線性代數(shù) 2 行列式

1、1.2 1.2 行行 列列 式式一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式二階行列式二階行列式11a 2211aa行、行、列、列、元素元素主對角線、主對角線、 副對角線副對角線)( )( 12a21a22a2112aa-三階行列式三階行列式 332211aaa131211aaa312213aaa )( )( 232221aaa333231aaa312312aaa 322113aaa 332112aaa 322311aaa 1例例計算行列式計算行列式512432221D 解解122242531D ）（）（）（141522232 ）（）（）（39 :矩陣與行列式的區(qū)別矩陣與行列式的區(qū)別;數(shù)表數(shù)表矩陣

2、矩陣 數(shù)數(shù)行列式行列式 在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 二、二、n n階行列式的定義階行列式的定義,444342413433323124232221

3、14131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個個代代數(shù)數(shù)余余子子式式對對應應著著一一個個余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個個元元素素分分別別定義定義1.71.7：行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 或或jnjnjjjjAaAaAaD 22

4、11 nj, 2 , 1 0532004140013202527102135 D例例2 計算行列式計算行列式解解0532004140013202527102135 D . .1080124220 53241413252 53204140132021352152 66027013210 6627210 13rr 122 rr 例例3 證明證明上上三角行列式三角行列式等于其主對角線上所有等于其主對角線上所有元素之積元素之積.nnnnaaaaaa000222112110.2211nnaaa n 21 n 21對角形行列式對角形行列式三、行列式的性質(zhì)三、行列式的性質(zhì)行列式行列式 稱為行列式稱為行列式

5、的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .說明說明: :行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立. . 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互

6、換相同的兩行，有 . 0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853性質(zhì)性質(zhì) 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 或或jnjnjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnnin

7、iinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)6行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列

8、式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)7把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應的元素上去，行對應的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111

9、k例如例如4例例計算行列式計算行列式325298201503132 D解解325230012003500132 D321213132325300200500132 24 1.1.化三角形法化三角形法利用性質(zhì)化為三角形行列式利用性質(zhì)化為三角形行列式. .2.2.降階法降階法( (展開法展開法) )用展開法則按一行用展開法則按一行( (列列) )展開展開. .可在選定的一行可在選定的一行( (列列) )中中利用性質(zhì)利用性質(zhì)盡量盡量化化零，再按零，再按此行此行( (列列) )展開展開. .行列式計算的基本方法行列式計算的基本方法例例5:5:用化三角形法及降階法計算下列行列式用化三角形法及降階法計算下

10、列行列式3351110243152113 D3315112043512131 解法一：解法一： 原式原式72160648011202131 32rr 145rr 12rr 72160112064802131 56001080011202131 234rr 244rr 40250001080011202131 3486rr 例例6 6 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1)

11、 1(00 .)() 1(1 nbabna7例例解解n21a1111a1111a1D 計算行列式計算行列式)n,2 , 1i , 0a(i )1( n1211a0a0aa11a1D )(21aa)(1naanniiaaaaa00001112211 n32aaa niiaaa2111n21aaa n1iia11階范得蒙行列式階范得蒙行列式證明證明例例n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD)xx(jinij1 )2n( 證明證明時時2n 12212xxxx11D 階范得蒙行列式成立階范得蒙行列式成立設結論對設結論對1n )x(1 )x(1 )x(1

12、 2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2nn2n32n2n32n2k1kxxxxxx111)xx( )xx()xx(jinij2n2k1k )xx(jinij1 例例計算行列式計算行列式bacacbcbacbaD 222cbacbacbacbacbaD 222解解:111)(222cbacbacba 2222111)1)(cbacbacba )()

13、()(abbcaccba 例例解方程解方程:0144413331222132323232 xxx)23)(24)(34)(2)(3)(4( xxxDDT解解: 設方程左邊為行列式設方程左邊為行列式D,則則:(方法一方法一) 4, 3, 2321 xxx解解: 設方程左邊為設方程左邊為f(x),則則f(x)=0為三次方程為三次方程,又又(方法二方法二) 0)4(, 0)3(, 0)2( fff4, 3, 2321 xxx例例10:1111321121121121nnnnnaaaaaxaaaaxaaaaxD000000000012211121xaaxxaaxxaaaaxnnxaaxxaaxxaax

14、xannnn0000000000000) 1(1112211)1 ()()(21xaxaxan()()D行行列列式式 的的任任一一行行 列列 的的各各元元素素與與另另一一行行 列列.式乘積之和為零式乘積之和為零的對應元素的代數(shù)余子的對應元素的代數(shù)余子1s1 iAa2s2iAa 0Aasnin ) si ( t1j1Aat2j2Aa 0Aantnj ) tj ( 性質(zhì)性質(zhì)8：2921702133332314D 41424344AAAA.例例11：證明：證明滿足滿足性質(zhì)性質(zhì)9：四塊缺角行列式：四塊缺角行列式,0ACA BB 0.AA BDB 注意：注意：C 、D 子塊與子塊與 0 子塊未必是方陣子塊未必是方陣10000012000130000021000151002101215013 性質(zhì)性質(zhì)10：設：設A,B 都是都是 n 階方陣，則階方陣，則ABA B 一般地，有一般地，有kkAAAA11 注意：注意：BAAB )1(0)2( AB00 BA或或(4) AB BA 0)3( kA0 A 例例13: 設設n階矩陣階矩陣A 滿足滿足, IAAT 1,.AIA求求12:例例, 02, 2|,3