平面向量的坐標表示與運算習題集課

1、第25-26課時教學題目：平面向量的坐標表示及其運算習題課教學目標：1、掌握平面向量的坐標表示；2、會進行向量線性運算的坐標表示；3、掌握向量共線的充要條件教學內容：1、平面向量的坐標表示；2、向量線性運算的坐標表示;3、向量共線的充要條件教學重點：1、向量線性運算的坐標表示;2、向量共線的充要條件.教學難點：1、向量線性運算的坐標表示;2、向量共線的充要條件.教學方法：講授法、練習法.教學過程：一、知識點梳理：一、平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系內,分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,對任一向量a,由平面向量根本定理知,有且只有一對實數(shù)(x,y),使得a=xi+yj

2、,那么實數(shù)對x,y叫做向量a的直角坐標簡稱坐標,記作a=x,y,其中x和y分別稱為向量a的x軸上的坐標與y軸上的坐標,而a=x,y稱為向量的坐標表示1、相等的向量其坐標相同.同樣,坐標相同的向量是相等的向量2、顯然：i=1,0,j=0,1,0=0,0.二、1、向量線性運算的坐標表示、共線向量的坐標表示一一平面向量的坐標運算:兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差：a±b=(xi±x2,y1土y2)(其中a=(xi,y)、b=(x2,y2).2、一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標:如果A(x1,yi)、B(x2,y2),那么AB=

3、(x2.丫2yi).3實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標:假設a=(x,y),那么兒a=(x1,y1).3、向量平行(向量共線)的坐標表示：_*3_*彳4向量a、b(b00),那么a/b的充要條件為存在實數(shù)入,使a=Kb.,TIdT,、一,八如果a=(x,y),b=咨,y2)(b#0)那么a/b的充要條件為：xy2x2%=0.注：1、平面向量的坐標表示,實際是向量的代數(shù)表示,引入向量的坐標表示以后,可以使向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密地結合起來,這樣很多的幾何問題的證實,就可以轉化為學生熟悉的數(shù)量的運算.2、兩個向量相加減,是這兩個向量的對應坐標相加減,這個結論可以推廣到

4、有限個向量相加減.3、向量a的坐標與表示該向量的有向線段的起始點的具體位置沒有關系,只與其相對位置有關系,即兩個向量不管它們的起始點坐標是否相同,只要這兩個向量的坐標相同,那么它們就是相等向量.(兩個向量如果是相等的,那么它們的坐標也應該是相同的)4、向量AB的坐標是終點的坐標減去始點的對應坐標,而不是始點的坐標減去終點的坐標.II5、實數(shù)入與向量a的積的運算時,入應與a的相應坐標相乘,以下的結論都是錯誤的.4設九wR,a=(x,y),一a=九(x,y)=(九x,y)或九a=九(x,y)=(x,Ay)二、典型例題講解例1、假設向量a=(x+3,x2-3x-4)與AB相等,其中A(1,2),B(

5、3,2),那么x=.解：A(1,2),B(3,2網有AB=(2,0).T-.又a=AB=AB,它們的坐標一定相同,2x+3=2,x3x4=0,由、得：x=1.y+3I,假設2a=3b,16例2、a=(3x+4y,2xy),b=2x-3y+1,-3x+一9試求x與y的值.分析：這里可以根據(jù)條件2a=3b建立關于x,y的方程組,通過解方程組即可求得x與y的值.-T八.一.八一,一16一/解：a=(3x+4y,2x-y),b=2x3y+1,3x+y+31且22=31392(3x+4y,-2x-y)=3'2x-3y+1,x+y+3I9J6x8y,-4x-2y=6x-9y3,-9x16y916一

6、,6x+8y=6x9y+3,一4x2y=9x+y+9,由、得:335x=一,y=一1717=3b44-i4說明：這里的題設條件2a=3b,其實它反響了向量a,b同向,并且2aa=31b,所以a,b的坐標應成比例,即a的橫、縱坐標分別與b的橫縱坐標之比相22例3、平行四邊形三個頂點是解：如圖,設OA=(3,-2),QB=(5,2),QC=(-1,4),QD=(x,y),依題意,AB=DC或AC=DB或AB=CD.TTTTTT(1)由AB=DC,可得：OB-OA=OC-QD即5,2-3,-2rJ-1,4-x,y=2,4：=廣1-x,4-y-1-x=2,4-y=4,x=-3,y=0.D-3,0.(2

7、)由AC=DB可得：(T,4)(3,2)=(4,6)=(5x,2y),5x=-4,2-y=6,x=9,y=-4,D(9,-4).(3)由AB=CD可得：(5,2)(3,2)=(2,4)=(x+1,y4),x+1=2,y-4=4,.x=1,y=8,D(1,8).點D的坐標為(3,0)或(9,力或(1,8).例4、a=10,b=(3,-4),且a/b,求a.解：設a=(x,y),那么根據(jù)題意有：x2+y2=102=100,Hx3y=0由、得：x=6,y=-8或x=-6,y=8a-J6,-8或a=6,8.44例5、a=(3,2),b=(2,1),c=(7,Y),用a,b表示c.丘、JL*解：設c=m

8、a+nb,即(7,Y)=m(3,-2)+n(2,1).L3m-2n=7W-2mn-4444c=a-2b.解得:m=1n=-2例6、如果A(1,2),B(4,m),C(2,m1)在一直線上,試求m的值(標準指導)師生分析：三點共線與兩向量平行間的關系是解決此題的關鍵解：由可知AB=3,m2,AC=-3,m1二三點共線AB=*uAC即：3,m2；=%：-3,m1if3','(m1)3=-3-于是有：im2=1(m1),3一3解得:1,m二一一,所以有：m=一一22三、學生練習(一)、選擇題1、向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kwR),d=a-b,如果cd那么()A

9、. k=1且c與d同向B. k=1且c與d反向C.k=1且c與d同向d.k=1且c與d反向2、向量a=(1,1),b=(2,x)假設a+b與4b-2a平行,那么實數(shù)x的值是(A. -2B. 0C. 13、假設向量A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b4、a=(1,2),b=r2),當ka+b與a3b平行,k為何值(-1,1),c=(4,2),貝Uc=(5、向量1D.-31A.一4a=(1-sin8,1),b=(1,1+sin0),假設3b,那么銳角8等于()2A.30°(二)、填空題:B.45C.60D.751、設向量AB=(2,3),且點A的坐標為(1,2),那么點B的

10、坐標為_44_WrJ,L2、假設a=(2,1),b=(3,4)貝U3a+4b的坐標為.3、設平面向量a=(3,5),b=(2,1),那么a-2b=.4444444、向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),假設(ac)/b,那么k=.5、假設平面向量a,b滿足a+b=1,2+b平行于x軸,:=(2,-1),那么2=6、向重a=(1,sin6),b=(1,J3cos日),那么ab的取大值為.(三)、解做題441、a=(1,0),b=(2,1),求：+3b'當k為何實數(shù)時,ka-b與a+3b平行,平行時它們是同向還是反向2、A(2,4)、B(3,1)、C(-3-4)且CM=3CA

11、,CN=2CB,求點M、N的坐標及向量MN的坐標.3、點A(T,1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB與CD平行嗎直線AB平行與直線與嗎t(yī)解：:AB=(1(-1),311)口2,4),CD=(2-1,75)=(1,2),又41乂4=0,AB/CD；又AC=(1-(T),5(T)=(2,6),AB=(2,4),2M4-2父6=0,AC與AB不平行,A、B、C不共線,AB與CD不重合,所以,直線AB與CD平行.四、課堂小結1、平面向量的坐標表示；2、向量線性運算的坐標表示；3、向量共線的充要條件.五、作業(yè)布置(一)、填空題1、a=(x2,3),b=(1,y+2),假設a=b,那么x=,y=2、假設A(0,1),B(1,2),C(3,4)那么AB-2BC=.3、兩個向量a=(1,2b=(x,1),假設a"b,那么x=.4、在平面直角坐標系xoy中,四邊形ABCD的邊AB/DC,AD/BC,點A(-2,0),B(6,8),C(