僅是(n - q)維分狀態(tài)2xPxx 1212121212221121121xxxCQCQyuBBxxAAA

15、Axxx結(jié)論6.63計(jì)算)()(*1*ssqnii極點(diǎn)配置綜合 陣，使成立K)()det(*1222sKAAsITT取TKL 58綜合得到降維狀態(tài)觀測(cè)器)()()()(21212112121222yLzQyQxyLzxuBLByALAxALAz59n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，A，C能觀測(cè)，rankC=q。其降維狀態(tài)觀測(cè)器取為 的條件是HuGyFzz結(jié)論6.67 上述(n-q)降維觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)的充要條件是存在使 為非奇異的(n-q)n滿秩陣T，成立(1) TA FT = GC(2) H = TB(3) F特征值i(F)，i = 1, ,n-q，均具有負(fù)實(shí)部。估計(jì)狀態(tài)為TCPzQyQzyQQzyTCx212

16、11降維狀態(tài)觀測(cè)器：綜合方案II60結(jié)論6.68 設(shè)A和F不具有公共特征值，則方程TAFT=GC存在滿秩解陣T使 為非奇異的必要條件是A，C能觀測(cè)， F，G能控。對(duì)于單輸出情形，這個(gè)條件也是充分條件。TCP算法6.12：計(jì)算*01*11*)(qnqnqnqniisss計(jì)算*1*1*001010qnF61選取非奇異陣R，計(jì)算F = RF0R-1選取G，使F，G能控求解TA FT = GC，定出唯一解陣T計(jì)算H = TB，所設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測(cè)器為估計(jì)狀態(tài)HuGyFzzzQyQx21P非奇異?YNq?=11返回62CxyxxBuAxx0)0(,能控能觀測(cè)系統(tǒng)以Kx為重構(gòu)目標(biāo)的函數(shù)觀測(cè)器可取為：NyMz

17、wzzHuGyFzz0)0(, 結(jié)論6.70 成為Kx-函數(shù)觀測(cè)器的充要條件為(1) TA FT = GC，T為mn實(shí)常陣(2) H = TB(3) F的全部特征值均具有負(fù)實(shí)部。(4) MT + NC = K)(lim)(limtKxtwtt函數(shù)觀測(cè)器的目標(biāo)為：63 如何確定函數(shù)觀測(cè)器的維數(shù)m 結(jié)論6.71 如果K為1n維常向量，可取m=g 1，g為A，C的能觀測(cè)型指數(shù)算法6.13：計(jì)算被估計(jì)系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)g指定函數(shù)觀測(cè)器的特征值 ，都為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)或負(fù)實(shí)數(shù)，則*02*2111*)(ggggsssii*1*1,g取) 1() 1(*2*1*0200ggggIF) 1(1001 gM

18、64引入非奇異變換PT=CT，RT，rankC=q，R需保證P為非奇異，則 ，PBBPAPA,1)(11211qnqKKKPK計(jì)算20222221222KAKAKKggg,*2*1*2qqqqqIIIIIgg22212221212gAAAAAV求解組成VtttK,112, 11, 1ggqtttT)1(1, 112111gg65求解組成122, 1322121122221, 2121122222221AtAAtAKtAtAKtKtgggg)() 1(1, 222212qntttTgg組成并計(jì)算nTTT) 1(21g111111212111tKTMKNBTHTFATATG66所設(shè)計(jì)的(g-1)維

19、Kx-函數(shù)觀測(cè)器且成立NyMzwHuGyFzz)(lim)(limtKxtwtt對(duì)于函數(shù)Kx，函數(shù)觀測(cè)器的最小維數(shù)因具體問(wèn)題的不同而不同。若pn陣K為秩1的，即rankK=1，表K = rK1，其中r為p1，K1為1n常向量，同樣可取g 1維函數(shù)觀測(cè)器重構(gòu)Kx。算法如上所示。返回67基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的組成zxCyvHBzxHKQFCHKQGCBKQCBKQAzx0212168令KB為包含觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，0和OB分別為受控系統(tǒng)和觀測(cè)器，則它們的維數(shù)之間成立： dim(KB) = dim(0) + dim(OB)包含觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征值集合具有分離性， KB的特征值集合=i(

20、A-BK)，i = 1,，n； j(F)，j = 1, ，n-q分離性原理：觀測(cè)器的引入不影響由狀態(tài)反饋陣K所配置的系統(tǒng)特征值i(A-BK)，i=1,，n；狀態(tài)反饋的引入也不影響已設(shè)計(jì)好的觀測(cè)器的特征值j(F)，j = 1, ，n-q。所以對(duì)包含觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)其設(shè)計(jì)可分離地來(lái)進(jìn)行；69觀測(cè)器的引入不改變?cè)瓲顟B(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣觀測(cè)器的引入使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)KB不再保持能控性，即KB不完全正確能控，且分解后的能控部分為A-BK,B,C 一般地說(shuō)，包含觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)在魯棒性上較直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)為差。觀測(cè)器綜合原則：通常選擇觀測(cè)器特征值負(fù)實(shí)部取為A-BK特征值負(fù)實(shí)部的2-3倍，即 Re

21、(F) = (23) Re (A - BK)70G1(s)=KQ2(sI-F)-1HG2(s)=KQ2(sI-F)-1G+ KQ1Gp(s)= G2(s) GT(s)=I + G1(s)-171本章定位：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的綜合和實(shí)現(xiàn)方法的系統(tǒng)論述控制系統(tǒng)綜合的理論和方法：核心是對(duì)相應(yīng)類型性能指標(biāo)建立狀態(tài)反饋可綜合條件；實(shí)質(zhì)是為確定狀態(tài)反饋提供可行算法極點(diǎn)配置問(wèn)題：節(jié)6.3節(jié)6.6動(dòng)態(tài)解耦和靜態(tài)解耦問(wèn)題：節(jié)6.7節(jié)6.8擾動(dòng)抑制和漸近跟蹤問(wèn)題：節(jié)6.9線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題：節(jié)6.10節(jié)6.11控制系統(tǒng)物理實(shí)現(xiàn)和實(shí)際運(yùn)行中的理論問(wèn)題觀測(cè)器：節(jié)6.12節(jié)6.14具有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)：分離性，節(jié)6.15返回72例 給定單輸入線性定常系統(tǒng)和期望的閉環(huán)特征值，求反饋增益陣。uxx0011210061000jj1,1, 2*3*2*1解：計(jì)算特征多項(xiàng)式ssssssAsI7218121006100det)det(23464)1)(1)(2()()(2331*sssjsjssssii14,66, 4,2*21*10*0k73001011211872118720118001001016100111,2122bA