高等數(shù)學第六版(同濟版)第十一章復習資料

1、 第十一章 曲線積分與曲面積分 引入：在上一章中，我們研究了二元函數(shù)在平面有界閉區(qū)域上的二重積分和三元函數(shù)在空間有界閉區(qū)域上的三重積分，我們知道：重積分的計算都可以化成定積分來完成.這一章給大家介紹二元函數(shù)在平面曲線上的平面曲線積分、三元函數(shù)在空間曲線上的空間曲線積分以及三元函數(shù)在空間曲面上的曲面積分，這些積分的計算可由定積分或重積分來完成 第一節(jié) 對弧長的曲線積分 一、對弧長的曲線積分的相關概念 1.引例：曲線形構件的質(zhì)量 假設曲線形細長構件在空間所處的位置在平面內(nèi)的一段曲線弧上，它的端點為 ，曲線弧上任一點的線密度為，求曲線形構件的質(zhì)量 (1). 大化小：在曲線弧任取一組點將分成個小弧段，

2、 第個小弧段的質(zhì)量為，則 (2). 常代變：記小弧段的長度為si，在小弧段上任取一點，則有 ， (3). 近似和： (4). 取極限：令為個小弧段的長度的最大值，有 抽去這個確定和式極限的具體意義，就得到了數(shù)學上的對弧長的曲線積分 2. 對弧長的曲線積分的定義：設函數(shù)在平面上的一條光滑曲線上有界，在上任意插入個點將分成個小弧段，設第個小弧段的長度為si，在其上任取一點，作乘積，有和 ， ，當時，若極限總存在，則稱此極限值為函數(shù) 曲線弧對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作，即 ， 其中叫做被積函數(shù)，叫做積分弧段，叫做弧長微元. 注： 1.若函數(shù)在曲線弧上連續(xù)，則曲線積分存在 2.第一類曲線積分

3、與積分弧段的方向無關，即事實上： ， ， . 段的長si與曲線弧的方向無關，恒為正值 3. 定積分不是第一類曲線積分的特例，因為 的方向有關 4. 若是閉曲線，則在上的第一類曲線積分為： 5. 若，且積分弧段的長為，則 6. 可推廣：三元函數(shù)在空間曲線上的第一類曲線積分： 3. 物理意義：可求長的物質(zhì)曲線的質(zhì)量，即在引例中， 二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)：假設各個曲線積分都存在 1. 線性性質(zhì)：設、是常數(shù)，則 2.積分弧段的可加性：若積分弧段可以分成兩段光滑曲線弧和，則 3.不等式性質(zhì)：若在上，則. 4. 絕對值不等式性質(zhì)： 三、對弧長的曲線積分的計算：化曲線積分為定積分 定理：設在曲線弧上有定

4、義且連續(xù)，的參數(shù)方程為： 且，則曲線積分存在，、在 且 注： 1.若曲線弧的方程為，則的方程為：，有 2.若曲線弧的方程為 ，則的方程為：，有 3.可推廣：若空間曲線弧的參數(shù)方程為 ，則 例1.計算 ，其中是拋物線上點與點之間的一段弧 ， 解：由于曲線弧的參數(shù)方程為 因此 例2. 計算半徑為、中心角為的圓弧對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量(設線密度). 解：建立坐標系如圖，則所求轉(zhuǎn)動慣量 ，于是 取的參數(shù)方程為 . 例3.計算曲線積分，其中為螺旋線、 于從到的一段弧. 解： . 第二節(jié) 對坐標的曲線積分 一、 對坐標的曲線積分的相關概念 1. 引例: 變力沿曲線所作的功 設一質(zhì)點受變力的作用,在平面內(nèi)

5、從點沿光滑曲線弧移動到點其中和在上連續(xù)，求移動過程中變力所作的的功. (1). 大化?。涸谇€弧任取一組點將分成個小弧段， 變力沿第個小弧段所作的功為，則 (2). 常代變：有向小弧段可用有向線段來代替 在小弧段上任取一點，則有 ， (3). 近似和： (4). 取極限：令為個小弧段的長度的最大值，有 抽取這個確定和式極限的具體意義，就得到了數(shù)學上的對坐標的曲線積分 2. 對坐標的曲線積分的定義：設函數(shù)、在平面內(nèi)的從點到點的一條有向光滑曲線弧上有界，在上沿的方向任意插入個點 將分成個有向小弧段()， ，在其上任取一點，作乘積與 和式與，當個小弧段的直徑最大值時， (1). 若極限總存在，則稱此

6、極限值為函數(shù)在有向曲線弧 的曲線積分，記作 (2). 若極限總存在，則稱此極限值為函數(shù)在有向曲線弧 的曲線積分，記作 其中、叫做被積函數(shù)，叫做積分弧段. 以上兩個積分也稱為第二類曲線積分，有時也寫成 注： 1.若、在上都連續(xù)，則對坐標的曲線積分、都存在 2.若為空間曲線弧 , 則有 3.對坐標的曲線積分的物理意義：變力沿曲線所做的功 二、對坐標的曲線積分的性質(zhì) 1. 線性性質(zhì)：設、是常數(shù)，則 2.積分曲線的可加性：若有向曲線弧段可以分成兩段光滑的有向曲線弧和，則 3.方向性： 記表示的反向弧，則. 注：定積分是對坐標的曲線積分的特例 三、對坐標的曲線積分的計算：化曲線積分為定積分 定理：設函數(shù)

7、、在有向曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為： 當參數(shù)單調(diào)的由變到時，點從的起點運動到終點.、在或且，則曲線積分存在， 且 注： 1.與的大小不定，與積分曲線弧的方向有關 2.若曲線弧的方程為，則的參數(shù)方程為：，有 其中參數(shù)對應的起點，對應的終點 3.若曲線弧的方程為，則的參數(shù)方程為：，有 其中參數(shù)對應的起點，對應的終點 4.可推廣：若空間有向曲線弧的參數(shù)方程為，則 ， 其中對應的起點，對應的終點. 四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 設函數(shù)、在有向曲線弧上連續(xù)，的參數(shù)方程為：，起點 終點分別對應參數(shù)和，假設.、在 ，則對坐標的曲線積分與對弧長的曲線積分之間的聯(lián)系為： ， 其中、是曲線弧的切向量的方向余

8、弦. 推導：由對坐標的曲線積分的計算公式，有 ， 又曲線弧的切向量的方向余弦為 ， ， 由對弧長的曲線積分的計算公式，有 ， 從而有 注：可推廣到兩類空間曲線積分之間的聯(lián)系： 例1.計算，其中為拋物線上從點到點的一段弧 解法(一)：取為參數(shù)，則， ，；，, 于是 . 解法(二)：取為參數(shù)，則，,于是 . 例2.計算，其中為： (1).半徑為、圓心為原點、按逆時針方向繞行的上半圓周； (2).從點沿軸到點的直線. 解： (1). 取的參數(shù)方程為：，于是 . (2). 的方程為：，于是 例3.計算，其中為： 注：相同的函數(shù)在同一起點沿不同路徑到同一終點的第二類曲線積分值可以不同 (1).拋物線上從

9、到的一段??； (2).拋物線上從到的一段?。?(3).有向折線，這里、依次是點，. 解： (1). 的方程為：，于是 (2). 的方程為：，于是 (3). ，；，, 于是 注：相同的函數(shù)在同一起點沿不同路徑到同一終點的第二類曲線積分值可以相同. 例4.計算，其中是從點到點的直線段 解：直線段 ，化為常數(shù)方程得，于是 第三節(jié) 格林公式及其應用 引入：在一元函數(shù)積分學中，我們知道牛頓萊布尼茲公式 分和原函數(shù)(不定積分)聯(lián)系起來，這節(jié)課我們來學習聯(lián)系二元函數(shù)分的公式格林公式，通過它可以把平面有界閉區(qū)域D上的二重積分和區(qū)域D的邊界曲線上的曲線積分聯(lián)系起來. 一、格林公式 1.單連通區(qū)域：若平面區(qū)域D內(nèi)

10、任一閉曲線所圍成的部分都屬于，則稱D 區(qū)域，否則稱為復連通區(qū)域 注：單連通區(qū)域就是不含洞或點洞的區(qū)域，復連通區(qū)域就是含洞或點洞的區(qū)域. 2.閉曲線的正向：若觀察者沿平面區(qū)域的邊界曲線的某一方向行走時， 區(qū)域D在他近處的那部分總在他左側(cè)，則稱這一方向為曲線的正向. 3.格林公式： 定理：設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成，若函數(shù)及在D 偏導數(shù)，則有，其中是的取正向的邊界曲線 注： 1.對于復連通區(qū)域，格林公式右端曲線積分應為沿區(qū)域的全部邊界的曲線積分，且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向 2.若，則有平面閉區(qū)域D的面積公式 .這是因為 3.若取負向，則有. 例1.求橢圓所圍成圖形的面積. 解：由格林公式

11、有 . 例2.設是任意一條分段光滑的閉曲線，證明 證明：令 ，于是 例3.計算，其中是以，為頂點的三角形閉區(qū)域 解：令 ，于是 . 例4. 計算 ，其中是一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線， 方向為逆時針方向 解：記閉曲線所圍成的區(qū)域為D，當時，有 ， . (1).當時，由格林公式得 (2).當時，以原點為心、以適當小的作位于D內(nèi)的圓周.記和所圍成的閉區(qū)域為 對復連通區(qū)域應用格林公式，有從而有 ，即 ,其中的方向為逆時針方向. 設的參數(shù)方程為，參數(shù)從到，于是 . 二、平面上曲線積分與路徑無關的條件 定理2.若函數(shù)、在單連通區(qū)域 互等價： (1).沿區(qū)域內(nèi)任意光滑或逐段光滑閉曲線，有

12、(2).曲線積分與路徑無關，只與位于內(nèi)的起點和終點有關 (3).在內(nèi)存在一個函數(shù),它的全微分為，即. (4).對內(nèi)任意一點 . 注：已知，則可按如下公式求出： 或 推導：由于 與路徑無關， 取，有 取，有 例5 在右半平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù). 解：令， 有 ，從而 是某一函數(shù)的全微分，且曲線積分 與路徑無關.取積分路徑如圖，則 . 例6.驗證：在整個面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù). 解：令， 有 ，從而在整個平面內(nèi) 是某一函數(shù)的全微分 求法(一)：由于曲線積分與路徑無關.取積分路徑如圖，則 . 求法(二)：因為滿足 ，從而有，其中是的待 ，又已知面，故，

13、即，于是， . 第四節(jié) 對面積的曲面積分 一、對面積的曲面積分的相關概念 1.引例：曲面形構件的質(zhì)量 假設曲面形構件在空間所處的位置是一張有界光滑曲面上，其上任一點的面密度為，求這曲面形構件的質(zhì)量 (1). 大化?。簩⑶嫫我夥殖蓚€小曲面塊，第個小曲面塊 ，則 (2). 常代變：記小曲面塊的面積為，在小曲面塊上任取一點，則有 ， (3). 近似和： (4). 取極限：令為個小曲面塊的長度的最大值，有 抽去這個確定和式極限的具體意義，就得到了數(shù)學上的對面積的曲面積分 2.光滑曲面：若曲面上各點處都有切平面，且當點在曲面上連續(xù)移動時， 動，則稱為光滑曲面 3.對面積的曲面積分的定義：設函數(shù)在空間

14、光滑曲面上有界，把任意分成塊小曲面，也記是第塊小曲面塊的面積，在上任取一點，作乘積，有和式，記為 限總存在，則稱此極限值為函數(shù)在曲面 或第一類曲面積分，記作，其中 叫做積分曲面 注： 1.若在光滑曲面上連續(xù)，則曲面積分存在 2.對面積的曲面積分與積分曲面的方向無關，因為總為正數(shù). 3.對面積的曲面積分的物理意義：物質(zhì)曲面的質(zhì)量 二、對面積的曲面積分的性質(zhì) 1.線性性質(zhì)：設為常數(shù)，則 . 2.積分曲面的可加性：若分片光滑曲面分成兩片光滑曲面和，則 . 三、對面積的曲面積分的計算 定理：設光滑曲面：在面上的投影區(qū)域為，且函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，若函數(shù)在上連續(xù)，則對面積的曲面積分 且 注：若的方

15、程為，則 若的方程為，則 例1.計算 ，其中是球面被平面截出的頂部. 解：的方程為，在面上的投影區(qū)域Dxy為 圓域：，又 ，于是 ， 設，則Dxy：，故 . 例2.計算，其中是由平面及 界曲面 解：設，則，于是 ， 由于在、以及上被積函數(shù)，故 面上的投影區(qū)域為： ，在的方程為： ，于是 且 . 第五節(jié) 對坐標的曲面積分 一、有向曲面的相關概念 1.雙側(cè)曲面：在光滑曲面上任取一點，過點的法線有兩個方向，選定一個方向為正向，當動點在曲面上連續(xù)變動時，法線也連續(xù)變動.若動點從出發(fā)沿著曲面上任意一條不越過曲面邊界的封閉曲線又回到時，法線的正向與出發(fā)時的正向相同，則稱為雙側(cè)曲面，否則稱為單側(cè)曲面 注：單

16、側(cè)曲面的典型例子：莫比烏斯帶 2.有向曲面：稱曲面的法向量指向的一側(cè)為曲面取定的側(cè)，稱取定側(cè)的曲面為有向曲面. 3.方向不同的曲面在坐標面上的投影面積 在有向曲面上任取一小塊曲面，在面上的投影區(qū)域的面積為 上各點處的法向量與z軸的方向余弦不變號.規(guī)定在面上的投影 注：規(guī)定曲面的上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)為正側(cè). 二、 對坐標的曲面積分的相關概念 1.引例: 穩(wěn)定流體通過曲面一側(cè)的流量 設穩(wěn)定流動且不可壓縮的流體(假定密度為1)的流速場為 ， 求在單位時是流速場中的一片曲面. 函數(shù)、以及在上連續(xù)，間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量，即流量 (1).簡單情形：是以平面區(qū)域，面積為，流體在上各點的流速為常向量 設為的

17、單位法向量，則在單位時間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個底面積為、斜高為的斜柱體 當時，斜柱體的體積為，從而通過流向 流量為 當時，顯然通過流向所指一側(cè)的流量為，即 當時，有，仍稱之為流體通過流向 它是流體通過閉區(qū)域流向所指一側(cè)的流量 因此，無論為何值，流體通過流向所指一側(cè)的流量均為 (2). 一般情形：流體在空間光滑曲面上各點的流速是變化的. 大化?。簩⑶嫫我夥殖蓚€小曲面塊， 也記第個小曲面塊的面積為 常代變：記小曲面塊的面積為，在小曲面塊上任取 一點，用該點處的流速 代替上其它各點處的流速，以曲面在該點處的單位法向 代替上其它各點處的單位法向量，從而得到通過流向指定側(cè)的流量為 (3). 近

18、似和： (4). 取極限：令為個小曲面塊的直徑的最大值，有 抽去這個確定和式極限的具體意義，就得到了數(shù)學上的對坐標的曲面積分 2. 對坐標的曲面積分的定義：設函數(shù)、以及在有向光滑曲面上有界，把任意分成個塊小曲面塊，也記第個小曲面塊的面積為. 在面上的投影為；在面上的投影為；在面上的投影為 在小曲面塊上任取一點，作乘積、 ，有和式、 當個塊小曲面塊的直徑最大值時， (1). 若極限總存在，則稱此極限值為在有向曲面 標、z的曲面積分，記作 (2). 若極限總存在，則稱此極限值為在有向曲面 標z、的曲面積分，記作 (3). 若極限總存在，則稱此極限值為在有向曲面 標、的曲面積分，記作 其中、以及叫做

19、被積函數(shù)，叫做積分曲面. 以上三個積分也稱為第二類曲面積分，有時也寫成 ， 注： 1.若、以及在有向光滑曲面上連續(xù)，則曲面積分 、 都存在 2. 對坐標的曲面積分的物理意義：流過有向曲面的流體的流量： 三、對坐標的曲面積分的性質(zhì) 1.對積分曲面的可加性：若有向光滑曲面可以分成兩片光滑的有向曲線弧和，則 2.積分曲面的方向性：記表示的反向曲面，則 . 四、對坐標的曲面積分的計算：化曲線積分為定積分 定理：設有向光滑曲面：在面上投影區(qū)域為，且函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，若函數(shù)在上連續(xù)，則對坐標的曲面積分 在，且，其中由曲面的正側(cè)外法線與z 向余弦的符號決定，時取號，時取號 注：若的方程為，則 若的

20、方程為，則 五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系： 設有向光滑曲面：在面上投影區(qū)域為Dxy，且函數(shù)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，若函數(shù)在上連續(xù)，則兩類曲面積分之間的聯(lián)系為： ， 同理也有， 其中、為有向曲面上點處法向量的方向余弦，因此兩類曲面積分之間的聯(lián)系為： . 推導：由對坐標的曲面積分的計算公式，有 曲面的法向量的方向有向為 ， ， 由第一類曲面積分的計算公式，有 ， 從而 同理可證 ， 于是 例1.計算曲面積分，其中是長方體 . 解：把有向曲面分為如下六部分： 的上側(cè)；的下側(cè)； 的前側(cè)；的后側(cè)； 的右側(cè)；的左側(cè) 先計算：除了、在面上的投影為外， 在面上的投影為零，因此 ， 同理可得，于是 . 例2

21、.計算曲面積分，其中是球面外側(cè)在的部分 解：把分成兩部分和兩部分，其中 的上側(cè)； 的下側(cè) 且和在面上的投影區(qū)域都是 從而 ， 設，則 ，于是 ， 令，則，當時，；時， 從而 例3.計算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面： 及之間的部分的下側(cè) 解：由兩類曲面積分之間的聯(lián)系，有 . 在曲面上，有，故 又由于在面上的投影區(qū)域為，于是 ， 設，則，于是 . 第六節(jié) 高斯公式 引入：前面我們學習了格林公式，知道通過格林公式可以將平面有界閉區(qū)域上的二重積分與其邊界上的曲線積分聯(lián)系起來，作為格林公式得推廣，下面介紹高斯公式(也叫奧高公式，全稱奧斯特洛夫斯基高斯公式)，通過高斯公式，可以將空間有界閉區(qū)域上的三重積分與

22、其邊界閉曲面上的曲面積分聯(lián)系起來. 一、高斯公式 、定理：設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成，若函數(shù) 在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有， 或 其中是的外側(cè)曲面，是上點處的法向量的方向余弦. 注：若，則閉曲面所圍成的閉區(qū)域的體積 . 例1.利用高斯公式計算曲面積分，其中為柱面 面、所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè). 解：由， ，由高斯公式得 ， ， 設，則，于是 . 例2. 利用高斯公式計算曲面積 ，其中為錐面 介于平面、之間部分的下側(cè)，是上點處的法向量的方向余弦 解：設為平面的上側(cè)，則和一起構成一個封閉曲面，圍成區(qū)域. ，其中，有 ，. ， 由高斯公式， .在面上的投影區(qū) 域為，從而有 ， 由于 ，再設，則. . 而 ， 于是 二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 1.空間二維單連通區(qū)域 :若空間區(qū)域內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于，則稱為空間二維單連通域 空間一維單連通區(qū)域 :若空間區(qū)域內(nèi)任一閉曲線總可以張成一片全屬于的曲面， 為空間一維單連通域 注：球面所圍區(qū)域既是一維也是二