第九章機(jī)械振動(dòng)課件給學(xué)生

1、基本知識(shí)點(diǎn)1、箭諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：)cos(tAx法和振動(dòng)曲線表示。簡(jiǎn)諧振動(dòng)可用旋轉(zhuǎn)矢量?。ㄈQ于初始時(shí)刻的選初相位的性質(zhì)）（取決于振動(dòng)系統(tǒng)本身角頻率（取決于振動(dòng)的能量）振幅個(gè)基本特征量：A3)arctan(,0022020 xxA初相由初始條件確定振幅和2、振動(dòng)相位：時(shí)刻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的狀態(tài)。它決定了。tt )(3、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程：02 xx4、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量22222222222412121)(cos2121)(sin2121AmEEEAmEtkAkxEtAmmEpkpk平均能量：總能量：勢(shì)能：動(dòng)能：5、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成*（1）兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：合振動(dòng)仍為同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合振動(dòng)的振幅取決于

2、兩個(gè)分振動(dòng)的振幅和初相差，)cos(212212221AAAAA（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：當(dāng)兩振動(dòng)頻率很大，頻率差很小時(shí)，產(chǎn)生拍的現(xiàn)象，拍頻為12（3）的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：若兩分振動(dòng)的，則合運(yùn)動(dòng)軌跡為，若兩分振動(dòng)頻率為時(shí)，合運(yùn)動(dòng)軌跡為。 例：例：P37頁(yè)1-5選擇題答案：答案：B；D；B；C；D例例1已知一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅已知一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅A=2cm，角頻，角頻率率 ，以余弦函數(shù)表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)的初相，以余弦函數(shù)表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)的初相 試畫出位移和時(shí)間的關(guān)系曲線試畫出位移和時(shí)間的關(guān)系曲線（振動(dòng)曲線）（振動(dòng)曲線）1 4s21)24cos(02.0tx0.020.020.250.5T(s)X(m)本題

3、3分例例2,一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)，振子質(zhì)量一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)，振子質(zhì)量為為2kg，系統(tǒng)振動(dòng)頻率為，系統(tǒng)振動(dòng)頻率為1000Hz，振幅為，振幅為0.5cm，則其振動(dòng)能量為，則其振動(dòng)能量為 。JAmE222109 . 9212例例3，在一豎直輕彈簧的下端懸掛一小球，彈簧，在一豎直輕彈簧的下端懸掛一小球，彈簧被拉長(zhǎng)被拉長(zhǎng) 而平衡。再經(jīng)拉動(dòng)后，該小球在而平衡。再經(jīng)拉動(dòng)后，該小球在豎直方向作振幅為豎直方向作振幅為A=2cm的振動(dòng)，試證明此振的振動(dòng)，試證明此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；選小球在正最大位移處開始計(jì)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；選小球在正最大位移處開始計(jì)時(shí)，寫出此振動(dòng)的數(shù)值表達(dá)式（時(shí)，寫出此振動(dòng)的數(shù)值表達(dá)式（09）c

4、ml2 . 10Ox平衡位置0l原長(zhǎng)x零點(diǎn)00/,lmgkklmg解：如圖建立坐標(biāo)小球在x處時(shí)，據(jù)牛頓第二定律xlgdtxddtxdmkxxlkmg022220)(Ox平衡位置0l原長(zhǎng)x零點(diǎn)小球在x處時(shí)，據(jù)牛頓第二定律xlgdtxddtxdmkxxlkmg022220)(所以此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其角頻率為：1 . 958.280lg據(jù)題意：)1 . 9cos(1020,10222txmA例例4.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點(diǎn)由初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到：試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點(diǎn)由初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到： 的狀態(tài)所需最短時(shí)間的狀態(tài)所需最短時(shí)間 (SI) )32cos(

5、24. 0tx0 ,12. 0mx提示提示:只要確定始末二態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量只要確定始末二態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量st322/3/xo0t3332解解:例例5，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為A，在起始，在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為負(fù)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為負(fù)A/2，且向，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，軸正方向運(yùn)動(dòng)，代表此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為：代表此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為：(若在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為若在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為A/2？）？）（A）（B）（D）（C）A/2xoA-A/2xoAA/2xoA-A/2xoA答：D（B）例例6，在一豎直輕彈簧的下端懸掛一，在一豎直輕彈簧的下端懸掛一m0=100g 法碼時(shí)，法碼

6、時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)彈簧伸長(zhǎng)8cm?，F(xiàn)在這根彈簧下端懸掛?，F(xiàn)在這根彈簧下端懸掛 m=250g的物體，的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動(dòng)構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給，并給以向上以向上21cm/s的初速度的初速度(令這時(shí)令這時(shí)t=0)。選。選x軸向下，求此軸向下，求此振動(dòng)方程的表達(dá)式。振動(dòng)方程的表達(dá)式。Ox0l分析：此題未知振幅A，卻給出了初始時(shí)刻的速度Ox0l1725.0/25.12/25.1208.08.91.0/smkmNlmgk解：據(jù)初始條件得： 注意此題有具體的速度數(shù)值！注意此題有具體的速度數(shù)值！radxtgcmxA64.04/3)74/()21()/(5)72

7、1(4/002222020所以振動(dòng)方程為)( )64. 07cos(05. 0SItx例7、一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，A=4cm，T=2s，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，若t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)x=-2cm處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)第二次通過(guò)x=-2cm處的時(shí)刻為：(A)1s. (B)(2/3)s(C)(4/3)s. (D)2sst32)3/2(例8、有兩相同的彈簧，其勁度系數(shù)均為k，（1）把它們串聯(lián)起來(lái)，下面掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，此系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為？（2）把它們并聯(lián)起來(lái)，下面掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，此系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為？,22 ,22kmkm例例9、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為0.20kg的質(zhì)點(diǎn)

8、作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為：為：求求（1）質(zhì)點(diǎn)的初速度）質(zhì)點(diǎn)的初速度；（2）質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移一半處所受的力。）質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移一半處所受的力。(SI) )25cos(6 . 0tx解：NFAxxmdtxdmmaFsmtdtdx5 . 12)2(/0 . 3(SI) )25sin(0 . 3220例10、一質(zhì)量m=0.25kg，在彈簧的力作用下沿x軸運(yùn)動(dòng)，平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧的勁度系數(shù)k=25N/m，求：（1）振動(dòng)的周期和角頻率（2）若振幅A=15cm，t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=7.5m處，且物體沿x軸反向運(yùn)動(dòng)，求初速和初相（3）寫出振動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：)310cos

9、(15. 0)3()3/sin(/3 . 1)/(, 3/)2(63. 0/2,10/)1(0020201txAsmxAsTsmk或11、如圖兩諧振動(dòng)的曲線，若兩諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相為：(A)3/2. (B)(C)/2. (D)0txA/2A答（B）12、在同一坐標(biāo)上畫出兩諧振動(dòng)的x-t曲線，已知兩個(gè)諧振動(dòng)的方程為：txA/2A)31cos(cos21tAxtAx13、兩物體作同方向、同頻率、同振幅的諧振動(dòng)，在振動(dòng)過(guò)程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng)過(guò)位移為 的位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過(guò)此位置，且向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運(yùn)動(dòng)，試用旋轉(zhuǎn)矢量法求它們的相位差。2/2/A1215-1-7

10、、質(zhì)量為 的滑塊，兩邊分別與倔強(qiáng)系數(shù)為 和 的輕質(zhì)彈簧聯(lián)結(jié)， 點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡位置，將滑塊向左移到 ，自靜止釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)，求按圖所示坐標(biāo)的振動(dòng)方程。mO1K2K0 x0 xm1K2K解：xKKxKxKFx)( 2121，所受合力為：物體離開平衡位置,0 xA由題意易知，02122xmKKdtxdmKK21xKKdtxdm)(2122由牛二律，)cos(210tmKKxx振動(dòng)方程為：思考題：當(dāng)物體經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，有一粘土豎直落到物體上并粘在一起，再求振動(dòng)方程?；蛴媚芰糠椒‥mxKxK22221212121任一時(shí)刻t兩邊對(duì)時(shí)間 求導(dǎo)：t02221dtxdmxKxK02122xmKKdtxdmmmV

11、Vmmm)(,動(dòng)量守恒021221222)()(21)(2)(21xmmmkkmmmAAkkmmmVmmE總能量)cos(21tmmKKAx振動(dòng)方程為：)()(212121020212kkmxxkkmE原0 xm1K2K15-1-8、作簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)方程為 用旋轉(zhuǎn)矢量法求由初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到 狀態(tài)所需最短時(shí)間。)32cos(24. 0tx0,12. 0 xx24. 012. 0330to解：st3223min由旋轉(zhuǎn)矢量圖，此題為此題為07、08年年5分計(jì)算題分計(jì)算題/32t，15-2-2、一系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為 ，初相為零，則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能相等的時(shí)刻是？T解：tAtAxsin cos222121

12、mkx 2421tansin21cos21222222ntTttmAtkA) 12(8nTt15-2-3、一倔強(qiáng)系數(shù)為 ，質(zhì)量為 的豎直懸掛的彈簧振子，以振幅 作諧振動(dòng)，若以彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能（重力和彈性）零點(diǎn)，則物體在平衡位置下方距平衡位置為 處，系統(tǒng)的重力勢(shì)能，彈性勢(shì)能和總勢(shì)能分別為多少？KmAx解：平衡位置0Kxmg Ox平衡位置0 x原長(zhǎng)x零點(diǎn)重力勢(shì)能)( )(0KmgxmgxxmgE重Ox平衡位置0 x原長(zhǎng)x零點(diǎn)彈性勢(shì)能KgmmgxKxKmgxKxxKE221 )(21)(21222220彈總勢(shì)能KgmKxE221222總15-2-5、一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為 當(dāng) 為何值時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能

13、為總能量的一半，質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到此位置所需的最短時(shí)間？ )43cos(100 . 62txx解：22212121kAkxmx21023st75.034xo4415-2-6、一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同頻率同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為)34cos(05. 01tx)64sin(03. 02tx求：合振動(dòng)的振動(dòng)方程。)324cos(03. 0)64sin(03. 02ttx解：Ox由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知)34cos(02. 0tx1A2A315-2-8、一質(zhì)點(diǎn)在 軸上作諧振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過(guò) 點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò) 點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)2秒第二次經(jīng)過(guò) 點(diǎn)，已知質(zhì)點(diǎn)在 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 （1

14、）寫出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程（2）在 點(diǎn)的速率（3）在 點(diǎn)的加速度 xAcmAB10BA、BBAABAo解：（1）4cmA2543)434cos(25tx4x12221093. 3)22(41025)434sin(41025smt（2）（3）2222221008. 3)22()4(1025)434cos()4(1025smta思考：第一次經(jīng)過(guò) 點(diǎn)的速度、加速度B0t2t0t)2cos(2tAy振波-17、兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率，同振幅的振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng)過(guò)位移為 的位置且向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過(guò)此位置但遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)。2A（1）用旋轉(zhuǎn)矢量法求它們的相差（2）若質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)方

15、程為 ，求質(zhì)點(diǎn)2的運(yùn)動(dòng)方程)cos(1tAy（3）若上述條件改為：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩種振動(dòng)，求合振幅A解：（1）xO1424221（2）（3）xO1424AA2)cos(212212221AAAAA15-2-9、一單擺的懸線長(zhǎng)為 ，在距頂端固定點(diǎn)的鉛直下方 處有一小釘，設(shè)整個(gè)系統(tǒng)無(wú)損失，當(dāng)單擺在左方仍作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，左右兩邊振幅分別為 和 ，證明：1A2A012LLLAA0LL0L證明：2222121AlgmAmE因無(wú)能量損失222102121ALgmALLgm012LLLAAL例 、 質(zhì)量為 的比重計(jì)浮在密度為 的液體中，比重計(jì)圓管橫截面積為 ，證明此比重計(jì)在豎直方向的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求周期。

16、（略去阻力和水面的起伏）mSOx解： 平衡時(shí)，gVmg壓下距離xgSxxSVgmgF)(xmgSdtxd22gSmT2例題例題1 1結(jié)論：是簡(jiǎn)諧振動(dòng)0t1 . 005. 0060例 、振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的 曲線如圖所示，求（1）運(yùn)動(dòng)方程；（2）點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的相位；（3）到達(dá) 點(diǎn)相應(yīng)位置所需要的時(shí)間。txPP關(guān)鍵在于確定 ，mx005. 010. 00 . 4stP解：4t（一）旋轉(zhuǎn)矢量法OxP一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述/ /例題例題(1) 由旋轉(zhuǎn)矢量圖易知:1 . 0A3245,234)3245cos(1 .0tx(2)0p(3)st6 . 12453利用旋轉(zhuǎn)矢量法，可以很簡(jiǎn)便地確定一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述/ /例題例題（二）解析法（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為：)cos(10. 0txmxt05. 00 時(shí)，5 . 0cos30 )sin(10.