2019年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2021年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷理科一、選擇題：本大題共8小題,每題5分,總分值40分,在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1. 5分設(shè)集合M=x|x2+2x=0,xR,N=x|x22x=0,x號(hào),貝UMUN=A.0B.0,2C.-2,0D.-2,0,22. 5分定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是A.4B.3C2D.13. 5分假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i,那么在復(fù)平面內(nèi),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是A.2,4B.2,-4C.4,-2D.4,24.5分離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P那么X的數(shù)學(xué)期望EX=AB.2C.D.3225.5

2、分某四棱臺(tái)的三視圖如下圖,那么該四棱臺(tái)的體積是A.4BC.D.6336. 5分設(shè)m,n是兩條不同的直線,%B是兩個(gè)不同的平面,以下命題中正確的是A.假設(shè)a±&m?a,n?B,那么m±nB.假設(shè)all0,m?a,n?&那么m/nC.假設(shè)m±n,m?a,n?3那么a±pD.假設(shè)m,a,m/n,n/&那么a±07. 5分中央在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F3,0,離心率等于,那么C的方程是A.8.y,和F¥JBJc/n-7二1CD-5分設(shè)整數(shù)n>4,集合X=1,2,3,n.令集合S=x,y,z|x,zCX,且三條件

3、x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一個(gè)成立.假設(shè)x,y,zz,w,x都在S中,那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是A.y,z,wCS,x,y,w?SB.y,z,wS,x,y,wSC.y,z,w?S,x,y,wSSD.y,z,w?S,x,y,w?S二、填空題：本大題共7小題,考生作答6小題,每題5分,總分值30分.9. 5分不等式x2+x2<0的解集為.10. 5分假設(shè)曲線y=kx+lnx在點(diǎn)1,k處的切線平行于x軸,那么k=.11. .5分執(zhí)行如下圖的程序框圖,假設(shè)輸入n的值為4,那么輸出s的值為.12. 5分在等差數(shù)列an中,33+88=10,那么3a5+a

4、7=.k+4V>413. 5分給定區(qū)域D:r+y<4.令點(diǎn)集T=x°,VoCD|xo,yoZ,x0,Ly°是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn),那么T中的點(diǎn)共確定條不同的直線.14. 5分坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題曲線C的參數(shù)方程為t為參數(shù),C在點(diǎn)1,1處的切線為I,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,那么I的極坐標(biāo)方程為.15. 如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在圓O上,延長(zhǎng)BC到D使BC=CD過(guò)C作圓O的切線交AD于E.假設(shè)AB=6,ED=2,那么BC=.三、解做題：本大題共6小題,總分值80分.解答須寫出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程和演算步驟.16. 12

5、分函數(shù)fx=V2cosx-,xCR.12I求f工的值；6H假設(shè)cosB2,筱",2兀,求f2什工.52317. 12分某車間共有12名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如下圖,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).1根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；2日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？(3)從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.18. (14分)如圖1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°,BC=6D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),CD二BE二加,O為BC的中點(diǎn).將ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱椎

6、A'-BCDE其中AO<.(1)證實(shí)：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值.2S19. (14分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3ba二1,二1二日三門2力4,n_*N.(1)求a2的求;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(3)證實(shí)：對(duì)一切正整數(shù)n,有!小+.-<工.ala2an420. (14分)拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為色巨,設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(xo,yo)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;(3

7、)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|?|BF|的最小值.21. (14分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(kCR).(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)問(wèn)；(2)當(dāng)1時(shí),求函數(shù)f(x)在0,k上的最大值M.叁2021年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題,每題5分,總分值40分,在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1. (5分)設(shè)集合M=x|x2+2x=0,xR,N=x|x22x=0,xCR,貝UMUN=(A.0B.0,2C.-2,0D.-2,0,2【分析】根據(jù)題意,分析可得,M=0,-2,N=0,2,進(jìn)而求其并集可得答案.【解

8、答】解：分析可得,M為方程x2+2x=0的解集,貝UM=x|x2+2x=C=0,2,N為方程x22x=0的解集,貝UN=x|x2-2x=0=0,2,故集合MUN=0,-2,2,應(yīng)選：D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查集合的并集運(yùn)算,首先分析集合的元素,可得集合的意義,再求集合的并集.2. 5分定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是A.4B.3C.2D.1【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及圖象特征逐一盤點(diǎn)即可.【解答】解：y=x3的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且-x3=-x3,所以函數(shù)y=x3為奇函數(shù)；y=2x的圖象過(guò)點(diǎn)0,1,既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,也不關(guān)于y軸對(duì)稱,為非

9、奇非偶函數(shù)；y=x2+1的圖象過(guò)點(diǎn)0,1關(guān)于y軸對(duì)稱,為偶函數(shù)；y=2sinx的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且2sin-x=-2sinx,所以y=2sinx為奇函數(shù)；所以奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為2,應(yīng)選：C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查函數(shù)奇偶性的判斷,屬根底題,定義是解決該類題目的根本方法,要熟練掌握.3. 5分假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i,那么在復(fù)平面內(nèi),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是A.2,4B.2,-4C.4,-2D.4,2【分析】由題意可得z2彗,再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法那么化為412i,從而求得z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i,貝U有z=2+產(chǎn)2+4ii=42i,1-1故在復(fù)平面內(nèi),z對(duì)

10、應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是4,-2,應(yīng)選：C.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法,虛數(shù)單位i的幕運(yùn)算性質(zhì),復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系,屬于根底題.4. 5分離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P那么X的數(shù)學(xué)期望EX=AB.2C.D.322【分析】利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出.【解答】解：由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出：EX=+2X三+3巨.510102應(yīng)選：A.【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.5. 5分某四棱臺(tái)的三視圖如下圖,那么該四棱臺(tái)的體積是A.4B=CD.633【分析】由題意直接利用三視圖的數(shù)據(jù)求解棱臺(tái)的體積即可.【解答】解：幾何體是四棱臺(tái),下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,上底

11、面是邊長(zhǎng)為1的正方形,棱臺(tái)的高為2,并且棱臺(tái)的兩個(gè)側(cè)面與底面垂直,四樓臺(tái)的體積為V=LX22+13+722XI2X2=-J'J應(yīng)選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查三視圖與幾何體的關(guān)系,棱臺(tái)體積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算水平與空間想象水平.6. 5分設(shè)m,n是兩條不同的直線,%B是兩個(gè)不同的平面,以下命題中正確的是A.假設(shè)a±&m?a,n?B,那么m±nB.假設(shè)all0,m?a,n?&那么m/nC.假設(shè)m±n,m?a,n?3那么a±pD.假設(shè)m,a,m/n,n/&那么a±0【分析】由a±p,m?a,n?B,可才t得m,n

12、,m/n,或m,n異面；由all0,m?&n?就可得m/n,或m,n異面；由m,n,m?a,n?0,可得a與0可能相交或平行；由m±a,m/n,那么n,a,再由n/B可得a±0.【解答】解：選項(xiàng)A,假設(shè)n&m?%n?3那么可能m±n,m/n,或m,n異面,故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,假設(shè)all&m?a,n?B,那么m/n,或m,n異面,故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,假設(shè)m,n,m?a,n?0,那么a與B可能相交,也可能平行,故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,假設(shè)m,a,m/n,那么n,a,再由nII0可得0,故D正確.應(yīng)選：D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查命題真假的判斷與應(yīng)用,涉及空間中直

13、線與平面的位置關(guān)系,屬根底題.7. (5分)中央在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,那么C的方程是()A/Ib/C,DA-BCD-【分析】設(shè)出雙曲線方程,利用雙曲線的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率為1,建2立方程組,可求雙曲線的幾何量,從而可得雙曲線的方程.22【解答】解：設(shè)雙曲線方程為三二7二1(a>0,b>0),那么ab.雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,上1rc-3*cc,c=3,a=2,.b2=c2-a2=5一心22雙曲線方程為,譽(yù):1.45應(yīng)選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算水平,屬于根底題.8. (5分)設(shè)整數(shù)n>

14、;4,集合X=1,2,3,n.令集合S=(x,y,z)|x,y,zX,且三條件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一個(gè)成立.假設(shè)(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是()A.(y,z,w)SS,(x,y,w)?SB.(y,z,w)SS,(x,y,w)SSC.(y,z,w)?S,(x,y,w)SD.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S【分析】特殊值排除法,取x=2,y=3,z=4,w=1,可排除錯(cuò)誤選項(xiàng),即得答案.【解答】解：方法一：特殊值排除法,取x=2,y=3,z=4,w=1,顯然滿足(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,此

15、時(shí)(y,z,w)=(3,4,1)CS,(x,y,w)=(2,3,1)CS,故A、GD均錯(cuò)誤；只有B成立,應(yīng)選B.直接法：根據(jù)題意知,只要y<z<w,z<w<y,w<y<z中或x<y<w,y<w<x,w<x<y中恰有一個(gè)成立那么可判斷y,z,wS,x,y,wS.v(x,y,z)S,(z,w,x)CS,x<y<z,y<z<x,z<x<y三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立；z<w<x,w<x<z,x<z<w三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立.配對(duì)后有四種情況成立,第一種：成立,止匕

16、時(shí)w<x<y<z,于是y,z,wS,x,y,wCS;第二種：成立,此時(shí)x<y<z<w,于是(y,z,w)es,(x,y,w)es；第三種：成立,此時(shí)y<z<w<x,于是(y,z,w)es,(x,y,w)es；第四種：成立,此時(shí)z<w<x<y,于是(y,z,w)SS,(x,y,w)SS.綜合上述四種情況,可得y,z,wCS,x,y,wS.應(yīng)選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查簡(jiǎn)單的合情推理,特殊值驗(yàn)證法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬根底題.二、填空題：本大題共7小題,考生作答6小題,每題5分,總分值30分.9. 5分不等式x2+x2<0的解

17、I集為一2,1.【分析】先求相應(yīng)二次方程x2+x-2=0的兩根,根據(jù)二次函數(shù)y=x2+x-2的圖象即可寫出不等式的解集.【解答】解：方程x2+x-2=0的兩根為-2,1,且函數(shù)y=/+x-2的圖象開(kāi)口向上,所以不等式x2+x-2<0的解集為-2,1.故答案為：-2,1.【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元二次不等式的解法,屬根底題,深刻理解三個(gè)二次間的關(guān)系是解決該類題目的關(guān)鍵,解二次不等式的根本步驟是：求二次方程的根；作出草圖；據(jù)圖象寫出解集.10. 5分假設(shè)曲線y=kx+lnx在點(diǎn)1,k處的切線平行于x軸,那么k=-1.【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再由題意知在1處的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程求出k的化【解答】

18、解：由題意得,y'踮,X在點(diǎn)1,k處的切線平行于x軸,.k+1=0,彳4k=-1,故答案為：-1.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,難度不大.11. 5分執(zhí)行如下圖的程序框圖,假設(shè)輸入n的值為4,那么輸出s的值為7.【分析】由中的程序框圖及中輸入4,可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為i04,即i=1,2,3,4.模擬程序的運(yùn)行結(jié)果,即可得到輸出的S值.【解答】解：當(dāng)i=1時(shí),S=1+1-1=1;當(dāng)i=2時(shí),S=#2-1=2;當(dāng)i=3時(shí),S=?31=4;當(dāng)i=4時(shí),S=4M1=7;當(dāng)i=5時(shí),退出循環(huán),輸出S=7;故答案為：7.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖,在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí),我們常

19、使用模擬循環(huán)的變法,但程序的循環(huán)體中變量比擬多時(shí),要用表格法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行治理.12. 5分在等差數(shù)列an中,33+88=10,那么3a5+a7=20.【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得：3a5+a7=2a5+a6=2央+出.【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得：3a5+a7=2a5+as+a/=2a5+2%=2a5+%=2a3+%=20,故答案為：20.【點(diǎn)評(píng)】此題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用,屬根底題,準(zhǔn)確理解有關(guān)性質(zhì)是解決問(wèn)題的根本.工+4V>413. 5分給定區(qū)域D:r+y<4.令點(diǎn)集T=xo,yoCD|xo,yoCZ,xo,yo是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn),那么T中的點(diǎn)共確定6

20、條不同的直線.【分析】先根據(jù)所給的可行域,利用幾何意義求最值,z=x+y表示直線在y軸上的截距,只需求出可行域直線在y軸上的截距最值即可,從而得出點(diǎn)集T中元素的個(gè)數(shù),即可得出正確答案.【解答】解：畫出不等式表示的平面區(qū)域,如圖.作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,由于直線z=x+y與直線x+y=4平行,故直線z=x+y過(guò)直線x+y=4上的整數(shù)點(diǎn)：4,.,3,1,2,2,1,3或.,4時(shí),直線的縱截距最大,z最大；當(dāng)直線過(guò)o,1時(shí),直線的縱截距最小,z最小,從而點(diǎn)集T=4,o,3,1,2,2,1,3,o,4,o,1,經(jīng)過(guò)這六個(gè)點(diǎn)的直線一共有6條.即T中的點(diǎn)共確定6條不同的直線.故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】此題主要

21、考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于根底題.14. 5分坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題曲線C的參數(shù)方程為x=V2costy=V2sintt為參數(shù),C在點(diǎn)1,1處的切線為I,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,那么I的極坐標(biāo)方程為Pcos+%sin_02=o埴psin或Pcos9一回也得總分值.【分析】先求出曲線C的普通方程,再利用直線與圓相切求出切線的方程,最后利用x=pcos,8y=psin他換求得其極坐標(biāo)方程即可.【解答】解：由一y=V2sintt為參數(shù),兩式平方后相加得x2+y2=2,4分曲線C是以o,o為圓心,半徑等于血的圓.C在點(diǎn)1,1處的切線I的方程為x+y=2

22、,令x=pcos,8y=psin,0代入x+y=2,并整理得pcos+psin&2=0,即p4；一日或PcosB那么l的極坐標(biāo)方程為pcos+Opsin&2=0填psin84或Pccib日二$=巧也得總分值10分故答案為：pcos+Opsin42=0填Pn.H或p8式9.也得總分值.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化.普通方程化為極坐標(biāo)方程關(guān)鍵是利用公式x=pcos,8y=psin.015. 如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在圓O上,延長(zhǎng)BC到D使BC=CD過(guò)C作圓O的切線交AD于E.假設(shè)AB=6,ED=2,WJBC=_.【分析】利用AB是圓O的直徑,可得

23、/ACB=90.IPAC±BD,又BC=CD可得ABD是等腰三角形,可得/D=/B.再利用弦切角定理可得/ACE=/B,得至ij/AECWACB=90,進(jìn)而得到CEDAACB,利用相似三角形的性質(zhì)即可得出.【解答】解：.AB是圓O的直徑,./ACB=90.即ACBD.又=BC=CDAB=AD,./D=/ABC,/EAC=ZBAC.CE與.相切于點(diǎn)C,./ACE之ABC/AECWACB=90.CEDAACB.里里,又CD=BCABBCBC=Vab*ED=76X2-23.【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了圓的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等根底知識(shí),需要較強(qiáng)的推理水平.三

24、、解做題：本大題共6小題,總分值80分.解答須寫出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程和演算步驟.16. 12分函數(shù)fx='/cosx-y1-,xCR.JTI求f-三的值；6n假設(shè)cosel,長(zhǎng)JLL,2兀,求f2肝2L.523【分析】1把x=-二直接代入函數(shù)解析式求解.62先由同角三角函數(shù)的根本關(guān)系求出sin8的值以及sin2.然后將x=20二代3入函數(shù)解析式,并利用兩角和與差公式求得結(jié)果.【解答】解：1f=a/2cost=V2cos-=V2oqizq一上2由于8號(hào)©=|,ee等,2n所以,一一：所以$in2e=2sin8cos9=2乂""二,cos29=cos29-si

25、n20二汨一42=5525所以f2=+_z-=V2C0S2=+-z_r;r=V2C0S2=+j-：=cos2日-sin2=U0JLT7z24s17252525【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的求解,考查了和差角公式的運(yùn)用,屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合,要注意角的范圍.17. 12分某車間共有12名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如下圖,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).1根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；2日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？3從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.【分析】1莖葉圖中共同的數(shù)字是數(shù)字的十位

26、,這是解決此題的突破口,根據(jù)所給的莖葉圖數(shù)據(jù),代入平均數(shù)公式求出結(jié)果；2先由1求得的平均數(shù),再利用比例關(guān)系即可推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人的人數(shù)；3設(shè)從該車間12名工人中,任取2人,恰有1名優(yōu)秀工人為事件A,結(jié)合組合數(shù)利用概率的計(jì)算公式即可求解事件A的概率.【解答】解：(1)樣本均值為升20+21+25+30=22；6(2)抽取的6名工人中有2名為優(yōu)秀工人,所以12名工人中有4名優(yōu)秀工人；(3)設(shè)從該車間12名工人中,任取2人,恰有1名優(yōu)秀工人為事件A,clcJ1c所以P(A一V二會(huì),v12即恰有1名優(yōu)秀工人的概率為.33【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查莖葉圖的應(yīng)用,古典概型及其概率計(jì)算公式,屬于

27、容易題.對(duì)于一組數(shù)據(jù),通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù),題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征,考查最根本的知識(shí)點(diǎn).18. (14分)如圖1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°,BC=6D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),CD=BE=V2,O為BC的中點(diǎn).將ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)'-BCDE其中AO=?(1)證實(shí)：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值.【分析】(1)連接OD,OE.在等腰直角三角形ABC中,/B=/C=45,CD二BE二班,AD=AE乏/!,CO=BO=3分另1在4COD與OBE中,利用余弦定理可得OD,OE.禾

28、用勾股定理的逆定理可證實(shí)/AOD=A'OE=90再利用線面垂直的判定定理即可證實(shí)；(2)方法一：過(guò)點(diǎn)O作OF,CD的延長(zhǎng)線于F,連接A'F利用(1)可知：A'0,平面BCDE根據(jù)三垂線定理得ALCD,所以/A'FO；二面角A'-CD-B的平面角.在直角OCF中,求出OF即可；方法二：取DE中點(diǎn)H,那么OH,OB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OH、OB、OA分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角.【解答】(1)證實(shí)：連接OD,OE.由于在等腰直角三角形ABC中,/B=/C=45,CD二BE二加,CO=BO=3在ACOD中,加二C

29、02+CDCOCDss45;二立,同理得比=由于AD=A'D=AE=AE=2/2,A0二®所以A2+OD2=A2),A2+Og=A,孑所以/A'OD=A'OE=90所以A'UOD,A吐OE,ODAOE=O.所以A吐平面BCDE(2)方法一：過(guò)點(diǎn)O作OF,CD的延長(zhǎng)線于F,連接A'F由于A吐平面BCDE根據(jù)三垂線定理,有A1CD.所以/A'F的二面角A'-CD-B的平面角.在RtCOF中,0F=C0sE5'=.在A'0中,卜F二W.,口/二所以一卜,Arb所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為堡.5方法

30、二：取DE中點(diǎn)H,那么OH±OB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OH、OBOA分別為x、v、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.那么O(0,0,0),A'(0,0,加),C(0,-3,0),D(1,-2,0)0A7*=(0,0,無(wú))是平面BCDE勺一個(gè)法向量.設(shè)平面AClDj法向量為n=(x,y,z)前六二(0,3,五),而二(L1,0).二一、/nCA'=3y+Vw=0人皿_rz所以?一,令x=1,那么y=1,n*CD=x+y=O所以4(1,-1,行)是平面A'C的一個(gè)法向量設(shè)二面角A'-CD-B的平面角為8,且86(0,g)|3F>|n|一中立-5所以二面角A'

31、;-CD-B的平面角的余弦值為亟5【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定哩、二面角、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求面角等根底知識(shí)與方法,需要較強(qiáng)的空間想象水平、推理水平和計(jì)算水平.19. (14分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3bai=1,(1)求a2的值;(2)(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；證實(shí)：對(duì)一切正整數(shù)n,【分析】(1)利用a1=1,有_p_l_+.ala2an42Sn_122-al行,nCN*.令n=1即可求出;(2)利用an=&-Sn-1(n>2)即可得到nan+1=(n+1)an+n(n+1),可化為繆T,繆T,再

32、利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；(3)利用(2),通過(guò)放縮法<%n【解答】解：(1)當(dāng)n=1時(shí),p-=2a1=a£-ly,解得比=4(、一L(n>2)即可證實(shí).(n-1)nn-1n)2%54n3-n24口當(dāng)n>2時(shí),2SnT二ST)an-7r(n-l)3-(n-l)24(nT)Jo-得.：.,口：n,an+lann+1n整理得nan+1=(n+1)an+n(n+1),即?&L+,n+1n.-ra9a當(dāng)n=1時(shí),年一2-1二1wJL所以數(shù)列曰是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列所以上"二口,即a=n2n仇所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2,nN*(3)由

33、于-J%n2(nT)門n-1n(n>2)所二丁n4n4當(dāng)n=1,2時(shí),也成立.【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系an=S-Sn-i(n>2)>裂項(xiàng)求和及其放縮法等是解題的關(guān)鍵.20. (14分)拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為型2,設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線2PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|?|BF|的最小值.【分析】(1)利用焦點(diǎn)到直線l:x-y-

34、2=0的距離建立關(guān)于變量c的方程,即可解得c,從而得出拋物線C的方程；(2)先設(shè)A(町,J),/),由(1)得到拋物線C的方程求導(dǎo)數(shù),得到切線PAPB的斜率,最后利用直線AB的斜率的不同表示形式,即可得出直線AB的方程；(3)根據(jù)拋物線的定義,有|AF|二1J+1,|即|二|謚+1,從而表示出|AF|?|BF,再由(2)得X1+X2=2x0,X1X2=4y0,X0=y0+2,將它表示成關(guān)于y0的二次函數(shù)的形式,從而即可求出|AF|?|BF的最小值.l:x-y-2=0的距離【解答】解：(1)焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線I-c-21c+232解得c=1,所以拋物線C的方程為x2=4y.(

35、2)設(shè).：,由(1)得拋物線C的方程為懸所以切線PA,PB的斜率分別為工工2勺2叼所以PA：或犬犬PB：工:斗父2¥一；12聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為31%,七2,即三1,二二！,:24027041J又由于切線PA的斜率為其孫=.",整理得為三孫乂04巖,L1Xq-XIU21U4112_12直線AB的斜率kJ町國(guó)際二止2二現(xiàn)町r242所以直線AB的方程為y工工o上一£1,整理得產(chǎn)/乂/白盯式口wJ,即尸1,町X-V口,由于點(diǎn)Pxq,yo為直線l:x-y-2=0上的點(diǎn),所以xo-yo-2=0,即yo=x02,所以直線AB的方程為xqx-2y-2yo=O.3根據(jù)拋物線的定義,有|