排列組合問題的類型及解答策略

1、排列組合問題的類型及解答策略排列組合問題，聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。實(shí)踐證明，備考有效的方法是題型與解法歸類，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用。本文介紹十二類典型排列組合問題的解答策略，供參考。一、相鄰問題捆綁法例1 6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（ ）種A. 720B. 360C. 240D. 120解：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人進(jìn)行全排列有種排法；甲、乙兩人之間有種排法。由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有=240種不同排法，選C。評(píng)注：從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是在解決對(duì)于某幾個(gè)元素相鄰的問題時(shí)，可整體考慮將相

2、鄰元素視作一個(gè)“大”元素。二、相離問題插空法例2 要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，有多少不同的排法？（只要求寫出式子，不必計(jì)算）解：先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好，其不同的排法為種；這6個(gè)歌唱節(jié)目的空隙及兩端共7個(gè)位置中再排4個(gè)舞蹈節(jié)目，有種排法。由分步計(jì)數(shù)原理可知，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為種。評(píng)注：從解題過程可以看出，不相鄰問題是要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開。此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。三、定序問題縮倍法例3 信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào)?，F(xiàn)有3面紅旗、2

3、面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號(hào)的種數(shù)是_（用數(shù)字作答）。解：5面旗全排列有種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能算作一次的掛法，故共有不同的信號(hào)種數(shù)是=10（種）。評(píng)法：在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序稱為定序問題。這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷。四、標(biāo)號(hào)排位問題分步法例4 同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分配方式有（ ）A. 6種B. 9種C. 11種D. 23種解：此題可以看成是將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)不同的填法問題。所以先

4、將1填入2至4號(hào)的3個(gè)方格里有種填法；第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字，填入其它3個(gè)方格，又有種填法；第三步將余下的兩個(gè)數(shù)字填入余下的兩格中，只有1種填法。故共有3×3×1=9種填法，而選B。評(píng)注：把元素排在指定號(hào)碼的位置上稱為標(biāo)號(hào)排位問題。求解這類問題可先把某個(gè)元素按規(guī)定排放，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。五、有序分配問題逐分法例5 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需由2人承擔(dān)，乙、丙各需由1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有（ ）種A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040解：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ?人中選

5、1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，最后從剩下7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法共有=2520種，故選C。評(píng)注：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步下量分組法求解。六、多元問題分類法例6 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）A. 210個(gè)B. 300個(gè)C. 464個(gè)D. 600個(gè)解：按題意個(gè)位數(shù)只可能是0，1，2，3，4共5種情況，符合題意的分別有，個(gè)。合并總計(jì)，共有=300（個(gè)），故選B。評(píng)注：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求，分成互不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。另解：先排首位，不用0，有種方法；再同時(shí)排個(gè)

6、位和十位，由于個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字，即順序固定，故有種方法；最后排剩余三個(gè)位置，有種排法。故共有符合要求的六位數(shù)=300（個(gè)）。七、交叉問題集合法例7 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？解：設(shè)全集U=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式可得參賽方法共有=252（種）。評(píng)注：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)的公式：來求解。八、定位問題優(yōu)限法例8 計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須

7、連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（ ）A. B. C. D. 解：先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，則油畫與國(guó)畫有種放法。再考慮油畫之間與國(guó)畫之間又可以各自全排列。故總的排列的方法為種，故選D。評(píng)注：所謂“優(yōu)限法”，即有限制條件的元素（或位置）在解題時(shí)優(yōu)先考慮。九、多排問題單排法例9 兩排座位，第一排有3個(gè)座位，第二排有5個(gè)座位，若8名學(xué)生入座（每人一座位），則不同的坐法種數(shù)為（ ）A. B. C. D. 解：此題分兩排坐，實(shí)質(zhì)上就是8個(gè)人坐在8個(gè)座位上，故有種坐法，所以選D。評(píng)注：把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮。十、至少問題間接法例1

8、0 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有（ ）種A. 140B. 80C. 70D. 35解析：在被取出的3臺(tái)中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合題意，故符合題意的取法有=70種，選C。評(píng)注：含“至多”或“至少”的排列組合問題，通常用分類法。本題所用的解法是間接法，即排除法（總體去雜），適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況。十一、選排問題先取后排法例11 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_種（用數(shù)字作答）。解：先從四個(gè)小球中取兩個(gè)放在一起，種不同的取法；再把取出的兩個(gè)小球與另外兩個(gè)小球看作三堆，并分別放入四個(gè)盒子中的三個(gè)盒子中，有種不同的放法。依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種不同的方法。評(píng)注：這是一道排列組合的混合應(yīng)用題目，這類問題的一般解法是先?。ńM合）后排（排列）。本題正確求解的關(guān)鍵是把四個(gè)小球中的兩個(gè)視為一個(gè)整體，如果考慮不周，就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的錯(cuò)誤。十二、部分符合條件淘汰法例12 四面體的頂點(diǎn)及各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ）A. 150種B. 147種C.