2021年第4屆ZG東南數(shù)學(xué)奧林匹克試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

1、20XX年第4屆ZG東南數(shù)學(xué)奧林匹克試題及標(biāo)準(zhǔn)答案第四屆ZG東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克第一天（2007年7月27日，8:00-12:00,XX鎮(zhèn)海）一、試求實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù),使得對(duì)于每個(gè),關(guān)于x的三次方程31xx=+都有滿足1000x的偶數(shù)根。二、如圖，設(shè)C、D是以O(shè)為圓心、AB為直徑的半圓上的任意兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作O的切線交直線CD交于P，直線PO與直線C、AD分別交于點(diǎn)E、F。證明：OE=OF。三、設(shè)*miniikkNk?=+6?,試求田2212nnS?=+?的值,其中2,nxn表示不超過x的最大整數(shù)。4、 求最小的正整數(shù)n，使得對(duì)于滿足條件120XXnii=匯的任一具有n項(xiàng)的正整數(shù)數(shù)列12,n,其中必有

2、連續(xù)的若干項(xiàng)之和等于30o第二天(2007年7月28日，8:00-12:00,XX鎮(zhèn)海)5、 設(shè)函數(shù)()fx滿足:()()121fxfxx+-=+(xR6),且當(dāng)0,1x6時(shí)有()1fx0證明：當(dāng)xR6時(shí)，有()22fxx<+o六、如圖，直角三角形BC中，D是斜邊B的中點(diǎn)，MBBMD交AC于N;MC的延長(zhǎng)線交B于E證明：DBNBCE/=/。七、試求滿足下列條件的三元數(shù)組(,b,c):(i)vb<c<100,a、b、c為質(zhì)數(shù)；(ii)+1、b+1、c+1組成等比數(shù)列。八、設(shè)正實(shí)數(shù)、b、c滿足：abc=1,求證:對(duì)于整數(shù)2k蕓有32kkkbcbbcc+>+F答案1、 令02

3、xn=,n為整數(shù)，且1211000n<,即11499n所以至多取24991999?+=個(gè)數(shù)，即499,498,0,1,499n6-,。將02xn=代入原方程得38121nn-=+。記381()21nfnn-=+,對(duì)任意的12,499,498,0,1,499nn6-,，當(dāng)12nn豐(12,nnZ6)時(shí)，若12()()fnfn=,設(shè)1212,22xxnn=,其中12,xx是關(guān)于x的方程310xx-=的兩個(gè)根，設(shè)另一根為3x,由根與系數(shù)的關(guān)系312122331123()1xxxxxxxxxxxx=-+?+=-?=+?即12481NN=-?=+?(其中221121221212(),()Nnnnn

4、Nnnnn=-+=-+)即12481NN+=，矛盾！所以，對(duì)于不同的12,499,498,0,1,499nn6-,，都有12()()fnfnw,于是滿足條件的實(shí)數(shù)恰有999個(gè)。另解】對(duì)任意|998x<,x為偶數(shù)，31xx-=+的取值都各不相同。反證，若存在12xx半，使得3312121111xxxx-=+,其中12,xx為偶數(shù)，則22221212121212()(1)0xxxxxxxxxx-+=由于12xx片,則120xx-片，又因?yàn)?22212121212xxxxxxxx+為偶數(shù)，所以22221212121212()(1)0xxxxxxxxxx-+w,矛盾。因此滿足條件的共有999個(gè)。2、 如圖，作OMCD，于M,作MND,設(shè),MNBNCNDK=，連BC、BM,則NBCDCNMC/=/=/,因此N、B、M、C共圓;又由O、B、P、M共圓,得1800PMOBMMCN/