非歐幾何的發(fā)現(xiàn)---三角形內(nèi)角和一定等于180°嗎

1、三角形內(nèi)角和一定等于 180°嗎？非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)假如有人問你： “三角形內(nèi)角和等于多少？”你肯定會(huì)不假思索地告訴他：“180°！”假如那個(gè)人說不是 180°，那么你可能會(huì)認(rèn)為他無知。其實(shí)，“三角形內(nèi)角和等于 180°”只是歐幾里得幾何學(xué)中的一個(gè)定理。也就是說， 在歐幾里得幾何學(xué)里，一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，但如果不是在歐幾里得幾何學(xué)這個(gè)范圍內(nèi)，一個(gè)三角形的內(nèi)角和就不一定等于180°！例如，赤道、0度經(jīng)線和 90 度經(jīng)線相交構(gòu)成一個(gè)“三角形”，這個(gè)“三角形”的三個(gè)角都應(yīng)該是90°，它們的和就是 270°！你感

2、到奇怪嗎？你知道除了歐幾里得幾何（歐氏幾何）學(xué)外，還有其他幾何學(xué)嗎？這些幾 何學(xué)稱為非歐（歐幾里得）幾何學(xué)。第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)是羅氏（羅巴切夫斯基）幾何學(xué)。長期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)歐幾里得幾何原本的第五公設(shè)“若一直線與兩直線相交， 且同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)”（現(xiàn)在幾 何書上的平行公理就是由此而來）和前四個(gè)公設(shè)比較起來，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L，而且也不 那么顯而易見。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在幾何原本一書中直到第二十九個(gè)命題中才用到第 五公設(shè)，而且以后再也沒有使用。也就是說，在幾何原本中可以不依靠第五公設(shè)而推 出前二十八個(gè)命題。因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第

3、五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四 個(gè)公設(shè)來證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平 行線理論”的討論。由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走得對不對？第 五公設(shè)到底能不能證明？到了十九世紀(jì)20年代，俄國喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過程中走了 另一條路。他提出了一個(gè)和歐氏平行公理相矛盾的命題“過直線外一點(diǎn)，至少可以作兩條 直線和已知直線不相交”，用它來代替第五公設(shè)，然后與歐氏幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一 個(gè)公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于 證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就

4、是數(shù)學(xué)中的反證法。但是，在他極為細(xì)致深入的推理過程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺上匪夷所思，但在 邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論：第一，第五公設(shè)不能被證明。第二，在新的公理系統(tǒng)中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定 理，并形成了新的理論體系。這個(gè)理論體系像歐氏幾何學(xué)的理論體系一樣是完善的、嚴(yán)密 的。這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何學(xué)，簡稱羅氏幾何學(xué)。羅氏幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐氏幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐氏幾何學(xué)平行公理“過直 線外一點(diǎn)，能并且只能作一條直線平行于已知直線”用“過直線外一點(diǎn)，至少可以作兩條 直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平

5、行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻 引出了一連串和歐氏幾何學(xué)內(nèi)容不同的新的幾何命題。凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐氏幾何學(xué)中如果是正確的，在羅氏幾何學(xué)中 也同樣是正確的。在歐氏幾何學(xué)中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何學(xué)中都不成立, 他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個(gè)例子加以說明：歐氏幾何羅氏幾何同一直線的垂線和斜線相交。垂直于冋一直線的兩條直線互相平行。存在相似的多邊形。過不在同一直線上的三點(diǎn)可以作且只能 作一個(gè)圓。冋一直線的垂線和斜線不一定相交。垂直于冋一直線的兩條直線， 當(dāng)兩端 延長的時(shí)候，離散到無窮。不存在相似的多邊形。過不在冋一直線上的三點(diǎn)， 不一疋能 作一個(gè)圓。從上面所列舉的羅氏

6、幾何學(xué)的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象 有矛盾。所以羅氏幾何學(xué)中的一些幾何事實(shí)沒有歐氏幾何學(xué)那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué) 家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐氏幾何學(xué)中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來解釋羅 氏幾何學(xué)是正確的。1868 年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明 非歐幾何學(xué)可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何學(xué) 命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何學(xué)命題，如果歐幾里得幾何學(xué)沒有矛盾，非歐幾 何學(xué)也就自然沒有矛盾。人們既然承認(rèn)歐幾里得幾何學(xué)是沒有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何學(xué)沒有矛盾 了。直到這時(shí)，長期無人問津的

7、非歐幾何學(xué)才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅 巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊 譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié) 論：邏輯上互相不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第 五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過程中遭到了家庭、社會(huì) 的冷漠對待。他的父親一一數(shù)學(xué)家鮑耶法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力、勞而無 功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶雅諾什堅(jiān)持為發(fā)現(xiàn)新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于 在

8、 1832 年，在他父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了他的研究結(jié)果。那個(gè)時(shí)代被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何 學(xué)。但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究 成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯 基、鮑耶他們的新理論。歐氏幾何學(xué)與羅氏幾何學(xué)中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同 的，只是平行公理不一樣。歐氏幾何學(xué)講“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何學(xué)講“過直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何學(xué)“過直線外一點(diǎn)，不能作直線和

9、已知直線平行”？黎曼幾何學(xué)就回答了 這個(gè)問題。黎曼幾何學(xué)是德國數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。 他在 1851 年所著的一篇論文論幾何學(xué)作為基 礎(chǔ)的假設(shè)中明確地提出另一種幾何學(xué)的存在，開創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。黎曼幾何學(xué)中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)（交點(diǎn)）。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)是：直線可以無限延長，但總的長度 是有限的。黎曼幾何學(xué)的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。近代黎曼幾何學(xué)在廣義相對論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛因斯坦的廣義相對 論中的空間幾何就是黎曼幾何。 在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念， 他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空

10、間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。 在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何學(xué)的觀念是相似的。此外，黎曼幾何學(xué)在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)，也應(yīng) 用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。非歐幾何學(xué)是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面 的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾里得幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何學(xué)只 是指羅氏幾何學(xué)，至于通常意義的非歐幾何學(xué)，就是指羅氏幾何學(xué)和黎曼幾何學(xué)這兩種幾 何學(xué)。歐氏幾何學(xué)、羅氏幾何學(xué)、黎曼幾何學(xué)是三種各有區(qū)別的幾何學(xué)。這三種幾何學(xué)各自 所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和

11、諧性、完備性和獨(dú)立性。因 此這三種幾何學(xué)都是正確的。在我們的日常生活中，歐氏幾何學(xué)是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何 學(xué)更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題時(shí)，黎曼幾何學(xué)更準(zhǔn)確一些。附錄】、【羅巴切夫斯基簡介】羅巴切夫斯基（ 1792 年1856 年）俄國數(shù)學(xué)家，出生于俄國下諾夫哥羅德城的一個(gè)小 職員家庭。非歐幾里得幾何學(xué)創(chuàng)始人之一。 1807 年入喀山大學(xué)學(xué)習(xí)， 1811 年獲碩士學(xué)位并 留校工作， 1822 年任該校教授，還曾任物理數(shù)學(xué)系主任、喀山大學(xué)校長等職。他改變了 歐幾里得幾何學(xué)中的平行公理，提出一種新的幾何學(xué)，稱為 “雙曲幾何學(xué)”或“羅巴切夫 斯基幾何學(xué)”。著有虛幾何學(xué) 、平行線理論的幾何研究等。他生前并沒有得到他的當(dāng) 代人的贊賞，相反遭到嘲弄，直到他去世后，由于高斯對他的學(xué)說予以肯定，他的思想才 得到普遍的理解和承認(rèn)。 1893 年，喀山大學(xué)為這位數(shù)學(xué)偉人豎起了紀(jì)念像。二、【黎曼簡介】喬治弗里德里希伯恩哈德黎曼（1826年一18