系統(tǒng)的頻率特性分析

1、第四章頻率特性分析4.1 什么是頻率特性？解對于線性定常系統(tǒng)，若輸入為諧波函數(shù)，則其穩(wěn)態(tài)輸出一定是同頻率的諧波函數(shù)，將輸出的幅值與輸入的幅值之比定義為系統(tǒng)的幅頻特性；將輸出的相位于輸入的相位之差定義為系統(tǒng)的相頻特性。將系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。4.2 什么叫機械系統(tǒng)的動柔度，動剛度和靜剛度？解若機械系統(tǒng)的輸入為力，輸出為位移(變形)，則機械系統(tǒng)的頻率特性就是機械系統(tǒng)的動柔度；機械系統(tǒng)的頻率特性的倒數(shù)就是機械系統(tǒng)的動剛度；當w=0時，系統(tǒng)頻率特性的倒數(shù)為系統(tǒng)的靜剛度。4.3 已知機械系統(tǒng)在輸入力作用下變形的傳遞函數(shù)為2(mm/kg),s1求系統(tǒng)的動剛度，動柔度和靜剛度。解根據(jù)

2、動剛度和動柔度的定義有動柔度一.一.2.'jw=Gjw=Gss=jw=jw1mm/kg/、一1jw1動剛度工(jw)=kg/mm靜剛度.c1工jww=0=GjwG(jw)2Cjw+1ccLIw=0=J2w=0=0.5kg/mm4.4 若系統(tǒng)輸入為不同頻率w的正弦函數(shù)Asinwt,其穩(wěn)態(tài)輸出相應為Bsin(wt+).求該系統(tǒng)的頻率特性。解：由頻率特性的定義有G(jw)=Bejw。A4.5 已知系統(tǒng)的單位階躍響應為x(t)=1-1.8e-4t+0.8e9t,試求系統(tǒng)的幅輻頻特性與相頻特性。解：先求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，由已知條件有x。(t)=1-1.8e4t+0.8e9t(t-0)1Xi(S)=

3、1sX(S)=1-1.8-+0.8ss4s9小心X0(S)36G(S)=X0(S)s4s9(jw)=G(s)364jw9jwA(w)=G(jw)362216w、81w(w)=0-arctanw-arctanw=-arctanarctan4.6由質(zhì)量、彈簧、阻尼器組成的機械系統(tǒng)如圖所示。已知，m=1kg,k為彈簧的剛度，C為阻尼系統(tǒng)。若外力f(t)=2sin2tN,由實際得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應為x0ss=sin2t-<2J試確定k和c解由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知，系統(tǒng)的動力學方程為mxotcxotkxoti>ft則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Gs)=1mscskm=1)(其中相頻特性為ZGj-arctanc0&

4、lt;k-«12J由題意有，當缶=2時,即，其頻率特性為其中，幅頻特性為解得k=4,c=1試求下列系統(tǒng)的幅頻、相頻、實頻和虛頻特性A儂卜中儂卜u卜)。1G(s)=m)解依頻率特I定義有G(jo)=G(s)s也其中，幅頻、相頻、實頻和虛頻特性分別為A(6)=G(joj,平儂)=/G(j6),u(j6)=ReG(j0,u(6)=ImG(j6)則(1)中1j305A一90011-arctan301502"900-1Gj=二2j1j0.1。)-0.1j-)90-arctan0.1,二一30.01-1.0.01210.1u.二一20.011系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gb(s)=e鬻，當作用

5、輸入信號及(t)=Rsinwt時，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)頻率特性為：Gn(jw)=見江水電尊渣門舊皿明一5加為：l+fltwNi+w3Ti由Xmu(t)=Xi|Gb(jw)|sinwt+Ga(jw)有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：(t)=R-Kt|sin(wt-arctanwTs+arctanwlj)4.9設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為6卜，當系統(tǒng)作用以下輸入信號：(t)=sin(t+30o)(t)=2cos(2t-45o)(t)=sin(t+30o)-2cos(2t-45o)解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Ga(s)=期二以工金1椀1I)1將MU11則G>(jw)=-.,惻眥二用一H、|0中城

6、B11(1)因為w=1;所以Gb(jw)10L=田(t+30o-5.2o)=0.90sin(t+24.8o)(2)因為w=2;所以Ga(jw)2r"s，V125)SS：(t)=102X=COS(2t-45D-10.3C)=1.79cos(2t-55.3o)(3)有疊加原理有:Am(t)=Xom(t)+X1mE(t)=0.905sin(t+24.8o)-1.79cos(2t-55.3o)4-10設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K,式中，時間常數(shù)T=0.5秒，放大Ts1系數(shù)K=10。求在頻率f=1Hz,幅值R=10的正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出(-Jt)的幅值與相位。解：根據(jù)定義與已知有G(j)_

7、K_T=0.5_10jT1K=10-1j0.5=2-f=6.3KT=0.5jTw+1K=106.3=3.06ej(2.5母2_(t)=10x3.06sin(6.3t72.5°)=30.6sin(6.3t72.5,故7#的幅值與相位分別為30.6和-72.5°4-11知系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如圖(題4.11)所示，現(xiàn)作用于系統(tǒng)輸入信號J(t)=sin2t,試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：(1)G(s)=-,H(s)=1;s1G(s)=5,H(s)=1;s5G(s)=5,H(s)=2。s1圖(題4.11)解：因為i(t)=sin2t則輸入的幅值為"=1,輸入的頻率

8、為6=2對于(1)GB(s)G(s)1G(s)H(s)Gb(j)=0-arctan65-j18.4240e工Jt)=Xi,G(j®)sin(®t+/G(j®)=0.79sin(2t18.4°)對于(3).(t)=XiGb(S)=5_arctanV25+«2e5_J21.8°。=2729eG(j6)sint+/G(j6)=0.93sin(2t-21.8G(s)1G(s)H(s)s115310.30=2-V125e55_arctan®Gb(jo)=".=t?e5G11+j0<121+02e5(t)=viG(j)s

9、in(t-G(j)=一sin(2t-10.3)-i54-12求出下列函數(shù)的Nyquist曲線(1)系統(tǒng)頻率特性G(j)=2210.0110.00010.01*j210.00012其中,G(j)0.0001ZG(j0尸一arctan0.01。u(1)=210.0001v()="0.01*210.00012因此，u、v滿足關(guān)系(u-1)2+v2=(1)又因為u>0、v<0,系統(tǒng)頻率特性的Nyquist曲線為一個位于第四象限的半圓。其Nyquist圖如圖(題4.12(1)(2)系統(tǒng)頻率特性2、10.01jG(j)=2其中,G(j)0.00012210,00011-0.01j10

10、.00012/G(j)=arctan0.01u()=110,00012/、0.01v()=210,00012因此，u、v滿足關(guān)系(u-1/2)2+v2=(1/2)又因為u>0、v>0,系統(tǒng)頻率特性的Nyquist曲線為一個位于第一象限4.12(3)系統(tǒng)頻率特性G(j)=1-10.01j1210,00010.01210,0001其中,G(j)0.00012/G(j0°)=冗一arctan0.0產(chǎn)u(切)=210.000120.01v()=-210.00012因此，u、v滿足關(guān)系(u-1)2+v2=(1)222又因為u<0、v<0系統(tǒng)頻率特性的Nyquist曲線為

11、一個位于第三象限的半圓。其Nyquist圖如圖(題4.12(3)1(4)系統(tǒng)頻率特性G(j)=10.01j0.110.01j10.00012*u(、0.1尸210.012當w=0時,當w=10時,當WR0時,G(j°)|=°°u(0尸一0.1Gj)|=0.0707u(°)=0.05IGj)|=0/G(j)=-2v()=_oo3/GH)=-2v()=-0.05/G(j«尸一180°其中,一、1.、冗Gj)|=/Gj)=arctan0.1w*10.000122,、1v()=-10.01*u()=0v()=0其Nyquist圖如圖(題4.1

12、2(4)Im圖(題4.12(3)圖(題4.12(4)(5)這是一個典型的二階振蕩環(huán)節(jié)(切n=10,e=0.5)其特性曲線為G(j)=1210.1j-0.0121-0.012-0Oj(1一0.01®22+0.012G(j)1/(1-0.01。2猿+0.01缶2/G(j0)=arctan1002100-1-0.012u()=21-0.0120.012,、0.1v(&)=一21-0.0120.012其中,當S=0時,G(j)/G(j)=0u(。)=1v(8)=0當con=10時，IG(j®)|=1ZG卜)=一90°u(°)=0v(0)=1當=缶r=Jc

13、on*(1_2®_1(0.6co2)2(co-0.05co3)2)=7.1時，IGj)|=1.15ZG(j。)=-54.70當6=oo時，IG(j«)|=0,ZG(按)=1800u(8)=0v(8)=0其Nyquist圖如圖(題4.12(5)(6)傳遞函數(shù)系統(tǒng)1s22.5s1G(j9)11-GJ27=F；1+2.5j3-32(132)2十6.2532-J(1-2.5gj1)26.251其中，G(jGJ)=(1-co2)26.25w22.53ZG(jw)=-arctan21-3u(v(1-w23-(1-w2)2-6.25w22.5co3)=-222(1-w2)26.25w3=

14、0時,G(j3)=1/G(jU(3)=1v(GJ)=0GO=GDn=1日寸,G(j3)=0.4/G(j3尸-90u(v(GD)=-0.43=OO時,G(jGJ)=0/G(j3)=-180u(GJ)=0v(GJ)=0因為阻尼比七二1、25>0.707，故不存在諧振頻率.其Nyquist圖如圖(4.12(6).(7)傳遞函數(shù)G(s)=s(0.1s1)(0.5s1)0.05s30.6s2sG(j3尸系統(tǒng)頻率特性jw(0.1jd)(0.5s1)j(w-0.05w3)-0.6w30.6w2_22_32(0.63)(3-0.053)3、(3-0.053)-j_22_32(0.63)(3-0.053)

15、其中，G(j3)=1(0.6co2)2(3-0.0533)2/G(j3)=-兀+arctan3、(3-0.053)1-IU(GJ)=-v(GJ)=-0.632(3-0.0533)(0.6w2)2(w-0.05w3)2當3=0時，G(jw)=00ZG(j(o)=-90u(u)=-0.6v()=)=-00另v(3尸0,得1八9=4,4720.05/G(j3)=-270此時,u(3)=-0.08當3=°0時，G(ju(GJ)=0v(GJ)=0其Nyquist圖如圖(題4.12(7).(8)傳遞函數(shù)7.5(0.2s1)(s1)_1.5s29s7.5G(S)=232s(s16s100)s316

16、s2100s系統(tǒng)頻率特性G(j、_7.5(0.2-1)(j-1)_(7.5-1.52)j93)=j(100-16j)j100-16780152.7.5(024-1.82100)2562(100-2)2(162)2(100-3)2其中,/G(j3)=arctan0.29+arctan9-90-arctan16100-2u(GJ)=278015a22(100-3)十256T>0COv(GJ)=-_4_27.5(0.23-1.8a100)_32_22(1003-3)(163)<0當3=0時,G(j9)=8ZG(j3)=-90當3=00時,u(3)=0.078G(j3)=0GJ)=-00/

17、G(j3)=-270u(v(其Nyquist如圖(題4.12(8)(9)傳遞函數(shù)G(s)=系統(tǒng)頻率特性50(0.6s+1)=30s+50s2(4s1)4s3s2G(s)=50(j0.6s1)_50j30(o(j/(4j3+1)-j41-1其中，G(j3)=u(3)=50120屋321634+.1703+J/16及,5023021,(晨)24(33)2/G(ja)=arctan0.63-兀-arctan4350120。2屋16>4v(GJ)=170332-16(/當3=0時，G(j3)=00ZG(j(o)=-180u(3)=-00v(3)=-00當3=00時,G(j3)=0/G(j3)=-180u(其Nyqu