勾股定理的培優(yōu)專題

1、勾股定理培優(yōu)專題 一、本節(jié)基礎(chǔ)知識(shí) 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.2、命題與原命題：勾股定理的逆定理的題設(shè)和結(jié)論恰好與勾股定理的題設(shè)和結(jié)論相反，我們把像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。3、逆定理：一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理。4、勾股數(shù)：3、4、5這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。鞏固練習(xí)：1如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是_三角形，我們把這個(gè)定理叫做勾股定理的_2在兩

2、個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做_如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的_3分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能構(gòu)成直角三角形的有_(填序號(hào))4若ABC中，(ba)(ba)c2，則B_；5如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的ABC是_三角形6若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、a、8(其中a為正整數(shù))，則以a2、a、a2為邊的三角形的面積為_7寫出下列命題的逆命題，并判斷逆命題的真假(1)兩直線平行，同位角相

3、等(2)若ab，則a2b2二、經(jīng)典例題、針對(duì)訓(xùn)練、延伸訓(xùn)練考點(diǎn)一 證明三角形是直角三角形例1、已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD.求證：ABC是直角三角形. 針對(duì)訓(xùn)練：1、已知：在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷ABC的形狀.2(如圖) 在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，求證：ÐEFA=90°.3、如圖，已知：在ABC中，ÐC=90°，M是BC的中點(diǎn)，MDAB于D，求證：AD2=AC2+BD2. 考點(diǎn)二 運(yùn)用勾股

4、定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算 例、如圖，等腰ABC中，底邊BC20，D為AB上一點(diǎn)，CD16，BD12，求ABC的周長(zhǎng)。 針對(duì)訓(xùn)練：1、.已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四邊形ABCD的面積. 3.已知：如圖，DE=m,BC=n,ÐEBC與ÐDCB互余，求BD2+CD2.考點(diǎn)三、與勾股定理逆定理有關(guān)的探究和應(yīng)用例1.閱讀下列解題過程：已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)AB

5、C是直角三角形.問：上述解題過程是從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)_；錯(cuò)誤的原因是_；本題的正確結(jié)論是_.例2. 學(xué)習(xí)了勾股定理以后,有同學(xué)提出“在直角三角形中,三邊滿足,或許其他的三角形三邊也有這樣的關(guān)系”.讓我們來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)！(1)畫出任意的一個(gè)銳角三角形,量出各邊的長(zhǎng)度(精確到1毫米),較短的兩條邊長(zhǎng)分別是 _mm；_mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)_mm。 比較 (填寫“”,“”,或“”)；(2)畫出任意的一個(gè)鈍角三角形,量出各邊的長(zhǎng)度(精確到1毫米),較短的兩條邊長(zhǎng)分別是_mm； _mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)_mm。 比較 (填寫“”,“”,或“”)；(3)根據(jù)以上的操作和結(jié)果,對(duì)這位同學(xué)提出

6、的問題, 你猜想的結(jié)論是:；。對(duì)你猜想與的兩個(gè)關(guān)系，任選其中一個(gè)結(jié)論利用勾股定理證明。例3.如圖，南北向MN為我國(guó)的領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海.上午9時(shí)50分，我國(guó)反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在線上巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里.反走私艇B測(cè)得距離C艇是12海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？針對(duì)訓(xùn)練：1觀察下列各式：324252；8262102；15282172；242102262，你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？請(qǐng)用含n的代數(shù)式表

7、示此規(guī)律并證明，再根據(jù)規(guī)律寫出接下來的式子2、如圖所示，有一塊塑料模板ABCD，長(zhǎng)為10，寬為4，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合)并在AD上平行移動(dòng)：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由. 3.喜歡爬山的同學(xué)都知道,很多名山上都有便于游人觀光的索道,如圖所示,山的高度AC為800 m,從山上A與山下B處各建一索道

8、口,且BC=1 500 m,一游客從山下索道口坐纜車到山頂,知纜車每分鐘走50 m,那么大約多長(zhǎng)時(shí)間后該游客才能到達(dá)山頂?說明理由.延伸訓(xùn)練：如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù) 總結(jié)提高：1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三內(nèi)角之比為123 B.三邊長(zhǎng)的平方之比為123C.三邊長(zhǎng)之比為345 D.三內(nèi)角之比為3452.如圖1824所示,有一個(gè)形狀為直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的長(zhǎng)為10 cm，D=120°，則該零件另一腰AB的長(zhǎng)是_ cm（結(jié)果不取近似值）. 圖

9、1824 圖1825 圖18263.如圖1825，以RtABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，則AB的長(zhǎng)為_.4.如圖1826，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AF=AD，試判斷EFC的形狀.5.一個(gè)零件的形狀如圖1827，按規(guī)定這個(gè)零件中A與BDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，這個(gè)零件符合要求嗎？ 圖18276.已知ABC的三邊分別為k21，2k，k2+1（k1），求證：ABC是直角三角形.7.已知a、b、c是RtABC的三邊長(zhǎng)，A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形嗎？為什么？ 8、.如圖1829所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.9、若ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，根據(jù)下列條件判斷ABC的形狀。（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2) a3a2b+ab2ac2+bc2b3=010如圖，在ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求CD的長(zhǎng) 11已知：如圖，四邊形ABCD中，ABBC，AB1，BC2，CD2，AD3，求四邊形ABCD的面積 14已