年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)優(yōu)選.不等式的綜合問題

1、6.7不等式的綜合問題知識梳理1方程與不等式、函數(shù)與不等式、解析幾何與不等式的綜合問題2.解決上述問題的關(guān)鍵是找出綜合題的各部分知識點及解法，充分利用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法求解.點擊雙基1. (2004 年湖北，5)若-V-V0,則下列不等式中，正確的不等式有a ba+bvab|a|b|avb-+ -2a bA.1 個B.2 個C.3 個D.4 個解析：-V-v0,二 bvav0.a bca +b 0,故正確，錯誤.|b| |a|.ta、b 同號且 aMb，.b、-均為正.a b2b a=2.a b-a b故正確.正確的不等式有 2 個.答案：B2. (2004 年福建，11)(理)定義在 R 上

2、的函數(shù) f(x)滿足 f(x) =f (x+2)，當(dāng) x 3,5時,f (x) =2-|x-4|,則A. f(sinn) vf(cosn)6 6B. f (sin 1) f (cos1)C. f(cos) vf(sin -)33D.f (cos2) f (sin2)解析：由 f (x) =f (x+2),知 T=2,又:x 3, 5時，f (x) =2 |x 4|,可知當(dāng) 3x4 時，f (x) = 2+x.當(dāng) 4vx 5 時，f (x) =6x.其圖象如下圖故在(一 1, 0)上是增函數(shù)，在(0, 1)上是減函數(shù).又由 |cos2| f (sin2).答案：D(文)定義在 R 上的偶函數(shù) f

3、 (x)滿足 f (x) =f (x+2),當(dāng) x3, 4時，f (x)x 2,貝 U11A. f(sin )vf(cos-)22B. f (sinn)f (cosn)33C. f(sin 1)vf(cos1)D. f (sin? ) f (cos3)2 2解析：仿理科分析答案：C3. 設(shè) M=a+丄 (2vav3), N=log1(x4+ 丄)(x R),那么 M、N 的大小關(guān)系是a2216A.M NB.M=NC.MvND.不能確定解析：由 2vav3, M=a+= (a 2) + 亠+22+2=4 (注意 a 1, a 3),a 2a 2216216答案：A24.對于 0Wm4x+m 3

4、恒成立，則 x 的取值范圍是411N=log1(x +) 0 在 Owm3.答案：x3 或 xv 1典例剖析【例 11已知 f (x) =loga1 x(a0, a 1).X 1(1) 判斷 f (乂)在(1, +x)上的單調(diào)性，并加以證明；(2) 當(dāng) x( r, a 2)時，f (x)的值域為(1, +),求 a 與 r 的值；(3) 若 f (x) loga2x,求 x 的取值范圍.剖析：單調(diào)性只要用定義證明，可先比較真數(shù)的大小再證.函數(shù)值域可利用函數(shù)的單調(diào)性確定端點后再比較，化為方程組求解.對數(shù)型不等式要化成同底后分 a 1 與 Ovav1 求解，同時要注意定義域.解：(1 )任取 1v

5、X1vx2,貝Uf(x2)f(X1)=loga-J logaX?1x 一1I(x2+1)(右1)=loga(X2-1)(X11)=logaX1X2X1 -x2 -1.XrX2-旳+x2-1又vX2 X1 1 , X1 X2 1 時，f (X2) f (X1)v0,f(O)0,f(4)0_4x+30 x 3,x C_1或X1. f (x)在(1, +x)上是減函數(shù);44當(dāng) a 1 時,X 1x +1 2x(x1)3 - i17vxv317且 x 1.當(dāng) Ovav1 時，f (X2) f (xj 0, f (x)在(1, +x)上是增函數(shù).(2)由0 得 x( x,1)U(1,+x)x 1 Lj=

6、1 +Z工 1,.f (x)工 0.x -1 x -1當(dāng) a 1 時， x1 二 f(x)0,xv1= f(x)(0,1),要使 f （x）的值域是（1, +）,只有 x 1.又 f （乂）在（1, +x）上是減函數(shù), f 1(乂)在(1, +x)上也是減函數(shù) f(x)1= 1vxvf1(1)=.a 1r,a 1 a - 2L a -1當(dāng) 0vav1 時,/x1= f(x)v0,xv1= f(x)0,要使值域是（1, +x）,只有 xv 1.又 f (x)在(一x, 1) 上是增函數(shù), f (x) 1 二1 x f1(1) =.a 1r亠滋ra -1無解.a -2一1,綜上，得 a=2+3,

7、r=1.(3)由 f (x) loga2x 得r =1_a=2士 .4【例 2已知拋物線 y=ax2-1 上存在關(guān)于直線 x+y=0 成軸對稱的兩點，試求實數(shù)a 的取值范圍.解法一：設(shè)拋物線上關(guān)于直線 I 對稱的兩相異點為 P(X1，y1)、Q(x2，y2)，線段PQ 的中點為 M (xo, yo)，設(shè)直線 PQ 的方程為 y=x+b，由于 P、Q 兩點存在，所以方v =x +b，2程組丿2有兩組不同的實數(shù)解，即得方程 ax -x-( 1+b)=0.V =ax -1判別式 Y1+4a (1+b) 0.由得 X0=仝x2= ，y=x0+b= +b.2 2a2aTMI， 0=x0+y0= + +b

8、，2a 2a即 b=丄，代入解得 a -.a4解法二：設(shè)同解法一，由題意得將代入，并注意到 a0, X1 X2工 0,得由二元均值不等式易得2 (X12+X22)( X1+X2)2(X1X2).將代入上式得2 (斗 +2)(-)2,解得 a -.a aa4解法三：同解法二，由一，得當(dāng) 0Vav1 時,x1,x +1 3.（舍去 avo，為什么?）4思考討論解法三中為何舍去 avo?這是因為 avo，中點 M （xo， yo）， 乂。=丄vo，2a1yo=o.又Tavo，2ay=ax2 1vo，矛盾. avo 舍去.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.已知 y=loga（2 ax）在o，1上是 x 的減函數(shù)，貝

9、 U a 的取值范圍是A. （o，1）B. （1，2）C. （o，2）D. 2，+）解析：Iy=loga(2 ax)在o，1上是關(guān)于 x 的減函數(shù),a 1,c1vav2.Z aA。.答案：B2._ 如果對任意實數(shù) x,不等式|x+1| kx 恒成立，則實數(shù) k 的范圍是_解析：畫出 y1=|x+1|, y2=kx 的圖象，由圖可看出 Owk9 時,b - 9a+b=-+b 9+1016.b 9=b 9,即 b=12 取等號，此時 a=4.b -9bv9 無解. a=4, b=12.答案：41214已知定義在(0, + %)上的函數(shù) f (x)滿足x 1 時，f (x)v0； (2) f (-)

10、2=1; (3)對任意的 x、y(0, +X),都有 f (xy) =f (x) +f (y),求不等式 f (x) +f (5x) 2 的解集.解：需先研究 y=f (x)的單調(diào)性，任取 X1、X2( 0, +X)且劉X2,則冬 1.x2f (X1)=f (魚 x2) =f (互)+f (X2),X2X2廠2. _2(log2x _1)+(Iog2x) 一2log2x+10,22( log2x _1)+(log2x)_2 log2x +1 0,解得 1vlog2xv3.二 2vxv8.培養(yǎng)能力6. (2004 年江西九校聯(lián)考三月)已知函數(shù) f (x) = -+- (x0).a x(1) 判斷

11、 f (乂)在(0, +x)上的單調(diào)性，并證明；(2) 解關(guān)于 x 的不等式 f (x) 0;(3) 若 f (x) +2x0 在(0, +x)上恒成立，求 a 的取值范圍.解：(1) f (x)在(0, +x)上為減函數(shù)， f(x)=占v0,x解析：設(shè)-+- =1, a、a bb N*，貝 Ua=bb _9 f (x)在(0, +x)上為減函數(shù).(2) 由 f (x) 0 得一丄+? 0,a x即v0.ax1當(dāng) a0 時，不等式解集為x|0vxv2a.2當(dāng) av0 時，原不等式為匸空0.x解集為x|x 0.(3) 若 f (x) +2x0 在(0, +x)上恒成立，即一+ +2x0. 丄w+

12、2x.a xa x21t2x4, w4.xa解得 av0 或 a丄.47.已知二次函數(shù) f (x) =x2+bx+c (b、c R),不論a、B為何實數(shù)，恒有0,f(2+cosB) w0.(1)求證：b+c= 1 ；(2) 求證：c3;(3) 若函數(shù) f (sina)的最大值為 8,求 b、c 的值.(1)證明:v|sina| 0 恒成立，可得 f (1) 0.又/ 1 2+cospw3 且 f (2+cosB) 0 恒成立，可得 f (1) 0,f (1) =0= 1+b+c=0= b+c= 1.(2)證明：vb+c= 1 = b= 1 c,2f (x) =x (1+c) x+c= (x 1

13、) (x c).x c x 恒成立.c3.(3)解：vf(sina)=sin2a(1+c)sina+c=(sina)2+c()2,2 2當(dāng) sina= 1 時，f (sina)的最大值為 1 b+c.f(sina)由 1 b+c=8 與 b c= 1 聯(lián)立可得 b= 4, c=3.8.設(shè) f(x) =-x2 bx+c,不等式 f(x)v0 的解集是(1, 3)，若 f (7+|t|) f( 1+t2),a求實數(shù) t 的取值范圍.解：vf (x)v0 的解集是(一 1, 3), a0, f (x)的對稱軸是 x=1，且 ab=2. f (x)在1,)上單調(diào)遞增.又v7+|t|7, 1+t2 1,

14、由 f (7+|t|) f (1+t2)，得 7+|t| 1+t2.Itf|t| 6v0,解得-3vtv3.探究創(chuàng)新9有點難度喲！已知函數(shù) f (x)滿足 2axf (x) =2f (x) 1, f (1) =1,設(shè)無窮數(shù)列an滿足 an+1=f(an)(1)求函數(shù) f (x)的表達式;(2) 若 ai=3，從第幾項起，數(shù)列an中的項滿足 an0.2 an2 1從第 2 項起，數(shù)列an滿足 an an+1.由 an=1與歸納假設(shè)知m(n2)vanvm(n7對 n N三都成立.三 am+10.2 am1 10vam+2=v v1.2 am4t21 1由(2)證明知若 0vanv1,則 0van+

15、1=v-=1.2an21 N=m+2，使得 nN 時總有 0van 0=an+1an.(3)當(dāng) 1 + 1va1 旦時,mm 1a2=-2a1，得mm -1va2同理,m -1m2va32.m -(n -1)不等式，常常與集合問題，方程（組）解的討論，函數(shù)定義域、值域的確定，函數(shù)單調(diào) 性的研究，三角、數(shù)列、立體幾何中的最值問題，解析幾何中的直線與圓錐曲線位置關(guān) 系的討論等等有著密切的關(guān)系2不等式應(yīng)用大致可分為兩類：一類是建立不等式參數(shù)的取值范圍或解決一些實際 應(yīng)用問題；另一類是建立函數(shù)關(guān)系，利用均值不等式求最值問題.3建立不等式的主要途徑有：利用問題的幾何意義；利用判別式；利用函數(shù)的有界 性；

16、利用函數(shù)的單調(diào)性；利用均值不等式.4不等式應(yīng)用的特點是：（1）問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如“物價、 稅收、銷售、市場、信息” 等,題目往往篇幅較長；（2）建立函數(shù)模型常見的有“正（反） 比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，以及y=ax+衛(wèi)（ax0， b0）、y=ax2+b、y=k （a+b） x （c ax） （d bx）” 的形式.x5解答不等式的實際應(yīng)用問題，一般可分三個步驟：（1）閱讀理解材料.應(yīng)用題所用 語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，而且文字?jǐn)⑹銎^長，閱讀理解 材料要達到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實際背

17、景，確定問題中量與量之間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題的方向（2） 建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出常量與變量的不等關(guān)系 .（3） 利用不等式的有關(guān)知識解題，即將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號或圖形符號.教師下載中心教學(xué)點睛不等式應(yīng)用題大都是以函數(shù)的面目出現(xiàn)，以最優(yōu)化的形式展現(xiàn)在解題過程中涉及均值1在解不等式時，要注意函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應(yīng)用2.加強利用均值不等式及其他方法求最值的練習(xí)，在求最大（?。┲禃r，有三個問 題必須注意：第一，注意不等式成立的充分條件，即x0, y0 （x+y2 丘y）；第二，注意一定要出現(xiàn)積為定值或和為定值；第三，要注意等號成立的條件，

18、若等號不成立, 利用均值不等式 x+y2xy不能求出最大(小)值拓展題例【例 1】設(shè) f (x) =ax2+bx+c,若 f (1)=-，問是否存在 a、b、c R,使得不等式 x2+丄2 2f (x) x2+1對一切 x R 都成立，2 2a 1 且 Y1 4 (a 1) (2 a) 0 得 a=.2 f (x) =3x2+x+1.2證明如下：3x2+x+1 2x2 2x - = - x2 x丄二一-(x+1)20.2 2 2 2 232233x +x+1 2x +2x+3對 x R 都成立.2 2存在實數(shù) a=3，b=1，c=1，使得不等式 x2+- f (x)bc 且 a+b+c=0.(1)求證：此函數(shù)的圖象與 x 軸交于相異的兩個點(2)設(shè)函數(shù)圖象截 x 軸所得線段的長為 I，求證：-3vlv2 七.證明：(1)由 a+b+c=0 得 b=( a+c)2 2&(2b) 4ac=4 (a+c) 4acC、232=4 (a +ac+c ) =4 (a+ )+c 0.24故此函數(shù)圖象與 x 軸交于相異的兩點.(2)va+b+c=0 且 abc,a0，cv0.由 ab 得 a( a+c),c 2.a由 bc 得( a+c)c, cv丄 2v由二次函數(shù)的性質(zhì)知 I (3, 2.3)