工科高數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)回顧

1、工科高數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)回顧第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)1.向量運(yùn)算（數(shù)量積，向量積），則2.兩個(gè)向量垂直、平行的充要條件例如（2006填空題1）3.向量的方向余弦，兩向量的夾角余弦公式4.關(guān)于直線與直線、直線與平面、平面與平面的問題，總是轉(zhuǎn)化為向量與向量的問題例如（2006選擇題1）第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1.多元函數(shù)的極限（化為一元函數(shù)的極限問題）例如（2005填空題4）2.偏導(dǎo)數(shù)的定義例如（2005填空題1）3.全微分例如（2005填空題5）4.復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)綀D）例如（2005選擇題8）（2006解答題1）5.隱函數(shù)的求導(dǎo)（兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)）例如（2005填空題7）（2006計(jì)算

2、題2）6.方向?qū)?shù)與梯度梯度方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的存在條件如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在例如（2005選擇題4）7.空間曲線的切線與法平面，空間曲面的切平面與法線空間曲線切向量（其他參數(shù)方程形式的情形）空間曲面法向量8.多元函數(shù)的極值，條件極值（拉格朗日乘數(shù)法）極值點(diǎn)可能存在的地方：駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)處是否為極值是何種極值的判定：（1）為極值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)；（2）不是極值點(diǎn).在約束條件下求函數(shù)的極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù)令偏導(dǎo)等于零求出可能的極值點(diǎn)，再根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)判斷是否為極值點(diǎn).例如（2006解答題2）第九章重積分1.二重積分的物理意義所占區(qū)域?yàn)镈面密度為

3、的平面薄片的質(zhì)量2.二重積分的計(jì)算（化為二次積分）（1）直角坐標(biāo)系下若D為X型區(qū)域，則若D為Y型區(qū)域，則例如（2006選擇題2）（2006計(jì)算題4）（2）極坐標(biāo)系下若，則例如（2005填空題2）（2005選擇題3）3.交換積分次序（1）根據(jù)二次積分寫出積分區(qū)域表達(dá)式（2）根據(jù)積分區(qū)域表達(dá)式畫出積分區(qū)域（3）將需要的區(qū)域表達(dá)式形式寫出來（4）寫出相應(yīng)的二次積分例如（2006填空題3）（2006計(jì)算題3）4.三重積分的計(jì)算（化為三次積分）（1）直角坐標(biāo)系下先算一重積分后算二重積分若在xOy面上的投影為，上下曲面方程分別為，則先算二重積分后算一重積分若在z軸上的投影為，用垂直于z軸的平面截積分區(qū)域得

4、，則例如（2005三）（2）柱面坐標(biāo)系下若在xOy面上的投影在極坐標(biāo)系下為，上下曲面方程分別為，則（3）在球面坐標(biāo)系下5.利用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化積分的計(jì)算積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，則是x的奇函數(shù)時(shí)積分為0，偶函數(shù)時(shí)積分為半邊區(qū)域上積分的2倍；積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，則是y的奇函數(shù)時(shí)積分為0，偶函數(shù)時(shí)積分為半邊區(qū)域上積分的2倍；積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，則是z的奇函數(shù)時(shí)積分為0，偶函數(shù)時(shí)積分為半邊區(qū)域上積分的2倍6.重積分的應(yīng)用（曲面面積）曲面在xOy面上的投影為，則第十章 曲線積分與曲面積分1.曲線積分的計(jì)算（化為定積分）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（參數(shù)方程的其他情形）例如（2005選擇題5）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，t從到（參數(shù)方程的

5、其他情形）2.兩類曲線積分之間的關(guān)系其中為曲線切向量的方向余弦3.格林公式，積分與路徑無關(guān)其中L為D的正向邊界（外邊界逆時(shí)針，內(nèi)邊界順時(shí)針）例如（2005選擇題6）（2005四）（2006選擇題4）（2006解答題3）4.曲面積分的計(jì)算（化為重積分）對(duì)面積的曲面積分，曲面在xOy面上的投影為，則例如（2005選擇題7）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，曲面取z軸正向側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù)，曲面取x軸正向側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù)，曲面取y軸正向側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù)例如（2006計(jì)算題7）5.兩類曲面積分之間的關(guān)系其中為曲面法向量的方向余弦應(yīng)用（1）將對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化為對(duì)面積的曲面積分再計(jì)算；應(yīng)用（2）將對(duì)不同坐標(biāo)的曲面積

6、分化為對(duì)同種坐標(biāo)的曲面積分6.高斯公式其中為的外表面例如（2005六）第十一章 無窮級(jí)數(shù)1.收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂收斂收斂；收斂發(fā)散發(fā)散若，則級(jí)數(shù)發(fā)散2.常用的兩個(gè)級(jí)數(shù)（1）幾何級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，發(fā)散（2）p-級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散例如（2005填空題6）3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法比較審斂法的極限形式設(shè)，則（1）時(shí)，與有相同的斂散性；（2）時(shí)，收斂則收斂；（3）時(shí)，發(fā)散則發(fā)散；例如（2006計(jì)算題1）比值審斂法設(shè)，則當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散根值審斂法設(shè)，則當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散4.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法（萊布尼茲審斂法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)滿足：絕對(duì)值單調(diào)遞減趨于0，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂例如（2006選擇題5）5.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂

7、的判斷（絕對(duì)收斂，條件收斂）例如（2006選擇題5）6.冪級(jí)數(shù)的收斂域設(shè)，則收斂半徑不能用該定理求收斂半徑時(shí)，可以考慮用證明本定理的方法例如（2005五）（2006填空題5）7.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開（間接法）逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分化為已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)（注意注明收斂域）例如（2005五）（2006計(jì)算題6）8.周期為的函數(shù)的傅立葉展開其中9.收斂定理（狄里克雷充分條件）當(dāng)x是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂于；當(dāng)x時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂于例如（2005填空題3）第十二章 微分方程1.可分離變量的微分方程（兩邊積分）例如（2005選擇題1）（2006計(jì)算題5）2.齊次方程（換元化為可分離變量的微分方程），令3.一階線性微分方程（1）一階線性齊次微分方程（可分離變量的微分方程）（2）一階線性非齊次微分方程（常數(shù)變易法）設(shè)相應(yīng)線性齊次方程通解為，令為線性非齊次方程的解，代入線性非齊次方程，化為關(guān)于的可分離變量的微分方程，求出通解后代回例如（2006解答題3）（3）伯努里方程令，化為關(guān)于z的一階線性非齊次微分方程，再用常數(shù)變易法4.全微分方程解法1：（1）判斷是否為全微分方程；（2）積分（3）方程的通解為解法2：湊微分5.可降階的高階微分方程（1）（兩端積分n次）（2）不含y的二階方程令，則，化為一階方程（3）不