等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的幾種推導(dǎo)方法

1、賞析等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的幾種推導(dǎo)方法(省萊州五中261423 )等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是學(xué)習(xí)等比數(shù)列知識(shí)中的重點(diǎn)容之一，其公式：當(dāng)q 1時(shí)，snai(1或Sn 旦刎1 q1 q當(dāng) q=1 時(shí)，Sn na1本身不僅蘊(yùn)涵著分類討論的數(shù)學(xué)思想，而且用以推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法-錯(cuò)位相減法，更是在歷年高考題目中頻繁出現(xiàn)。本文變換視野、轉(zhuǎn)換思維，從不同的角度加以推導(dǎo)，以加深對(duì)公式的理解與應(yīng)用，希望能起到拋磚引玉的效果。一般地，設(shè)等比數(shù)列 ai,a2,氏,-an它的前n項(xiàng)和是Sn a1a2a3an公式的推導(dǎo)方法一:當(dāng)q 1時(shí)，由Snana a 2n 1a3anSn a1 a1q 得qSn2a23

2、a1qa1qn 1ag1nag(1 q)Sn a1 aen當(dāng)q 1時(shí)，Sn 也或Sna1 a*q 1 q當(dāng) q=1 時(shí)，Sn na1當(dāng)a1, q,n時(shí)常用公式；當(dāng) a1, q,a.時(shí)，常用公式拓展延伸：假設(shè) an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列，對(duì)形如a/bn的數(shù)列，可以用錯(cuò)位相減法求和。例題 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn n (n 1) 2 (n 2)222 2n 22n 1，那么Sn的表達(dá)式為().A Sn2n 12n n2B.Sn2* 1n2C Sn2n n 2D.Sn2* 1n2解析：由 Sn n (n1) 2(n 2)22L J22n2J 12 ，可得 2Sn 2n(n1)22(n 2) 222

3、n 12n，得 Sn2222n 12n n 21耳n 2n 1n 2 ,應(yīng)選(D) 1 2點(diǎn)評(píng)：這個(gè)脫胎于課本中等比數(shù)列前 n項(xiàng)公式推導(dǎo)方法的求和法，是高考中命題率很高的地 方，應(yīng)予以高度的重視。公式的推導(dǎo)方法二：當(dāng)q 1時(shí)，由等比數(shù)列的定義得,a2a3ana1a2an根據(jù)等比的性質(zhì)，有a?aanSna11 qa：an 1Snan即 Sn a1 q(1 q)Sna1anqSnan當(dāng)q 1時(shí),Sna1(1 qn)或s，na1 anq1 q1 q當(dāng)q=1時(shí)，Snna1該推導(dǎo)方法圍繞根本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比的性質(zhì)，導(dǎo)出了公式, 給我們以耳目一新的另類感覺。導(dǎo)后反思：定義是根底，深刻理

4、解定義，靈活地運(yùn)用好定義，往往能得到一些很有價(jià)值的 結(jié)論和規(guī)律。例如等比數(shù)列的一個(gè)常用性質(zhì)：數(shù)列an是等比數(shù)列(q1)， Sn是其前n項(xiàng)的和，那么Sq S2k Sk, SkS2k ,，(2)當(dāng)1 時(shí)，氏 31.1 q ,S2k1 q2ka 1 q1 q3k印1 q1 qS2kSk2kC 1 q1 qk , k6q 1 q1 qS3kS2k3k印1 q1 q2ka 1 q1 q2S2kSk2 2kagqk2(1 q)2Sk (S3kS2k)k2kkai 1 qag1 q仍成等比數(shù)列。其推導(dǎo)過程可有以下兩種常見的證明過程:證明一：(1)當(dāng)q=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；2 2kai qqk2(1 q)2(

5、S3kS2k )Sk, S?k Sk, S3k S?k成等比數(shù)列這一過程也可如下證明:證明：S2k Sk = (ai a2a3a2k) (aia2a?aQak 1 ak 2ak 3a2k = qk(aia2a3ak)=q"Sk同理，S3k S2k =a2k 1a2k 2 a2k 3a3k = q2kSk- Sk, S2k Sk, S3k S2k 成等比數(shù)列。比照以上兩種證明過程， 我們不難看出，利用好定義在解決某些問題的過程中可以收到 很簡(jiǎn)捷的效果。公式的推導(dǎo)方法三：Sna1a2a3an = a1q(a1a 2a3an 1)a1 qSn 1 = a1q (Sn an )(1 q)Sna1 a.q當(dāng) q 1 時(shí)，Sna1(1 qn)1 q或Sn當(dāng) q=1 時(shí)，Sn na1“方程在代數(shù)課程里占有重要的地位，是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列一章 的公式考察中常利用方程思想構(gòu)造方程或方程組，在量和未知量之間搭起橋梁，來(lái)求解根本量，使問題得到解決。這種推導(dǎo)方是運(yùn)用了該思想，使我們的思維不拘泥于書本。.以上三種推導(dǎo)方法，從不同的思維角度切入等比數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式，著眼點(diǎn)不同，側(cè)重點(diǎn)各異，從而在推導(dǎo)方法的運(yùn)用上也各有千秋，推導(dǎo)方法一注重補(bǔ)因子后錯(cuò)位相減；推導(dǎo)方法二那么側(cè)重于前 n項(xiàng)的和式與定義式的聯(lián)系；而推導(dǎo)方法