立體幾何定理大全(2024153357)

1、立體幾何公式大全根本概念公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上 的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理 2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通 過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。公理 3：過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論 1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論 2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論 3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。公理 4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理： 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方 向相同，那么這兩個(gè)角相等?？臻g兩直線的位置關(guān)系： 空間兩條直線只有三種位置關(guān)系： 平行、 相交、

2、異面1、按是否共面可分為兩類：1共面： 平行、 相交2異面：異面直線的定義： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理： 用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線， 與平面 內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。兩異面直線間距離 : 公垂線段 有且只有一條 2、假設(shè)從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類： 1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線； 2沒有公共點(diǎn) 平 行或異面直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平 面內(nèi)、與平面相交、與平面平行 直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 直線與平面所成的角： 平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影 所成的銳角。esp. 空

3、間向量法 找平面的法向量 規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為 0°角 由此得直線和平面所成角的取值范圍為 0 °， 90° 最小角定理 : 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直 線所成角中的最小角三垂線定理及逆定理 : 如果平面內(nèi)的一條直線 , 與這個(gè)平面的一 條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直 直線和平面垂直的定義：如果一條直線 a 和一個(gè)平面 內(nèi)的任意 一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做 平面 的垂線，平面 叫做直線 a 的垂面。 直線與平面垂直的判定定理： 如果一條直線和一

4、個(gè)平面內(nèi)的兩條 相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。 直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面， 那么這兩條直線平行。直線和平面平行沒有公共點(diǎn) 直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)， 那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。直線和平面平行的判定定理： 如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi) 的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。直線和平面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個(gè)平面平行， 經(jīng) 過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 1兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn) 2兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 兩個(gè)平面平行 沒有公共點(diǎn)

5、； 兩個(gè)平面相交 有一條公共直線。a、平行兩個(gè)平面平行的判定定理： 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平 行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理： 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面 相交，那么交線平行。b、相交二面角1 半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)局部，其 中每一個(gè)局部叫做半平面。2 二面角： 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做 二面角。二面角的取值范圍為 0 °， 180° 3 二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。 4 二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。5 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩 個(gè)面內(nèi)分別作垂直于

6、棱的兩條射線， 這兩條射線所成的角叫做二 面角的平面角。 6 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 兩平面垂直 兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就 說這兩個(gè)平面互相垂直。記為 丄兩平面垂直的判定定理： 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂 線，那么這兩個(gè)平面互相垂直兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理： 如果兩個(gè)平面互相垂直， 那么在一個(gè) 平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。Attention ：二面角求法：直接法作出平面角 、三垂線定理及逆定理、面 積射影定理、 空間向量之法向量法 注意求出的角與所需要求的 角之間的等補(bǔ)關(guān)系多面體棱柱 棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行

7、，其余各面都是四邊形，并且每 兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱 柱。棱柱的性質(zhì) 1側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形 2兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形 3過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面對(duì)角面是平行四邊形棱錐棱錐的定義： 有一個(gè)面是多邊形， 其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn) 的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐棱錐的性質(zhì)：2 平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。 且其面積 比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方正棱錐正棱錐的定義： 如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形， 并且頂點(diǎn)在底面 內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：1各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。3多個(gè)特殊的直角三角形esp： a 、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得 頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。b、四面體中有三對(duì)異面直線，假設(shè)有兩對(duì)互相垂直，那么可得第 三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。 Attention ：1、注意建立空間直角坐標(biāo)系2、空間